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(呼倫貝爾學(xué)院 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 海拉爾 021008)
解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)論研究的主要對象,因此,復(fù)變函數(shù)論又稱為解析函數(shù)論.解析函數(shù)不僅具有多種性質(zhì),也有著廣泛的應(yīng)用.但很多教材中,尤其物理、電信等專業(yè)的《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教材中很少涉及到解析函數(shù)的物理意義及應(yīng)用.本文簡明地介紹了解析函數(shù)的物理意義,并例舉了典型的應(yīng)用例子,從而使解析函數(shù)的概念從抽象到具體,更容易讓學(xué)生理解.
物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場,所謂場就是每點(diǎn)對應(yīng)有物理量的一個(gè)區(qū)域,可用一個(gè)復(fù)變函數(shù)表示.
例1 平面向量場的復(fù)變函數(shù)表示.
分析:如果一個(gè)向量場E為平面場,則E上所有的向量都平行與某一個(gè)平面S.這樣,向量場E就可以用平面S上的向量場來表示.在平面S上采用向量的復(fù)數(shù)記法,那么向量場E就唯一地確定一個(gè)復(fù)變函數(shù)
這里,Ex,Ey分別表示向量場E在x軸和y軸上的兩個(gè)分量.反之,已知某一個(gè)復(fù)變函數(shù)w=u(x,y)+iv(x,y),由此也可以作出一個(gè)對應(yīng)的平面向量場
一個(gè)無源無旋的平面向量場可用一個(gè)解析函數(shù)表示,則這個(gè)解析函數(shù)是該平面向量場的復(fù)勢函數(shù).
例2 平面靜電場用解析函數(shù)表示.
分析:選取一個(gè)有代表性的平面作為z平面,設(shè)D是電場中的一個(gè)單連通區(qū)域,如果D內(nèi)每一點(diǎn)電場強(qiáng)度f(z)=u(x,y)+iv(x,y),由場論知識,有
由式(1)可知,-vdx+udy是某一個(gè)二元函數(shù)ψ(x,y)的全微分,即有
ψ(x,y)稱為電場的力函數(shù),其等值線ψ(x,y)=c稱為電力線.
由(2)可知,存在函數(shù) φ(x,y),使得
φ(x,y)稱為電場的勢函數(shù),其等值線φ(x,y)=c稱為等勢線.
由(2)和(3)得到偏微分方程組
以上方程是C-R方程,因此得到一個(gè)解析函數(shù)
該函數(shù)稱為靜電場的復(fù)勢函數(shù).顯然,f的復(fù)勢不是唯一確定的,可以相差一個(gè)常數(shù).
類似地,對任一既無源又無旋的平面向量場總可以構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù),即復(fù)勢與之對應(yīng).流體力學(xué)中無旋流動(dòng)的研究中也經(jīng)常用到解析函數(shù),利用復(fù)勢來刻畫流動(dòng)比用復(fù)速度方便,因?yàn)橛蓮?fù)勢求復(fù)速度只用到求導(dǎo)數(shù),反之則要用積分.另一方面,由復(fù)勢容易求流線和勢線,這樣可以了解流動(dòng)的情況.
例3 已知平面流速場的復(fù)勢f(z)為(z+i)2,求流動(dòng)的速度以及流線和等勢線方程.
故該流體流動(dòng)的水平及垂直分速分別為2x,2(y+1).
綜上所述,解析函數(shù)具有明確的物理意義和廣泛的應(yīng)用背景.在復(fù)變函數(shù)論的課堂教學(xué)中,把解析函數(shù)及其他的一些概念和定理等的物理意義及應(yīng)用作以介紹,對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及培養(yǎng)他們理論聯(lián)系實(shí)際的能力有很大的幫助.
〔1〕鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].高等教育出版社,2004.
〔2〕華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,復(fù)變函數(shù)與積分變換(第三版)[M].高等教育出版社,2008.
〔3〕余家榮.復(fù)變函數(shù)[M].高等教育出版社,2005.
〔4〕張金鋒,等.解析函數(shù)在平面靜電場中的應(yīng)用性研究[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào) 2013(2):84-86.