吉智深

人總是以已有知識(shí)作為背景，去從事認(rèn)識(shí)、獲取新知識(shí)。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也不例外，數(shù)學(xué)課堂上教師必須給學(xué)生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的背景，通過交流分享，借助于概括，幫助學(xué)生自覺地重建隱藏在背景后的數(shù)學(xué)知識(shí)的含義。隨著數(shù)學(xué)課程改革的深化，數(shù)學(xué)工作者越來越關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)背景的來源、創(chuàng)設(shè)與遷移等問題，因?yàn)檫@些問題的探討關(guān)系到數(shù)學(xué)教材的編寫、教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程。下面結(jié)合具體數(shù)學(xué)知識(shí)，探討數(shù)學(xué)知識(shí)背景的來源、創(chuàng)設(shè)與遷移，以便更好地開展小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)。

一、 小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)背景應(yīng)來源于原始的現(xiàn)實(shí)

弗賴登塔爾在《數(shù)學(xué)教育再探》一書指出：“數(shù)學(xué)化未必要從一種接近數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)開始，而應(yīng)從一種我所說的原始的現(xiàn)實(shí)開始?！惫P者認(rèn)為原始的現(xiàn)實(shí)有三：一是數(shù)學(xué)知識(shí)的原始生活；二是數(shù)學(xué)發(fā)展的原始過程；三是兒童認(rèn)知的原始世界。

1.小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)背景來源于數(shù)學(xué)知識(shí)的原始生活

有了數(shù)學(xué)就有了數(shù)學(xué)化，而數(shù)學(xué)化又有橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化之分，弗賴登塔爾是這樣劃分橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化的：橫向數(shù)學(xué)化把生活世界引向符號(hào)世界。符號(hào)世界里，符號(hào)生成、重塑和被使用，而且是機(jī)械地、全面地、互相呼應(yīng)地，這就是縱向數(shù)學(xué)化。弗賴登塔爾通過具體的例子解釋了橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化的區(qū)別。通過這些例子，我們可以清晰地看到一些數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算來源于我們?cè)嫉纳钍澜?。比如：除法這一運(yùn)算的原始背景之一就是減法：把一些物品分給一群人，可以把這些物品一個(gè)一個(gè)地發(fā)下去，也可以每回分給每個(gè)人等量的物品，直至分完或不能再分為止。這種來自生活的背景能最有效、最容易允許學(xué)生靈活地進(jìn)行遷移，無論是一位數(shù)除以一位數(shù)還是多位數(shù)除以多位數(shù)，乃至分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，“減法”這種生活背景能夠指導(dǎo)學(xué)生得到除法運(yùn)算法則。

小學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)廣泛地依賴學(xué)生熟悉的原始生活，沿著人類數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的活動(dòng)軌跡，從生活問題到數(shù)學(xué)問題，通過數(shù)學(xué)化，逐步讓學(xué)生通過自己的努力去學(xué)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)。

2.小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)背景來源于數(shù)學(xué)發(fā)展的原始過程

弗賴登塔爾在《數(shù)學(xué)教育再探》中指出：“新一代繼續(xù)他們祖先所形成的知識(shí)，但他們并不是跨到他們老一輩所達(dá)到的水平。他們被置于更低的水平，在此基礎(chǔ)上重新開始人類的學(xué)習(xí)過程，盡管是以一種修改的方式。”如果學(xué)生在教師指導(dǎo)下，重復(fù)人類的學(xué)習(xí)過程，那么他們更容易學(xué)會(huì)、借助和遷移這些知識(shí)。但讓學(xué)生重復(fù)或復(fù)制人類發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的全過程是不可能的，也沒有這個(gè)必要。怎樣處理兩者的矛盾呢？波利亞給出了折中的建議，第一，在教一個(gè)概念時(shí)，應(yīng)當(dāng)讓孩子重蹈人類思維發(fā)展中的那些關(guān)鍵性步子。第二，孩子重復(fù)人類的學(xué)習(xí)過程，但并非按照它的實(shí)際發(fā)生過程，而是假定前人就知道我們現(xiàn)在所知的東西，那么他們會(huì)怎樣做。

姜榮富老師在《讓孩子重蹈人類思維發(fā)展中的關(guān)鍵步子》一文中有這樣一個(gè)教學(xué)片段“新計(jì)數(shù)單位是怎樣產(chǎn)生的？”教學(xué)主要內(nèi)容是：假如有0，1、2、3、4、5、6、7、8、9 這十個(gè)數(shù)字以后，如何表示更大的數(shù)？這里涉及到計(jì)數(shù)法、自然數(shù)記數(shù)的位值原則和十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。讓學(xué)生學(xué)會(huì)像古人那樣，滿十進(jìn)一，用位值原則來簡(jiǎn)單表示很大的數(shù)，這樣的教學(xué)過程雖然只是讓學(xué)生簡(jiǎn)單經(jīng)歷了數(shù)的發(fā)展的歷史過程，但卻讓學(xué)生對(duì)數(shù)的概念有了更深層次的理解。

3.小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)背景來源于學(xué)生認(rèn)知的原始世界

小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫時(shí)，盡可能考慮到數(shù)學(xué)知識(shí)的背景來源于兒童的現(xiàn)實(shí)生活，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。但我們要知道學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活不等于他們的原始世界。

在兒童的原始世界里，有童話故事、有魔法師和魔法棒，有著無窮無盡的想像力。如果一個(gè)兒童計(jì)算出0-1=1，0-2=00，0-3=000，你不要生氣，這是一個(gè)最漂亮的錯(cuò)誤，他比說不會(huì)做的學(xué)生更具有想像力。船上有13頭牛6只羊，請(qǐng)問船長(zhǎng)年齡多大？如果學(xué)生能算出船長(zhǎng)的年齡，也不要見怪?？赡艽藭r(shí)這些學(xué)生正在愉快地笑著，因?yàn)樗麄円呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了其中的秘密。兒童的原始世界里還包括他們對(duì)自己身體的感性認(rèn)識(shí)，對(duì)兒童來說，所有學(xué)習(xí)盡可能從身體動(dòng)作開始。讓他們一邊點(diǎn)著自己的手指一邊數(shù)：“1-2-3-4-5-6-7-8-9-10”，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)：“我有10個(gè)手指！”兒童也可以去數(shù)自己的腳趾，然后發(fā)現(xiàn)自己有10個(gè)腳趾頭。手可以幫助兒童領(lǐng)會(huì)，腳可以幫助兒童理解。

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)不能假借“現(xiàn)實(shí)”“有用”等借口過早干預(yù)兒童的學(xué)習(xí)，追求立竿見影、馬上能用的實(shí)惠，而要把數(shù)學(xué)教得容易些，等待長(zhǎng)大，讓兒童學(xué)會(huì)他們?cè)搶W(xué)到的正確思維方式。

二、 數(shù)學(xué)再創(chuàng)造依賴于豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)背景

當(dāng)教材和教師尋找數(shù)學(xué)知識(shí)的原始背景時(shí)，發(fā)現(xiàn)這些來源太多了，如何選擇是擺在人們面前的一道難題。如果選擇其中一個(gè)就會(huì)讓背景變得過于狹隘，那么就不選擇，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)豐富的知識(shí)背景，讓學(xué)生自己進(jìn)行數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造。教師已經(jīng)知道這些背景里的數(shù)學(xué)知識(shí)，為什么不能把數(shù)學(xué)定義、法則和算法直接告訴學(xué)生，而讓學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造呢？弗賴登塔爾在《數(shù)學(xué)教育再探》一書中列出了三點(diǎn)理由：“第一，知識(shí)和能力，如果通過自己的活動(dòng)獲得的，就比別人強(qiáng)加的要掌握得更好，也更有實(shí)用性。第二，發(fā)現(xiàn)是一件令人愉快的事，所以通過再創(chuàng)造進(jìn)行學(xué)習(xí)是有促動(dòng)力的。第三，它促進(jìn)了將數(shù)學(xué)作為一種人類活動(dòng)來體驗(yàn)的觀念的形成?！睆木唧w的課堂教學(xué)來看，數(shù)學(xué)的教與學(xué)也離不開豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)背景，體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生依賴于豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)背景

我們知道，數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生離不開實(shí)踐活動(dòng)和對(duì)已知的概念、現(xiàn)象的再認(rèn)識(shí)。教師應(yīng)考慮把問題的起點(diǎn)退回到學(xué)生熟悉的知識(shí)背景，站在學(xué)生的角度想問題，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的過程。以教學(xué)分?jǐn)?shù)為例，雖然每一個(gè)國家表示分?jǐn)?shù)的詞匯不同，但對(duì)于“分?jǐn)?shù)”一詞的解釋基本一致，就是“被分割的數(shù)”。所以不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”中都設(shè)計(jì)了“分物”活動(dòng)。華應(yīng)龍老師在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)過程中，用測(cè)量和分物兩個(gè)背景引入分?jǐn)?shù)，從測(cè)量這一背景引入分?jǐn)?shù)，還能體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的另一意義——比，這一點(diǎn)值得我們思考與借鑒。在課堂教學(xué)中，如何讀出■，華老師精心設(shè)計(jì)了“四份之三”這個(gè)新詞，從“圖形表征”到“數(shù)學(xué)語言”完美地解釋了“四分之三”的含義，也讓學(xué)生真正體會(huì)到“分?jǐn)?shù)”這一概念的真實(shí)性。

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展依賴于豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)背景

數(shù)學(xué)知識(shí)不是一種靜態(tài)的解釋，而是一種動(dòng)態(tài)的活動(dòng)。比如加法和減法，9-5=4，靜態(tài)的解釋就是9-5與4相等，其他沒有任何意義，但如果把它與相關(guān)背景聯(lián)系起來，那背景就很豐富了。如：停車場(chǎng)有多少個(gè)位置，已停了多少汽車？離節(jié)日還有多少天？還有多少頁沒有讀完？雖然我們可以一個(gè)一個(gè)把它們數(shù)出來，但我們能不能更聰明一些，通過它們的結(jié)構(gòu)把它們算出來？雖然這些數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)老師來說是熟知的，但對(duì)于學(xué)生來說是新的，是一種再創(chuàng)造。學(xué)生通過自己的活動(dòng)獲得了新知識(shí)，是一件令人愉快的事情。

3.數(shù)學(xué)問題的解決依賴于豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)背景

如果僅僅把一種來源作為數(shù)學(xué)知識(shí)的背景而忽視其他來源，那是一件非常遺憾的事情。解決該問題的辦法就是讓學(xué)生用所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問題，這樣就會(huì)出現(xiàn)許多應(yīng)用題。以加法和減法為例，當(dāng)學(xué)生遇到相關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，如果沒有人告訴他如何解決，那他一定會(huì)想起加法和減法的含義而回到它們的來源。弗賴登塔爾指出：“算術(shù)的應(yīng)用是因?yàn)橛姓嬲耐瑯?gòu)?！睂W(xué)生從應(yīng)用題“小明有5個(gè)玻璃球，又贏了3個(gè)，現(xiàn)在他有多少顆？”得到“5+3=8”。學(xué)生一旦從一些背景中學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)符號(hào)“5+3=8”的含義，即使脫離了任何背景，數(shù)學(xué)符號(hào)仍然有意義，因?yàn)樗梢赃m用于任何背景：5天和3天、5千米和3千米、5環(huán)和3環(huán)、5次和3次……

4.創(chuàng)新思維的發(fā)展依賴于豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)背景

在數(shù)學(xué)里學(xué)生學(xué)會(huì)了分類這一重要的思維方式，教師要求學(xué)生按照分類學(xué)或者等級(jí)進(jìn)行分類。如把水果歸為一類，如果有人把“蘋果”這個(gè)詞和“吃”這個(gè)詞分為一類，把“小汽車”和“汽油”分為一類，肯定有許多人說他笨。其實(shí)仔細(xì)想想，這種分類方法很有道理，人吃蘋果而汽車燒汽油，它是按照事物功能來分類的。弗賴登塔爾指出：“這并不是一個(gè)預(yù)先構(gòu)造的而是一個(gè)等待構(gòu)造的世界?！边@種創(chuàng)新的分類方法對(duì)日常生活中問題的解決很有幫助，所以我們應(yīng)該借助豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)背景，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性思維，這對(duì)學(xué)生將來的發(fā)展是大有益處的。

5.數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)依賴于豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)背景

豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)背景對(duì)于數(shù)學(xué)再創(chuàng)造是有些干擾的，背景越多對(duì)數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的干擾可能就越大，但這正是數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的魅力：從紛繁蕪雜的背景中尋找最本質(zhì)的信息，也就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。負(fù)數(shù)教學(xué)就是一個(gè)很好的例子，張奠宙教授在《多多注意數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示——剖析“用溫度計(jì)引入負(fù)數(shù)”的優(yōu)缺點(diǎn)》一文指出： “引入負(fù)數(shù)不能只用溫度模型”、因?yàn)樗荒芡耆w現(xiàn)負(fù)數(shù)的本質(zhì)，更應(yīng)通過“收入與支出、增加與減少、贏與輸、溫度的零上與零下、海拔的高與低、方向的向東與向西等”多種動(dòng)態(tài)的背景，讓學(xué)生理解“負(fù)數(shù)是一種相反意義的量”這一數(shù)學(xué)本質(zhì)。

三、 理性看待數(shù)學(xué)知識(shí)背景遷移的雙重作用

知識(shí)背景作為認(rèn)識(shí)定勢(shì)是認(rèn)識(shí)的某種特定的趨向，具有雙重性。一方面，知識(shí)背景的遷移有積極的作用，正是利用了知識(shí)背景的遷移作用，人的認(rèn)知水平乃至人類文明才有了長(zhǎng)足進(jìn)步，從這個(gè)意義上講，知識(shí)背景的遷移作用是一種極為寶貴的精神財(cái)富，是構(gòu)成人的認(rèn)識(shí)能力的最主要的成分。另一方面，知識(shí)背景的遷移有其消極的作用，人們完全憑借固定的思維過程去認(rèn)識(shí)事物，極力將一切都納入已有的認(rèn)識(shí)框架中去，拒絕根據(jù)客觀實(shí)際和實(shí)踐需要對(duì)原有的模式做出任何調(diào)整。所以在教學(xué)過程中，我們要理性看待數(shù)學(xué)知識(shí)背景遷移的作用，善于利用它的積極作用，及時(shí)糾正消極作用對(duì)學(xué)生認(rèn)知的干擾。

我們已經(jīng)知道：當(dāng)a，b是自然數(shù)，且b≠0時(shí)，除法算式a÷b表示兩種意義：

（1）可以表示a是b的幾倍或幾分之幾。

（2）可以表示什么數(shù)的b倍等于a，或者把a(bǔ)平均分成b份，每份是多少。

知識(shí)背景作為認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)是一種動(dòng)態(tài)的結(jié)構(gòu)，它不斷地把接受來的信息轉(zhuǎn)換成自身結(jié)構(gòu)的一部分，當(dāng)學(xué)生遇到■=■時(shí)，他們肯定認(rèn)為這個(gè)除法算式仍然具有上述兩種意義，事實(shí)也是這樣。分?jǐn)?shù)除法的算法分兩種情形來探索：一是除數(shù)是整數(shù)的情形，二是除數(shù)是分?jǐn)?shù)的情形。第一種情形最容易理解，比如：如何計(jì)算■÷2，學(xué)生根據(jù)整數(shù)除法的理解，就是求■的一半是多少？借助幾何直觀，探索得到兩種不同的算法：■÷2=■=■；■÷2=■×■=■。進(jìn)一步研究得到，第一種方法不能普遍適用，第二種方法則能普遍適用。再考慮除數(shù)是分?jǐn)?shù)的情形，則有多種思考角度，如1■÷■，第一種考慮，因?yàn)?■>■，所以就考慮1■是■的多少倍。第二種考慮，求一個(gè)數(shù)，使得它的■是1■。無論哪一種考慮，都是從整數(shù)除以整數(shù)的意義遷移到分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的意義，從而得到分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的算法。由此可見，知識(shí)背景的遷移在學(xué)習(xí)新知識(shí)方面起了關(guān)鍵性作用。

當(dāng)然，知識(shí)背景的遷移并不是總起著積極的作用，盲目運(yùn)用知識(shí)背景的遷移有時(shí)也會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生。有這樣一個(gè)典型的基本比例問題：4千克蘋果價(jià)值32元。7千克蘋果價(jià)值多少元？有的學(xué)生直接寫出比例■=■。當(dāng)學(xué)生遇到下面問題：7工人在28天內(nèi)完成某件工作。5個(gè)工人要幾天才能完成此工作？學(xué)生斷定這也是比例問題，并寫出：■=■，求得x=20。很顯然這個(gè)答案是錯(cuò)誤的，學(xué)生發(fā)生這樣的錯(cuò)誤是因?yàn)樗麄儧]有真正理解知識(shí)背景的結(jié)構(gòu)，根據(jù)問題背景表面的相似性得到了錯(cuò)誤的推廣。教師面對(duì)這樣的錯(cuò)誤應(yīng)該理性看待，不能直接否定學(xué)生的想法，要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，如果7個(gè)工人在28天內(nèi)完成這件工作，工人少了，卻在更少的時(shí)間內(nèi)完成該工作。這樣的答案合理嗎？引導(dǎo)學(xué)生反思，讓學(xué)生意識(shí)到當(dāng)舊的知識(shí)背景實(shí)在無法容納新的問題時(shí)，應(yīng)適當(dāng)?shù)馗淖冋J(rèn)識(shí)定勢(shì)，以便完成認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的重建與完善。

總之，隨著小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的不斷深入，知識(shí)背景的來源、創(chuàng)設(shè)和遷移等方面的問題越來越被廣大教育工作者所關(guān)注，希望對(duì)它們的探討能幫助教材更多從兒童的角度考慮知識(shí)的來源，讓數(shù)學(xué)內(nèi)容更貼近兒童的原始現(xiàn)實(shí)；幫助教師從數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的角度來設(shè)計(jì)教學(xué)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加有意義；幫助學(xué)生充分利用知識(shí)背景遷移的積極作用，在反思與調(diào)整過程中不斷完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【責(zé)任編輯：陳國慶】