葉積有

（政和縣鎮(zhèn)前中學(xué)）

隨著概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)越來(lái)越受重視，對(duì)學(xué)校教育工作者的要求也越來(lái)越大。因此，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)提出了更高的要求，需要教育工作者具有扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)，能夠自主處理概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中存在的古典概型問(wèn)題，并且提出更好的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的策略與方案。

一、古典概型問(wèn)題

古典概型是高中數(shù)學(xué)（必修3）中的內(nèi)容。在古典概型的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)理解性的偏差。比如說(shuō)：先后擲兩枚硬幣，可能出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“兩個(gè)反面”“一正一反”三種結(jié)果，問(wèn)：“這個(gè)命題是否正確？”很多學(xué)生都認(rèn)為這個(gè)命題錯(cuò)誤，聽(tīng)其原因是先后擲兩枚硬幣，還有一種結(jié)果是“一反一正”，總共有四種結(jié)果。通過(guò)學(xué)生的回答我們可以看到在學(xué)生尋找基本事件的時(shí)候存在一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)為“一正一反”和“一反一正”是以順序來(lái)做區(qū)別。認(rèn)真思考一下，當(dāng)我們同時(shí)擲兩枚硬幣時(shí)，出現(xiàn)的結(jié)果也是一樣的，“兩個(gè)正面”，“兩個(gè)反面”“一正一反”“一反一正”四種結(jié)果。由此可以看出不能以順序來(lái)做區(qū)分。其實(shí)這個(gè)命題是正確的?；臼录请S機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果。如果作為一個(gè)基本事件空間，那么出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“兩個(gè)反面”“一正一反”三種結(jié)果是正確的。如果這個(gè)題目做一個(gè)修改：先后擲兩枚硬幣，可能出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“兩個(gè)反面”“一正一反”三種等可能的結(jié)果。那么這個(gè)命題就一定是錯(cuò)誤的，因?yàn)槌霈F(xiàn)“兩個(gè)正面”“兩個(gè)反面”“一正一反”這三種的可能性是不同的，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”概率為，出現(xiàn)“兩個(gè)反面”的概率為，但是出現(xiàn)“一正一反”的概率為，明顯不是等可能的。出現(xiàn)基本事件空間與古典概型的定義混淆性錯(cuò)誤的原因是學(xué)生對(duì)古典概型的定義和基本事件空間的理解不透徹。隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果，稱為基本事件，它的特點(diǎn)是任何兩個(gè)基本事件互斥，任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。基本事件又稱為樣本點(diǎn)，基本事件的全體稱作樣本空間，通常用字母Ω 表示。在判斷是否為古典概型時(shí)，則要注意其基本事件必須是有限個(gè)，并且要求每個(gè)基本事件是等可能的。

有的學(xué)生對(duì)于古典概型的概率計(jì)算也存在著理解性偏差，比如說(shuō)：學(xué)生在計(jì)算古典概型的概率時(shí)，會(huì)將基本事件空間混淆，用不在同一基本事件空間中的基本事件總數(shù)和事件A所含的基本事件數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)這個(gè)現(xiàn)象我們來(lái)理解一下古典概型概率的計(jì)算公式：事件A的概率P（A）=，其中n是基本事件總數(shù)，m是A包含的基本事件的個(gè)數(shù)。

例.我從1，2，3，…，10 這10 個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，求取到的這個(gè)數(shù)為偶數(shù)的概率。

解1.設(shè)事件A為取到這個(gè)數(shù)為偶數(shù)，所以隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)的基本事件都是等可能的，那么出現(xiàn)的基本事件空間是1，2，…，10，即總數(shù)n=10，又因?yàn)槭录嗀為取到這個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則滿足要求的基本事件有m=5 個(gè)，分別是2，4，6，8，10。故

解2.把隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)的所有等可能性結(jié)果取為：事件A為取到這個(gè)數(shù)為偶數(shù)；事件B為取到這個(gè)數(shù)為奇數(shù)。則此時(shí)m=1，n=2，故P（A）=

通過(guò)這兩種解法我們可以知道對(duì)同一個(gè)古典概型問(wèn)題，可以選擇不同的基本事件空間，只要滿足古典概型的特點(diǎn)每個(gè)基本事件都是等可能的，結(jié)果都是一樣的。

二、排列組合問(wèn)題

為什么要提到排列組合？要計(jì)算古典概型的概率，我們很多時(shí)候要通過(guò)排列組合來(lái)計(jì)算它的基本事件總數(shù)和事件A所含的基本事件數(shù)，因此我們必須來(lái)討論如何理解排列組合問(wèn)題，首先我們討論如何理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理。

1.分類加法計(jì)數(shù)原理

如果完成一件事有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，每種方法都能完成這件事，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法。

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

如果完成一件事需要分成n個(gè)步驟，第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法，……，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以看出兩個(gè)數(shù)學(xué)道理，其一：從不影響點(diǎn)入手；其二：看事件是否完成。

通過(guò)以下例子來(lái)說(shuō)明這兩個(gè)數(shù)學(xué)道理：

我們知道分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理中，如果分別有3 個(gè)地點(diǎn)A、B、C，我要從A地到C達(dá)地，則必須先經(jīng)過(guò)B地，此時(shí)，A地到B地有兩條路線，B地到C地有三條路線，那么這個(gè)時(shí)候我們可以發(fā)現(xiàn)，A地到B地的路線是不會(huì)影響B(tài)地到C地的路線，這就是說(shuō)當(dāng)我們?cè)谶x擇判斷使用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，可以依據(jù)前后不會(huì)影響的點(diǎn)入手。

例.有4 封信，扔到3 個(gè)郵筒中有多種方法？

依據(jù)從不影響點(diǎn)入手來(lái)考慮這個(gè)例題，當(dāng)我從信來(lái)考慮時(shí)，我的這一封信扔到哪個(gè)郵筒是不會(huì)影響到我的下一封信扔到哪個(gè)郵筒。換個(gè)角度思考，如果當(dāng)我從郵筒來(lái)考慮時(shí)，我的這一個(gè)郵筒放了幾封信是會(huì)影響到我的下一個(gè)郵筒放了幾封信的。那么此時(shí)，我們要解決這個(gè)題目，應(yīng)該從不影響的點(diǎn)入手會(huì)更加容易。

通過(guò)不影響的數(shù)學(xué)道理，我們已經(jīng)找到了很好的入手點(diǎn)，那么要解決這個(gè)問(wèn)題還需要看該事件是否完成。

例如，現(xiàn)在分別有3 個(gè)地點(diǎn)A、B、C，一個(gè)人要從A地到達(dá)B地，再到達(dá)C地，此時(shí)，A地到B地有兩條路線，B地到C地有三條路線。當(dāng)這個(gè)人從A地到達(dá)B地時(shí)，可以知道這個(gè)事件還沒(méi)有完成，因此，通過(guò)這個(gè)例子能夠得到分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的本質(zhì)區(qū)別，以事件的完成與否去理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理。

如果這事件完成，則選擇分類加法計(jì)數(shù)原理，將所有完成事件的次數(shù)加起來(lái)；

如果這事件并未完成，則選擇分步乘法計(jì)數(shù)原理，將每一步的次數(shù)乘起來(lái)。

依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理接著解決例題中的問(wèn)題，通過(guò)不影響點(diǎn)入手，我們已經(jīng)知道，此題需要從信的角度去考慮，總共有4 封信，第一封信扔到郵筒有3 種可能性（第一封信扔到郵筒可以知道這個(gè)事件并未完成），第二封信扔到郵筒有3種可能性（第二封信扔到郵筒可以知道這個(gè)事件并未完成），第三封信扔到郵筒有3 種可能性（第三封信扔到郵筒可以知道這個(gè)事件并未完成），第四封信扔到郵筒有3 種可能性，只有到最后一封信扔到郵筒這個(gè)事件才算完成，那么此時(shí)我們選擇分步乘法計(jì)數(shù)原理，將每一封信的所有可能性乘起來(lái)，即3×3×3×3=81。

排列：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)不同的元素，按照一定的順序排成一列叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。用符號(hào)Amn表示排列的個(gè)數(shù)時(shí)，有

根據(jù)排列的定義，一個(gè)排列包含兩個(gè)方面的意義：一是“取出元素”，二是“按照一定順序排列”。因此，兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列的元素及其排列順序完全相同。

組合：從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)不同的元素，不論次序地構(gòu)成一組，稱為一個(gè)組合。我們用符號(hào)Cmn表示所有不同的組合個(gè)數(shù)，稱Cmn為從n個(gè)不同的元素中取m個(gè)元素的組合數(shù)。

抽取元素時(shí)不考慮順序，像這樣的問(wèn)題稱為組合問(wèn)題。

排列與組合的相同點(diǎn)都是從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素，元素?zé)o重復(fù)。不同點(diǎn)是組合與順序無(wú)關(guān)，排列與順序有關(guān)。兩個(gè)組合相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)組合的元素完全相同。

總之，了解并處理學(xué)生在學(xué)習(xí)古典概型中出現(xiàn)的誤區(qū)，幫助學(xué)生理清基本事件不一定是要等可能的，同時(shí)在使用古典概型的概率計(jì)算公式時(shí)，前提必須在同一個(gè)基本事件空間中。對(duì)于理解排列組合問(wèn)題，通過(guò)兩個(gè)方面從不影響點(diǎn)入手及看事件是否完成來(lái)判斷選擇分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理。依據(jù)求同求異的思想，排列與組合都有組合的思想，排列中是先組合后全排列，從而得出解排列組合題的三個(gè)步驟：分類，先計(jì)算數(shù)目多的或有條件限制的，先考慮如何取再考慮如何排。

［1］王亮．中學(xué)數(shù)學(xué)中概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)問(wèn)題研究［D］.遼寧師范大學(xué)，2007（06）.

［2］魏宗舒．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京：高等教育出版社，1983-10.

［3］李永哲．高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)一本全［M］.延吉：延邊大學(xué)出版社，2006.