【摘要】前數(shù)學理解是學生已知世界與新知雛形交融的中間地帶，為數(shù)學課堂提供了自然生長的平臺。教師一方面應基于學生的現(xiàn)實起點，運用直觀表征充分挖掘學生樸素的前數(shù)學理解，以生活經(jīng)驗對接活動體驗，以生活原型聯(lián)通數(shù)學模型，以已有認知表征彰顯意義理解;另一方面應基于課堂的動態(tài)生成，捕捉學生原生的前數(shù)學理解，放大其中蘊含的數(shù)學思想與方法雛形，使之不斷得以豐盈、敞亮與提升。

【關鍵詞】前數(shù)學理解;數(shù)學課堂;自然生長

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）37-0035-03

【作者簡介】朱禮娜，南京民辦育英第二外國語學校（南京，210044），一級教師，南京化工園區(qū)優(yōu)秀青年教師。

一、研究源起——課堂生長為什么這樣自然

有幸聆聽特級教師張齊華執(zhí)教蘇教版五上《認識負數(shù)》一課，筆者領略到了別樣的課堂風景，感受到了數(shù)學課堂竟有如此自然的生長力。課堂伊始，張老師問：“你在哪里見過負數(shù)？”學生舉例：-1層、-20℃、-3000米、-50元，張老師進而請學生畫出這些負數(shù)，并組織學生進行交流，結合直觀圖不斷追問，如交流“-1層”的畫法時，張老師追問：“你反復提到地下，地在哪里？請你在圖上畫出來?！苯涣鳌?20℃”的畫法時，張老師追問：“這里為什么要畫出0℃？”……在一系列追問中，學生深刻感悟到0是正、負數(shù)的臨界點。

（一）對比剖析，發(fā)現(xiàn)課堂的“被生長”現(xiàn)象

以溫度計這一生活原型切入負數(shù)的概念理解，已成為當下大多數(shù)教師的做法：先出示三亞（20℃）、南京（0℃）、哈爾濱（-20℃）三地某天最低氣溫的溫度計圖，再引導學生比較三亞與哈爾濱的溫度有什么不同，進而引出負數(shù)的概念。將上述教學流程與張老師的課堂進行對比，不難發(fā)現(xiàn)：前者的溫度計原型是由教師直接提供，學生新知的學習也是在教師的牽引下被動地生長;而后者讓學生自己畫一畫見過的負數(shù)，并以學生生成的畫法為教學資源，組織學生交流并不斷追問，在師生、生生之間的對話中，彼此的思想進行碰撞、交融與提升，從而實現(xiàn)了數(shù)學概念的自然生成。

（二）深度究因，關注學生的前數(shù)學理解

以課堂生長的視角審視當前的教學，我們重視尋找舊知與新知之間的聯(lián)結點，重視基于教師的引導建構新知，而忽視了深挖學生所具備的諸多可持續(xù)生長的資源。張老師以學生自主“畫負數(shù)”這一活動為載體，有效激活了學生內(nèi)隱的對各種負數(shù)原型的前數(shù)學理解，為學生理解負數(shù)的本質(zhì)提供了意義支撐。

二、研究聚焦——前數(shù)學理解的概念界定及內(nèi)涵闡釋

本文所提出的前數(shù)學理解，是指學生在學習數(shù)學新知之前具備的所有前提條件的總和。具體包括以下三個方面：

1.前數(shù)學理解是一個由已知到未知的聯(lián)結點，它融合了學生的原有經(jīng)驗、已有認知等各種生長資源，是一個開放、整合的生長平臺，具有巨大的生長潛力。

2.前數(shù)學理解還包括課堂動態(tài)生成的雛形資源，如學生課堂上的原生思考、數(shù)學直覺所蘊含的數(shù)學思想方法等，這些雛形能為學生的數(shù)學學習走向豐盈、深刻提供自然生長的路徑。

3.前數(shù)學理解往往是內(nèi)隱的、感性的、粗糙的，甚至是片面的、錯誤的，所以，在課堂教學中，教師的適當點撥、引領就顯得尤為重要。

三、研究深入——基于前數(shù)學理解的生長課堂踐行

（一）基于現(xiàn)實起點，直觀表征，挖掘前數(shù)學理解

學生認知的現(xiàn)實起點整合了諸多前數(shù)學理解的資源，它們多處于一種默隱狀態(tài)。引導學生自主運用數(shù)學直觀（如操作、畫圖等）對已知進行表征，往往能激發(fā)起他們對新知已有的朦朧理解與感性體驗。以組織交流為契機，選擇有效的切入點適時追問，能使學生的前數(shù)學理解從膚淺、片面逐步走向深刻、豐滿。

1.對接生活經(jīng)驗，豐盈活動體驗，體會概念核心。

學生的已有生活經(jīng)驗是數(shù)學學習的基石，而很多教師往往只把它們處理成新知的引入點。如教學蘇教版五下《圓的認識》，教師由學生熟悉的套圈游戲引入，問：“怎么站才公平？”學生回答：“圍成一個圓?！苯處熃沂菊n題，這已成為該課教學的經(jīng)典導入模式。深挖學生的前數(shù)學經(jīng)驗，以學生的已有生活經(jīng)驗鏈接數(shù)學活動體驗，有教師進行了如下嘗試：

師：四個小朋友要玩套圈游戲，怎樣站才公平？請在材料紙上畫一畫。

生1： " "。 "生2： " " 。

師：他們這樣站公平嗎？為什么？

師：又來了一個小朋友，他可能站在哪里？請你畫一畫。

生1： " 。 生2： " 。 生3： " 。

師：繼續(xù)畫下去，想象一下會是一個什么圖形，圓上每個點有什么共同之處呢？

以上教學中，教師讓學生借助材料畫一畫四個小朋友的位置，使學生初步感受到每個人離中心點的距離都是相等的。接著，教師進一步拉長教學細節(jié)，請學生畫出第五個小朋友可能的位置，通過交流，學生的直觀經(jīng)驗不斷得以疊加，真切感受到與中心點距離相等的點組成的圖形就是圓。以直觀操作為支撐，有效挖掘前數(shù)學理解，學生自然理解了圓的概念核心——定點、定長。

2.尋找現(xiàn)實原型，聯(lián)通直觀模型，抽象數(shù)學本質(zhì)。

現(xiàn)實原型的價值不僅在于幫助學生直觀地理解數(shù)學，還為學生深入探究數(shù)學本質(zhì)提供了有力的工具性支架。如教學蘇教版五上《認識小數(shù)》時，教師通過學情調(diào)查發(fā)現(xiàn)，由于小數(shù)的意義比較抽象，雖然學生已經(jīng)初步認識了一位小數(shù)，但他們的理解是片面、模糊的，所以，教師進行了如下教學：

（出示文具店促銷的情景，請學生選擇一個自己喜歡的一位小數(shù)并畫出來。）

師：你是怎么想的？請想辦法表示出0.15元。

生1：。生2：。

師：兩種方法從表面上看有所不同，但本質(zhì)上它們都表示了什么？（課件相機演示：）

上述教學中，教師仍選擇“元—角—分”等生活原型作為教學起點，請學生畫出0.15元的直觀模型。學生基于生活經(jīng)驗自覺調(diào)用頭腦中潛在的前數(shù)學理解，生成了兩種畫法，教師引導學生進行畫法類比，使學生體悟到0.15的分數(shù)本質(zhì)?？梢?，以現(xiàn)實生活原型聯(lián)通數(shù)學直觀模型能有效激發(fā)學生的前數(shù)學理解，催生其對小數(shù)意義本質(zhì)的理解。

3.操作表征已知，彰顯意義理解，完善認知結構。

學生的已有認知為新知的建構提供了邏輯生長點。運用直觀表征已有認知，更能彰顯學生對已知的個性化理解，組織交流則能進一步豐富學生對已知內(nèi)涵的體悟，從而使新知生長點擴展為更富營養(yǎng)的新知生長地帶。如教學蘇教版五下《認識分數(shù)》，學生對分數(shù)的意義已經(jīng)有了一定的理解，所以，教師引導學生運用直觀表征已知展開教學。

師：請你自己畫一畫。

師：請將畫法分類。你是怎么想的？你能用一句話概括出所有的畫法嗎？

數(shù)學學習本質(zhì)上是建構認知結構的過程。上述教學中，學生在畫分數(shù)的過程中自然喚醒了關于分數(shù)意義的前數(shù)學理解，教師進而引導學生對畫法進行分類，使學生自然生成了對單位“1”的理解，從而進一步完善了原有的認知結構。

（二）基于先期學習，逆向解模，敞亮前數(shù)學理解

俞正強老師這樣解釋先期學習：“以某一知識點為對象，在教師還沒有組織全班學生進行系統(tǒng)學習之前，學生已經(jīng)以個體的方式對該知識進行了一定程度的學習或經(jīng)歷，從而形成了個性化的理解?！睂W生的探究活動有一定的邏輯結構，但個體性的先期學習會導致課堂出現(xiàn)結果先行的現(xiàn)象，使得某些學生的探究不能按照既定的線性結構推進。

以蘇教版五下《解決問題的策略：轉化》為例，教師預設的探究層次為：出示，當學生出現(xiàn)計算障礙時，激發(fā)其先從=……開始研究，觀察算式的特征歸納規(guī)律，最后賦數(shù)以形闡釋算理。可在實際教學中，教師剛出示復雜計算，立馬就有幾個學生報出了答案：“這些分數(shù)的分子都是1，后一個分數(shù)是前一個分數(shù)的一半，所以只要用1減去最后一個分數(shù)就可以了?！贝藭r，教師可以調(diào)整預設：引導學生自己通過算一算、畫一畫進行驗證，在交流中學生發(fā)現(xiàn)反例，如等，通過反例、正例的比較、討論，使學生進一步明晰規(guī)律的適用范圍——第一個加數(shù)必須是，后一個加數(shù)是前一個加數(shù)的一半。

數(shù)學學習要“知其然”，更要“知其所以然”。教師應直面學生的先期學習，順勢而導，使學生的前數(shù)學理解由懵懂走向敞亮。

（三）基于生成雛形，捕捉放大，提升前數(shù)學理解

1.尊重學生立場，順應原生思維，體會數(shù)學思想。

學生帶著自己的原有知識、獨特經(jīng)驗走進課堂，使課堂呈現(xiàn)出豐富多變的個性化的生長姿態(tài)。教師應尊重并相信學生自然生長的心態(tài)與潛能，學會站在學生的立場研究數(shù)學，讀懂學生原生的思維方式及思維過程，引導學生體會其前數(shù)學理解中隱含的數(shù)學思想。

如執(zhí)教蘇教版三上《探索一一間隔的規(guī)律》時，教師引導學生感受規(guī)律之后，請學生自己創(chuàng)作符合一一間隔排列規(guī)律的作品，學生的作品如下：○□○□○□○□，ACACACA，大小大小大小，……。教師并沒有請學生直接進行數(shù)據(jù)分析，而是引導學生比較兩種事物的多少——“我發(fā)現(xiàn)一個○后面跟著一個□，正好有4組，所以說○和□一樣多”“我把AC看作一組，最后一個A沒有C跟它做伴，所以A多”……教師由此切入，不斷放大學生原生思維中閃動的“一一對應”數(shù)學思想的火花。

2.讀懂數(shù)學直覺，捕捉思想雛形，支撐深度探究。

徐利治教授指出：“數(shù)學直覺就是對于數(shù)學對象事物（結構及其聯(lián)系）的某種直接領悟或洞察。這是一種不包含普通邏輯推理過程的直接悟性，屬于非形式邏輯的思維活動范疇?！睂W生的數(shù)學直覺有時看起來不著邊際，教師要保持一定的敏感度，善于發(fā)現(xiàn)、捕捉蘊含其中的前數(shù)學理解。

如在執(zhí)教蘇教版五下《圓的面積》一課時，教師試圖給予學生一個更加開放的探究空間，讓學生自己利用學具（包括空白的圓形紙片和畫好等分線的圓形紙片）將圓轉化成已知圖形。幾次試教，發(fā)現(xiàn)由于極限逼近經(jīng)驗的缺失，學生即使拿到等分好的圓也不敢剪拼，而每個班級總會有幾個學生想到在空白的圓形紙片上畫出正方形。這引起了教師的思考：學生熟悉的平面圖形有長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形，其中與圓最接近的就是正方形，學生在圓中畫正方形，這不正是極限逼近數(shù)學思想的雛形嗎？由此切入，教師引導學生經(jīng)歷不斷對折并畫出圓內(nèi)接正多邊形的探究活動，從而使學生實現(xiàn)了極限逼近數(shù)學思想的原生頓悟。

總之，前數(shù)學理解不僅包括學生已有的生活經(jīng)驗、數(shù)學認知、數(shù)學活動經(jīng)驗等可持續(xù)生長的資源，還包括他們在課堂上生成的原生思維、數(shù)學直覺等蘊含的新知雛形。教師應有效挖掘學生的前數(shù)學理解，激活他們已知世界本身所默隱的新知生長資源，適時進行點撥，以促進其數(shù)學學習的自然生長。

【參考文獻】

[1]俞正強.種子課：一個數(shù)學特級教師的思與行[M].北京：教育科學出版社，2013.

[2]徐利治.數(shù)學與思維[M].大連：大連理工大學出版社，2008.

注：本文獲2014年江蘇省“教海探航”征文競賽三等獎，有刪改。