瑛 瑛

（呼倫貝爾學院 數(shù)學統(tǒng)計學院，內(nèi)蒙古 海拉爾 021008）

解析函數(shù)是復變函數(shù)論研究的主要對象，因此，復變函數(shù)論又稱為解析函數(shù)論.解析函數(shù)不僅具有多種性質(zhì)，也有著廣泛的應用.但很多教材中，尤其物理、電信等專業(yè)的《復變函數(shù)與積分變換》教材中很少涉及到解析函數(shù)的物理意義及應用.本文簡明地介紹了解析函數(shù)的物理意義，并例舉了典型的應用例子，從而使解析函數(shù)的概念從抽象到具體，更容易讓學生理解.

1 復變函數(shù)的物理意義

物理學上有很多不同的穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區(qū)域，可用一個復變函數(shù)表示.

例1 平面向量場的復變函數(shù)表示.

分析：如果一個向量場E為平面場，則E上所有的向量都平行與某一個平面S.這樣，向量場E就可以用平面S上的向量場來表示.在平面S上采用向量的復數(shù)記法，那么向量場E就唯一地確定一個復變函數(shù)

這里，Ex，Ey分別表示向量場E在x軸和y軸上的兩個分量.反之，已知某一個復變函數(shù)w=u(x,y)+iv(x,y)，由此也可以作出一個對應的平面向量場

2 解析函數(shù)的物理意義

一個無源無旋的平面向量場可用一個解析函數(shù)表示，則這個解析函數(shù)是該平面向量場的復勢函數(shù).

例2 平面靜電場用解析函數(shù)表示.

分析：選取一個有代表性的平面作為z平面，設D是電場中的一個單連通區(qū)域，如果D內(nèi)每一點電場強度f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，由場論知識，有

由式（1）可知，-vdx+udy是某一個二元函數(shù)ψ(x,y)的全微分，即有

ψ(x,y)稱為電場的力函數(shù)，其等值線ψ(x,y)=c稱為電力線.

由（2）可知，存在函數(shù) φ(x,y)，使得

φ(x,y)稱為電場的勢函數(shù)，其等值線φ(x,y)=c稱為等勢線.

由（2）和（3）得到偏微分方程組

以上方程是C-R方程，因此得到一個解析函數(shù)

該函數(shù)稱為靜電場的復勢函數(shù).顯然，f的復勢不是唯一確定的，可以相差一個常數(shù).

類似地，對任一既無源又無旋的平面向量場總可以構(gòu)造一個解析函數(shù)，即復勢與之對應.流體力學中無旋流動的研究中也經(jīng)常用到解析函數(shù)，利用復勢來刻畫流動比用復速度方便，因為由復勢求復速度只用到求導數(shù)，反之則要用積分.另一方面，由復勢容易求流線和勢線，這樣可以了解流動的情況.

例3 已知平面流速場的復勢f(z)為(z+i)2，求流動的速度以及流線和等勢線方程.

故該流體流動的水平及垂直分速分別為2x,2(y+1).

綜上所述，解析函數(shù)具有明確的物理意義和廣泛的應用背景.在復變函數(shù)論的課堂教學中，把解析函數(shù)及其他的一些概念和定理等的物理意義及應用作以介紹，對提高學生的學習興趣及培養(yǎng)他們理論聯(lián)系實際的能力有很大的幫助.

〔1〕鐘玉泉.復變函數(shù)論[M].高等教育出版社,2004.

〔2〕華中科技大學數(shù)學系,復變函數(shù)與積分變換(第三版)[M].高等教育出版社，2008.

〔3〕余家榮.復變函數(shù)[M].高等教育出版社,2005.

〔4〕張金鋒,等.解析函數(shù)在平面靜電場中的應用性研究[J].吉林師范大學學報 2013（2）：84-86.