北京育翔小學回龍觀學校（100085） 趙 震

“好”的課堂教學除了傳授知識外，必須能調(diào)動學生學習的積極性，引發(fā)學生的思考。既能培養(yǎng)學生良好的學習習慣，也能讓學生掌握有效的學習方法?！靶?shù)乘法”是小學數(shù)學計算教學中的重點內(nèi)容，其中的小數(shù)乘小數(shù)是教學中的難點之一。如何在理解算理、掌握算法的過程中促進學生的思維？如何有效培養(yǎng)學生的運算能力、幫助學生積累必要的數(shù)學活動經(jīng)驗？筆者基于對教學的整體把握，結合教學研究與實踐，積極尋求有利于促進學生思維的核心問題，引發(fā)學生對小數(shù)乘法算理的探索。

一、問題初顯——學情后測

學生在五年級系統(tǒng)完成了小數(shù)四則運算的學習之后，實際效果是怎樣的呢？筆者對本校剛剛升入六年級的249名學生進行了調(diào)研。

1.小數(shù)四則運算的調(diào)研

調(diào)研題目：

9.3+2.7= 3.21+5.8= 1.9+3.16=

7.6-5.7= 8.52-1.8= 4.07-0.69=

3.4×7= 5.9×1.3= 1.25×4.2=

7.83÷0.9= 12.6÷0.28= 3.264÷1.6=

調(diào)研結果：

運算類型 ＋ － × ÷正確率 9 6.0% 9 4.8% 9 1.6% 8 8.4%

其中，小數(shù)乘法三個題目的錯誤情況：（總計21人次出錯）

題目 3.4×7= 5.9×1.3= 1.2 5×4.2=錯誤人數(shù) 3 6 1 2

從學生計算小數(shù)乘法的錯誤類型來看，50%以上的錯誤與小數(shù)點有關。

主要錯誤：沒點小數(shù)點；小數(shù)點點錯位置。

初步結論：

（1）小數(shù)乘法計算的錯誤率不亞于小數(shù)除法；

（2）不會確定積的小數(shù)位數(shù)（小數(shù)點的位置）是造成計算錯誤的主要原因。

2.側重小數(shù)乘法算理的調(diào)研

調(diào)研問題：在計算2.4×0.8時，有的學生說：“先把2.4和0.8看成24和8做乘法計算，再把乘積從右往左數(shù)出兩位點上小數(shù)點?！边@樣做有什么道理？

調(diào)研結果：

情況分類 明確解釋 知道道理 沒有正面回答所占比例 3 8.5% 2 5.6% 3 5.9%

僅有38.5%的學生（95人）能結合“積的變化規(guī)律”進行明確解釋和說明，35.9%的學生（89人）用“這樣做簡便”“這樣好做”等語言描述這樣做的好處或是重復敘述計算過程。說明：隨著時間的推移，學生對算理的理解已逐漸淡化，并在運算能力達到自動化的同時不自覺地變成了計算的工具。當然，這絕對不是我們每一位教師愿意看到的。因此，在教學中應加強學生對小數(shù)乘法算理的理解。

面對后測的結果，自然地讓我們尋找造成這一現(xiàn)象背后的原因：作為教師，我們在以往小數(shù)乘法的教學中到底缺失些什么呢？學生在小數(shù)乘法的學習中認知的障礙點是什么？

二、辦公室里的“閑談”——教師訪談

帶著這些具體的問題，筆者對兩位有著20年以上教學經(jīng)驗的教師進行了訪談。

問題一：T、L兩位老師好！首先，兩位能不能簡單地向我們介紹一下在教學小數(shù)乘法這部分內(nèi)容時通常采用的做法？

T教師回答：小數(shù)乘法教學中一般分為小數(shù)乘整數(shù)和小數(shù)乘小數(shù)兩個階段來進行。在教學中我一般先引導學生把整數(shù)乘法筆算的經(jīng)驗遷移到小數(shù)乘整數(shù)上來，然后通過觀察比較計算實例，總結積的小數(shù)位數(shù)和因數(shù)小數(shù)位數(shù)之間的關系，最后把小數(shù)乘整數(shù)作為新的重要經(jīng)驗再遷移到小數(shù)乘小數(shù)上來，最后還是能比較順暢地突破重點難點的。

L教師回答：基本上我也是這么實施教學的。我認為教學中最重要的就是引導學生利用整數(shù)乘法學習中“積的變化規(guī)律”進行遷移，從而理解小數(shù)乘法的算理、掌握算法，培養(yǎng)學生的推理能力，再進行適當?shù)鼐毩晫W生就能形成較好的運算思維。

問題二：學生在學習時一般存在哪些主要的困難？您又是如何解決的？

T教師回答：小數(shù)乘法是五年級上冊第一單元的內(nèi)容，學生受新學期剛開學的影響，有不少人在新課學習時往往聽課的狀態(tài)不好，理解上不夠明確。不過在后續(xù)的練習中還是能夠比較快地理解和接受。如果說困難的話，就是學生對積的變化規(guī)律認識不牢固，尤其是兩個因數(shù)都是小數(shù)時會出現(xiàn)錯誤。比如一位小數(shù)乘一位小數(shù)時認為積也是一位小數(shù)，兩位小數(shù)乘一位小數(shù)時就把積定為兩位小數(shù)。不過，通過對積的變化規(guī)律教學進行補救，還有反復說理，還是能夠解決這個困難的。

L教師回答：我感覺學生的困難不是很大。雖然剛開始用豎式計算時，在對位上、在確定積的小數(shù)點時會出現(xiàn)一些錯誤，但通過辨析糾錯和練習還是能改正過來的。

從對兩位教師的訪談中，可以清晰地了解包括我們在內(nèi)的眾多教師的認識和看法：（1）積的變化規(guī)律是核心算理；（2）從整數(shù)乘法——小數(shù)乘整數(shù)——小數(shù)乘小數(shù)來看，遷移是有效的教學策略；（3）加強說理、注重辨析、輔助練習是提高運算能力的重要手段。

值得繼續(xù)思考的問題：

（1）這都是我們習慣的教學呀！以往教學中的問題究竟在哪兒呢？

（2）學生的運算能力肯定不是僅僅依靠練習就能形成的，后測中學生的問題又該怎么解決呢？

（3）我們在實際教學中實現(xiàn)繼承中的發(fā)展究竟又該做些什么呢？

三、不同版本教材的梳理

查閱現(xiàn)行幾套主流教材發(fā)現(xiàn)，人教、蘇教、新世紀版教材均安排在四年級下冊或五年級上冊系統(tǒng)學習小數(shù)四則運算，且都顯示出以下共同特點：

1.充分注重學生學習小數(shù)乘法必要知識經(jīng)驗的積累：如小數(shù)的意義、整數(shù)乘法中積的變化規(guī)律、小數(shù)點的移動等；

2.選擇貨幣、長度、面積和典型數(shù)量關系等作為小數(shù)乘法教學的實際背景，從而加強學生對小數(shù)乘法意義的理解。（如下圖）

兩點啟發(fā)：

1.新世紀版教材注重推理，除去積的變化規(guī)律外，還采用了面積模型、單位轉化的推理等方式豐富和加深學生對算理的理解；

2.適當拉長從理解算理到總結算法的過程，加強理與法的融合。各套教材均沒有用文字明確歸納出計算法則，人教版在例4中才對豐富的計算實例進行算法的分析、歸納。

兩個新的、無法回避的核心問題：

1.運算能力的內(nèi)涵到底是什么？

2.小數(shù)乘法計算教學究竟該給孩子們留下什么？

四、尋找目標——課標解讀帶來的啟發(fā)

1.十個核心詞之運算能力

運算能力：主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行計算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。一是指運算；二是指運算能力。運算能力不僅僅指會算和算正確，還包括對于運算本身的理解。

就小數(shù)乘法而言，何為運算本身呢？（1）運算對象——要解決的是什么問題（運算背景的意義和價值）；（2）運算的意義——小數(shù)乘法的意義；（3）算理——指積的變化規(guī)律，包括小數(shù)的意義、乘法的意義尤其是小數(shù)乘法的意義，還有運算律等。

美國德拉華大學蔡金法教授在“關于中國數(shù)學雙基教學的思考——基于中美學生數(shù)學學習的系列實證研究”提出了一個觀點：就計算教學領域而言，我們的計算教學不應以計算的正確率為唯一目的，而應當讓內(nèi)容適當作為問題解決的范疇，成為引發(fā)學生進行開放性地、創(chuàng)造性地思考和解決問題的重要過程。正如課程標準所言：學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎；獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。

2.關于“四基”中的“基本活動經(jīng)驗”

隨著新課程改革的不斷深入，幫助學生在數(shù)學學習中積累必要的基本活動經(jīng)驗已經(jīng)引起廣大教師的關注與重視。

何為基本的數(shù)學活動經(jīng)驗？主要是思維的經(jīng)驗和實踐的經(jīng)驗。

啟發(fā)與思考：我們以往所謂傳統(tǒng)的教學還是明顯呈現(xiàn)出過度的追求知識性目標，換句話說還是急于總結歸納出計算法則，把學生計算的正確律乃至運算速度作為評價學習效果的唯一標準。欠缺的是對過程性目標的關注與落實，即上述提到的學生對運算本身的理解。

另外，就小數(shù)乘法算理、算法的理解而言，學生的認知、理解能力目前又是怎樣的水平呢？真正的障礙點在哪里？怎樣做才能豐富和加深學生的認識？

五、走進學生——系列性學生調(diào)研的收獲

學前調(diào)研題目1：用你喜歡的方式解決下面兩個實際問題。

（1）一個杯子售價3.5元，買3個這樣的杯子要花多少元？

（2）一根跳繩長1.6米，5根這樣的跳繩一共多少米？

測試目的：實際背景下學生對小數(shù)乘整數(shù)的理解。

情況分析：在對五（1）、五（3）兩個教學班（不同任課教師）實際調(diào)研中，面對貨幣、長度情境下的小數(shù)乘整數(shù)計算，有90%以上的學生依據(jù)小數(shù)加法、積的變化規(guī)律、單位間的轉化、運算定律等已有知識經(jīng)驗進行正確解答。部分學生做法：

學前調(diào)研題目2：用你喜歡的方法計算下面兩個小數(shù)乘法題：

0.2×4= 0.3×0.2=

測試對象：五（2）、五（4）（任課教師同上）。

測試目的：無實際背景情況下學生對小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)的解決辦法。

情況分析：

（1）小數(shù)乘整數(shù)：依然有88%以上的學生能利用上述幾種方法正確分析并解答。

（2）小數(shù)乘小數(shù)：正確率為45%，其中，5%的學生利用小數(shù)乘整數(shù)的經(jīng)驗進行推理，12.5%的人用豎式計算，27.5%的學生利用積的變化規(guī)律得到結果。有55%的學生在計算“0.3×0.2=？”時結果錯誤，除個別學生出現(xiàn)空白和“00.6”之外，錯誤答案均為0.6。

正確做法：

存在困難：

（1）尋求實際背景無果。

（2）尋求直觀模型無果。

（3）整數(shù)積的變化規(guī)律不能正確遷移。

（4）整數(shù)乘法、小數(shù)加減法經(jīng)驗的負遷移。

（5）小數(shù)意義、小數(shù)乘法意義理解上的磨難。

兩次前測后得出初步結論：

（1）小數(shù)乘整數(shù)與小數(shù)乘小數(shù)有著明顯的難度差異，困難集中在小數(shù)乘小數(shù)。

（2）小數(shù)的意義、積的變化規(guī)律等都應當加強理解并作為學習小數(shù)乘小數(shù)的重要基礎。

（3）教學中教師有必要向學生提供小數(shù)乘小數(shù)問題的實際背景，促進學生有效思考。

學前調(diào)研題目3：

（1）一個廣場長30米，寬20米，面積=____×____=（ ）平方米。

（2）一個花壇長3米，寬2米，面積=_____×_____=（ ）平方米。

3.一塊地磚長0.3米，寬0.2米，面積=____×____=（ ）平方米。

請寫出上面第（3）個問題的思考過程。

測試目的：面積背景、題組信息形式下學生對小數(shù)乘小數(shù)的認識水平與推理能力。

測試對象：五（5）、五（6）。

情況分析：61.2%的學生得到正確答案，正確率明顯改觀。更多的學生把整數(shù)乘法中積的變化規(guī)律遷移到小數(shù)乘法中，并進行分析推理，形成了相對完整的分析過程，也有部分學生從運算律、單位間的轉化、小數(shù)乘法的意義等方面進行解答，體現(xiàn)了學生對算理豐富而深刻的思考。

但突出的困難也依然存在：“0.3×0.2=？”，仍有相當一部分學生認為答案是0.6，其中一小部分學生能對結果的正確性產(chǎn)生懷疑，但對正確結果0.06又存在著一定的理解困難。此時，0.3×0.2的結果到底是0.6還是0.06？“0.3×0.2=0.06”的道理究竟是什么呢？明確的問題已然成為學生探索小數(shù)乘法算理時有效的思維支點。這時就需要教師在實際教學中借助具體情境引發(fā)學生對獲得正確結果的思考，在明確的探索與交流的過程中借助直觀手段加強對小數(shù)乘小數(shù)意義的理解，從而厘清認識，形成正確見解。

六、教學實踐——在課堂中將學生的思維引向深入

課程標準在課程設計思路中明確提出：義務教育階段數(shù)學課程的設計，應充分考慮本階段學生學習的特點，符合學生的認知規(guī)律和心理特征，有利于激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)數(shù)學思考；充分考慮數(shù)學本身的特點，體現(xiàn)數(shù)學的實質；在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學結果的同時，重視學生已有的經(jīng)驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、尋求結果、解決問題的過程。

1.教學目標

（1）引導學生自主探索小數(shù)乘法的計算方法，能正確進行筆算，并能對其中的算理做出合理的解釋。

（2）在自主探索的過程中，培養(yǎng)學生觀察與推理、抽象與概括的能力，進一步培養(yǎng)估算的意識和習慣。

（3）在師生共同探索的過程中獲得積極的數(shù)學情感，在主動參與問題解決的過程中增進探索精神、提高學習能力。

2.教學流程

（1）圍繞題目，提出數(shù)學問題（題目見學前調(diào)研3）。

（2）引發(fā)認知沖突：“0.3×0.2”，結果究竟是0.6還是0.06？

（3）借助估算，初步排除不合理的結果。

（4）明確探究目標和要求，嘗試思考并解決。

（5）反饋、交流（具體內(nèi)容大體與學前調(diào)研3的情況）。

（6）質疑、點撥。

a.有的學生是這樣解答的：“0.3×0.2=0.3÷10×2=0.03×2=0.06”。有道理嗎？

b.課件直觀介紹0.3×0.2的意義，即把0.3平均分成10份，取其中的兩份。

（7）多種算法的融合。

a.呈現(xiàn)豎式計算方法（略）。

b.將豎式與學生的算法相聯(lián)系，在豎式計算中找到各種算法的共通點：把小數(shù)乘法轉化成整數(shù)乘法，并根據(jù)積的變化規(guī)律獲得結果。

3.課堂實踐效果分析

（1）0.3×0.2的結果究竟是0.6還是0.06？來自于學生認知的矛盾沖突成為引發(fā)學生思考的核心問題，有效地激發(fā)了學生的好奇心。

（2）通過直觀圖明確加強了學生對運算意義的理解，并與單位間的換算、運算律等共同實現(xiàn)了學生對算理豐富而深刻的理解。

（3）豎式計算與學生多種算法的比較梳理，有效達到了從算理到算法的過渡。

實踐證明，利用積的變化規(guī)律解決小數(shù)乘小數(shù)的計算問題，確實符合學生的認知規(guī)律和思維特點，也有利于學生實現(xiàn)從算理到算法的過渡。因為其分析推理過程與豎式計算過程非常接近，這樣做充分關注了小數(shù)與整數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。進而，借助直觀圖加強對小數(shù)乘法意義的理解，將會引導學生關注小數(shù)與分數(shù)之間的緊密聯(lián)系。再加上單位間轉化的巧妙推理、嚴謹?shù)倪\算律演繹都極大地促進了學生對算理的豐富理解，不僅有利于加深學生對算法的認可與接納，也有效促進了學生思維的發(fā)展。

綜上所述，在整體把握教學的基礎上，找準數(shù)學核心問題能使課堂充滿探索、充滿智慧，從而有效促進學生思維的發(fā)展，并在對算理的深入探索過程中有效培養(yǎng)學生積極的數(shù)學情感和態(tài)度。