【摘要】數(shù)學(xué)“童畫”是一種基于兒童的可視化學(xué)習(xí)方式，其價值指向?qū)W習(xí)本體、兒童天性和數(shù)學(xué)思維，具有兒童性、可視性、動態(tài)性、結(jié)構(gòu)性等特征。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注意通過“童畫”形式的抽象、示例、解釋、預(yù)測、建構(gòu)等活動，不斷優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)“童畫”;兒童化;可視化;看得見;思維過程

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）41-0031-03

【作者簡介】楊友平，江蘇省宜興市陽羨小學(xué)（江蘇宜興，214200）副校長，高級教師，無錫市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

時下，變革學(xué)習(xí)方式的研究與討論頗熱。究竟什么樣的方式最好？“用感性的方式表達(dá)理性”（黑格爾語）是最美的方式。筆者嘗試用數(shù)學(xué)“童畫”的方式引導(dǎo)學(xué)生開展可視化學(xué)習(xí)，收到了較好的效果。所謂數(shù)學(xué)“童畫”，就是引導(dǎo)兒童用自己理解和親近的畫圖方式，將數(shù)學(xué)知識、數(shù)量關(guān)系、公式規(guī)律等直觀地表達(dá)出來，并主動進(jìn)行觀察、比較、猜想、推理、分析、綜合等思維活動。

一、價值指向：從“本生”到“生本”

兒童的學(xué)習(xí)是一個“自己掌握”的過程。數(shù)學(xué)“童畫”主張以“生本”為出發(fā)點，用兒童的視角審視，用兒童的方式表達(dá)，用兒童的心智思考，以真正實現(xiàn)促進(jìn)兒童自身發(fā)展的教育本義。

1.回歸學(xué)習(xí)本體。真正的學(xué)習(xí)只能依靠學(xué)生自己來完成。傳統(tǒng)的畫圖策略偏重于畫圖規(guī)范，體現(xiàn)教師意志。數(shù)學(xué)“童畫”指向?qū)W生本身，注重將知識、資源、方法等圍繞學(xué)生去展開，為他們提供自由表達(dá)、自我解讀、主動參與觀察、發(fā)現(xiàn)、思考活動過程的機(jī)會，強(qiáng)調(diào)“回到學(xué)生，依靠學(xué)生，為了學(xué)生”。

2.順應(yīng)兒童天性。兒童生性好問、好玩、好涂鴉，這決定了他們的學(xué)習(xí)帶有鮮明的感性色彩。數(shù)學(xué)崇尚理性，但不能排斥感性。因為學(xué)習(xí)的核心除了“形成知識”，還要生發(fā)思想、涵育情感、生長道德，否則將會進(jìn)入“具有一切知識卻迷了路”的困境。數(shù)學(xué)“童畫”是可玩的，一個符號、一個簡圖、一種思考均從兒童出發(fā)，攜帶著兒童的認(rèn)識、經(jīng)驗與獨特想法，盡管不完備，可能很幼稚，卻是兒童思維生發(fā)的原點。

3.學(xué)會數(shù)學(xué)地思維。數(shù)學(xué)“童畫”主張讓兒童嘗試從自己的角度觀察，學(xué)著用數(shù)學(xué)的眼光把握、抽象事物，用圖式的方式表述、搜索、推論、構(gòu)建和整合，突破線性思維，培養(yǎng)符號意識、創(chuàng)新意識和思維能力。數(shù)學(xué)“童畫”建立在個體的數(shù)學(xué)現(xiàn)實基礎(chǔ)上，以可視化的方式（如符號表述、圖式構(gòu)建、信息搜索、直觀推論、系統(tǒng)整合等）促進(jìn)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維。

二、特征把握：從被動“會學(xué)”到主動“學(xué)會”

數(shù)學(xué)“童畫”不等同于傳統(tǒng)教學(xué)中的教學(xué)生畫圖分析問題，也有別于用畫圖法來解決問題，它除了具有一般性、知識性、綜合性的特征之外，還具有兒童性、可視性、動態(tài)性、結(jié)構(gòu)性等特征。它的兒童性、可視性便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識、規(guī)律和關(guān)系。它的動態(tài)性、結(jié)構(gòu)性有利于學(xué)生進(jìn)行思維導(dǎo)視、問題解決和知識重構(gòu)。

1.兒童性。數(shù)學(xué)“童畫”源于兒童本身，必然帶有兒童特有的情趣、認(rèn)知、想象、經(jīng)驗等，一個符號、一幅圖畫、一種模型都是一種兒童化的圖式，既契合兒童的視角、思考方式和語言特征，又能反映客觀事物的必要與非必要特征，還滲透著某種數(shù)學(xué)思想。

2.可視性?！皬哪撤N層面上說，讓學(xué)習(xí)方式看得見，其本質(zhì)就是讓學(xué)生的思維看得見，讓思維可視化?！盵1]心理學(xué)研究表明：小學(xué)生的思維處于以具體形象思維為主導(dǎo)并逐漸向抽象邏輯思維過渡的階段?？梢?，通過符號、圖畫、圖表、模型、數(shù)軸、線段圖等數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)“童畫”這一“橋梁”，可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系。

3.動態(tài)性。皮亞杰認(rèn)為：圖式是指動作的結(jié)構(gòu)或組織。作為一種特殊的圖式，數(shù)學(xué)“童畫”“構(gòu)成圖式的各個部分即變量有恒定的，也有變化的”，“圖式的加工過程是通過對加工的信息進(jìn)行擬合、優(yōu)化、評價而進(jìn)行的，對某些信息的加工甚至有幾個圖式相互比擬、進(jìn)行評估，最后才能做出決策”。當(dāng)圖式形象在具體學(xué)習(xí)情境中得到兒童化、符號化、模型化的描述，學(xué)生能及時梳理舊知與經(jīng)驗時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從以靜態(tài)知識為特點的形式層面走向以動態(tài)思維為特點的發(fā)現(xiàn)層面，以促進(jìn)其進(jìn)行更積極的思考。

4.結(jié)構(gòu)性。在學(xué)生建構(gòu)知識的過程中，其現(xiàn)有的知識和經(jīng)驗具有重要的作用。“童畫”特征的圖式可以作為一個模型化的知識“集成”，準(zhǔn)確激活舊經(jīng)驗與新知識之間的聯(lián)系，通過調(diào)整、改造建立新的知識結(jié)構(gòu)，反映學(xué)生立體的數(shù)學(xué)思維過程與層次，促進(jìn)新知從外感到內(nèi)化的有效轉(zhuǎn)化。

三、學(xué)習(xí)可視：從學(xué)習(xí)“發(fā)生”到思想“生發(fā)”

對要學(xué)習(xí)的知識進(jìn)行可視化的表達(dá)，可以降低知識的復(fù)雜度和難度，實現(xiàn)知識的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。通過數(shù)學(xué)“童畫”，有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)生內(nèi)在的變化，使其在知識經(jīng)驗之上生發(fā)思想，激發(fā)他們主動、自覺、深度地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

1.“童畫”抽象，讓特征“抓得準(zhǔn)”。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的不是記住多少知識，而是從現(xiàn)實背景中看到數(shù)學(xué)知識及其意義，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式去探索和思考。數(shù)學(xué)“童畫”能夠形象地呈現(xiàn)抽象的內(nèi)容，為學(xué)生提供直觀、生動的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)背景，有利于學(xué)生表征與理解抽象的概念。因此，為學(xué)生提供一個有利于模型生成的指涉問題與現(xiàn)實背景十分必要。例如：教學(xué)蘇教版一下《練習(xí)六》“認(rèn)識單數(shù)和雙數(shù)”時，出示乒乓球、羽毛球單打、雙打背景圖。教師問：單打是什么意思？雙打呢？你能自己畫圖表示出來嗎？學(xué)生用小人、圓圈等符號表示并交流：單打就是一方各一個人打比賽，雙打就是一方各兩個人打比賽。在此基礎(chǔ)上，教師出示第六題情景圖介紹：左邊的門牌號2、4、6、8、10等數(shù)是雙數(shù)，右邊的門牌號1、3、5、7、9等數(shù)是單數(shù)，它們有什么區(qū)別？你能再畫一畫單數(shù)和雙數(shù)嗎？引導(dǎo)學(xué)生觀察圖中單數(shù)與雙數(shù)的特點，學(xué)生發(fā)現(xiàn)單數(shù)“最后有一個多余”的本質(zhì)特征。兒童畫出的每一個簡圖都形象地表征了單、雙數(shù)的典型特征，為他們理解概念提供了生動的表象。

2.“童畫”示例，讓思路“看得見”。

小學(xué)生的學(xué)習(xí)過程帶有鮮明的直觀性特點，對抽象的語言描述、符號意義、復(fù)雜問題等在理解、把握上存在一定的困難。數(shù)學(xué)“童畫”具有兒童化的直觀示例作用，其抽象出的典型特征可以用特定的示例加以表征，清晰地呈現(xiàn)出指向問題解決的“思維地圖”。例如：教學(xué)蘇教版六上《解決問題的策略：假設(shè)》，出示練習(xí)題：全班42人在公園劃船，租10只船正好坐滿，每只大船坐5人，每只小船坐3人，租的大船、小船各有多少只？問題拋出后，教師見學(xué)生沒有具體思路，提醒學(xué)生：10只船中到底有幾只大船？可以畫一畫簡圖，試一試。如果全部看成小船，可以坐多少人？還有多少人沒船坐？如果全看成大船呢？在教師啟發(fā)下，學(xué)生通過畫一畫、算一算、議一議，獨立探索出了多種方法。學(xué)生根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)：“如果全看成小船，則還有42-10×3=12（人）沒船坐?！苯處熥穯枺骸盀槭裁磿?2人沒船坐？”學(xué)生答：“把1只大船看成1只小船，會少坐5-3=2（人），因此大船有12÷（5-3）=6（只）。”根據(jù)簡圖直觀演示很容易就能計算出大船的只數(shù)。還有學(xué)生想到“全看成大船”“把5只船看成大船，5只船看成小船”等方法。通過簡圖示例和教師啟發(fā)，學(xué)生很容易就能找到用假設(shè)法解決實際問題的路徑。

3.“童畫”解釋，讓發(fā)現(xiàn)“說得通”。

解釋是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，依托數(shù)學(xué)“童畫”的可視性指示對輸入的信息進(jìn)行解釋，有助于學(xué)生把握問題的關(guān)鍵，看清知識的來龍去脈，明晰知識的聯(lián)系和規(guī)律，使問題迎刃而解。例如：教學(xué)蘇教版五下《和的奇偶性》，學(xué)生通過列舉若干個“兩個數(shù)的和”發(fā)現(xiàn)：偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。如果就此結(jié)束學(xué)習(xí)和思考，規(guī)律僅僅是符號化的記憶素材，如果放手讓學(xué)生自主解釋，就會加深他們對知識的意義構(gòu)建。因此，教師設(shè)計了一個解釋意義環(huán)節(jié)：如何確認(rèn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般性和合理性？學(xué)生答：“多舉幾個例子。”教師啟發(fā)：“除了用列舉法驗證確認(rèn)，還可以畫圖來解釋，你能試一試嗎？”學(xué)生畫出下圖直觀解釋自己理解的和的奇偶性規(guī)律。

4.“童畫”預(yù)測，讓推論“想得到”。

學(xué)習(xí)是一種自主、自覺的活動。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和演繹推理能力，鼓勵學(xué)生積極參與知識探索、大膽推理與預(yù)測，使他們能清晰地表達(dá)自己的想法，再造數(shù)學(xué)知識生長的過程。例如：教學(xué)蘇教版三下《長方形和正方形的面積計算》，設(shè)計操作環(huán)節(jié)：（1）預(yù)測。在方格紙內(nèi)（每格1厘米×1厘米）任意圍幾個長方形，統(tǒng)計它們的長、寬、面積各是多少，操作交流后，預(yù)測長方形的面積與什么有關(guān)，如何求面積。（2）嘗試。用若干個小方塊紙片（1厘米×1厘米）量出一張名片的面積。學(xué)生擺一擺后通過簡圖反饋。大部分學(xué)生用小方塊擺滿，得到面積3×4=12（平方厘米）;少數(shù)學(xué)生用小方塊沿長邊與寬邊分別擺一行和一列，也得出面積。這時，引導(dǎo)學(xué)生組織第一次思辨：同樣是用擺小正方形的方法求面積，哪種擺法更簡便？為什么？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理。（3）簡化。在第一次優(yōu)化操作的基礎(chǔ)上，呈現(xiàn)小東的照片（5厘米×4厘米），讓學(xué)生用小方塊量出它的面積，看誰擺的小方塊最少且速度最快。學(xué)生通過操作實物圖，推想出下面三種擺法，比較發(fā)現(xiàn)，方法3（用一個小方塊量一量并做記號）所用方塊最少，方法最巧妙，但做記號較慢。（4）優(yōu)化。簡化操作方案后教師繼續(xù)追問，組織第二次思辨：如果一個小方塊也不用，用什么工具可以直接量出長和寬各可擺多少個邊長為1厘米的小方塊？學(xué)生頓悟，發(fā)現(xiàn)原來可以用厘米尺量出長、寬的厘米數(shù)——也就是各能擺小方塊的個數(shù)，列出算式4×5=20（平方厘米），回顧預(yù)測、觀察討論：長方形的面積與它的長和寬有什么關(guān)系？怎樣求長方形的面積？這樣，在學(xué)生親身感悟的基礎(chǔ)上，利用直觀圖，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考并把自己的新發(fā)現(xiàn)、新方法和新體會在組內(nèi)進(jìn)行討論、交流、思辨，逐步構(gòu)建起具有自己意義的新認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（方法1） " （方法2） " （方法3）

5.“童畫”建構(gòu)，讓關(guān)系“理得清”。

根據(jù)建構(gòu)主義理論和圖式理論的觀點，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者建構(gòu)自己的知識經(jīng)驗的過程。在建構(gòu)知識的過程中，將學(xué)生的知識背景和問題情景通過直觀的圖式呈現(xiàn)，能讓學(xué)生有意識地從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取相關(guān)的舊知識經(jīng)驗，自主參與新知識的同化和順應(yīng)活動，從而進(jìn)一步理清數(shù)量關(guān)系、優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，提高知識建構(gòu)的效果。例如：教學(xué)蘇教版五上《用字母表示數(shù)》，可以引導(dǎo)學(xué)生用對兒歌的形式探究用字母表示數(shù)：1只兔—4條腿，2只兔—幾條腿？3只、4只、5只呢？你是怎么想到的？引導(dǎo)學(xué)生用3×4、4×4、5×4等算式表示兔腿的個數(shù)。接著呈現(xiàn)被遮住一部分兔的圖問學(xué)生：你能用什么式子來表示共有幾條腿？在簡圖的直觀啟發(fā)下，學(xué)生想出了“只數(shù)×4”“？×4”“○×4”“A×4”等表示形式，更深刻地感知到符號的價值與意義。

數(shù)學(xué)“童畫”作為一種兒童化、可視化、數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)方式，既能優(yōu)化教師的“教”，又能激發(fā)學(xué)生的“學(xué)”，有利于培養(yǎng)學(xué)生的符號感，使他們自主構(gòu)建新知識，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)地思維。

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