李江華

（廣東理工學(xué)院，廣東　肇慶　526100）

關(guān)于一致連續(xù)的判定與應(yīng)用

李江華

（廣東理工學(xué)院，廣東肇慶526100）

本文以一致連續(xù)函數(shù)的判定與應(yīng)用為研究對(duì)象，基于現(xiàn)有判定定理，分析函數(shù)一致連續(xù)的性質(zhì)，增強(qiáng)一致連續(xù)的應(yīng)用.

函數(shù)思想；函數(shù)方程式；一致連續(xù)；判定定理

1　引言

函數(shù)是構(gòu)建中學(xué)數(shù)學(xué)的主旋律.而函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)的運(yùn)用較多.它起到承上啟下的作用.在考慮到相關(guān)運(yùn)動(dòng)變化、相依關(guān)系的同時(shí)，以一類狀態(tài)過渡至研究變化的過程，從而確立相關(guān)的思想方式.在高中數(shù)學(xué)的范疇，關(guān)于不等式的研究，如何才能體現(xiàn)相應(yīng)的函數(shù)思想，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)解決不等式的問題，進(jìn)一步挖掘培養(yǎng)學(xué)生的思維深刻性.為此，我們必須從問題分析開始，對(duì)函數(shù)思想加以論述，并詳細(xì)地探究.

2　函數(shù)的基本概念

2.1函數(shù)概念

對(duì)于函數(shù)的概念，我們可定義為，在一個(gè)變化的過程，設(shè)定兩個(gè)變量，分別為x、y，對(duì)于x，均有唯一值y與之對(duì)應(yīng)，即x為自變量，y是x的函數(shù)，而自變量x取值的集合，與x相應(yīng)的y稱為函數(shù)值域.從x→y，在相應(yīng)的值域均有唯一的f（x）與它對(duì)應(yīng).它揭示的是定義域、值域與對(duì)應(yīng)法則的關(guān)系.

2.2函數(shù)思想

運(yùn)用函數(shù)思想，從概念入手，就其性質(zhì)，對(duì)問題加以分析，將其轉(zhuǎn)化為解決技巧.從問題開始，研究彼此之間的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，將因素轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模式，從而將問題加以解決.基于方程的思想，結(jié)合方程組，對(duì)其求解，轉(zhuǎn)換對(duì)應(yīng)的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)方程組因式分解，得出結(jié)果.

笛卡爾方程思想是以問題為主，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為結(jié)果，因函數(shù)與多元方程區(qū)別較少.兩者基本無差異.它圍繞著二元函數(shù)，結(jié)合因變量與自變量，探究方程組的求解過程.

列方程、解方程和研究方程的特性，均是通過方程思想加以考慮的.函數(shù)方程確定的是數(shù)量之間的關(guān)系，而函數(shù)思想則通過問題的研究，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)特征.函數(shù)模型的構(gòu)建，研究相關(guān)的關(guān)系.按函數(shù)性質(zhì)，對(duì)問題加以分解，結(jié)合不同性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)增減、指數(shù)函數(shù)等.按不同組分的求解，基于顯隱條件，構(gòu)造相關(guān)的函數(shù).從問題的現(xiàn)象透視本質(zhì)，構(gòu)建彼此之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)方程.經(jīng)過變量之間的分析，確定對(duì)應(yīng)的組分，從而研究不同函數(shù)之間的關(guān)系，挖掘其中的規(guī)律變化.

2.3一致連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

結(jié)合數(shù)學(xué)分析，函數(shù)一致連續(xù)性是重要的教學(xué)內(nèi)容.它強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)的連續(xù)性，基于區(qū)間的考慮，它表達(dá)的是函數(shù)在區(qū)間I的分布，而函數(shù)一致連續(xù)問題是連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，基于微積分學(xué)的研究，函數(shù)的應(yīng)用將較為重要的.

3　函數(shù)一致連續(xù)的判定與應(yīng)用

3.1一致連續(xù)的定理

假設(shè)f（x）在［a,b］連續(xù)，那么判定f（x）在［a,b］是一致連續(xù)的.如果?ε＞0，?δ（ε）＞0，對(duì)于?x1、x2∈［a,b］，則有|x1-x2|＜δ，推出|f（x1）-f（x2）|＜ε.那么，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a,b］是一致連續(xù)的.基于一致連續(xù)判定，劃分為不同的定理.如下所示：

3.2一致連續(xù)函數(shù)判定

基于3.1定理判斷，判定一致連續(xù)函數(shù)的有效性.因區(qū)域連續(xù)且為有界函數(shù)，它在區(qū)域I是一致連續(xù)的.基于有限值的判斷，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，判定其是否是一致連續(xù)的.因函數(shù)有界，且區(qū)間

例1設(shè)f（x）,g（x）均在區(qū)域I內(nèi)一致連續(xù)且有界，證明：F（x）=f（x）g（x）也于I一致連續(xù).

證明f（x）,g（x）有界，為此，M＞0，使|f（x）|＜M,|g（x）|＜M，?x∈I.判定f（x）,g（x）均為一致連續(xù)的.

為此，F(xiàn)（x）在區(qū)間I內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，且它們是較為一致的.

所以，當(dāng)

為此，f（x）在I是連續(xù)函數(shù)，且數(shù)值維持一致.

3.3一致連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用

例1設(shè)函數(shù)f（x）在［a.b］上連續(xù)，且為單調(diào)增加函數(shù)，a＜0＜b，證明：

證明令

因f（x）為遞增的函數(shù)，為此，當(dāng)b＞a時(shí)，有F（b）F（a）=0，

例2設(shè)f（x），g（x）在［a,b］上連續(xù)，且滿足

證通過題目設(shè)定的條件，我們可以知道，以下簡(jiǎn)要的分析：

由題設(shè)可知，G（x）≥0,x∈［a,b］,G（a）=G（b）=0,G'（x）=F（x），從而我們能夠確定如下過程：

〔1〕杜家祥.函數(shù)在無窮區(qū)間上一致連續(xù)性的判定［J］.宿州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（1）：91-92.

〔2〕胡適耕，張顯文.數(shù)學(xué)分析原理與方法［M］.北京：科學(xué)出版社，2008.

〔3〕楊傳林.數(shù)學(xué)分析解題思想與方法［M］.浙江：浙江大學(xué)出版社，2008.

O172.1

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1673-260X（2015）11-0001-02