李杰

一、主題與背景

這節(jié)課是2014年哈爾濱市第五屆“燭光杯”課堂教學(xué)大賽的課題.其中有五位教師同時(shí)講這個(gè)課題.因式分解的平方差公式（以下簡(jiǎn)稱公式）：a2-b2=（a+b）（a-b），是在學(xué)習(xí)整式乘法的平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2之后學(xué)習(xí)的.這一節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握公式的特點(diǎn)，并能熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解.在這個(gè)過程中，體會(huì)整式乘法與因式分解的關(guān)系.在日常的教學(xué)中，絕大多數(shù)的教師進(jìn)行這節(jié)課的教學(xué)時(shí)，一般都是直接給出公式，講清公式的特點(diǎn)，例題示范后，進(jìn)行大量的多項(xiàng)式因式分解的訓(xùn)練.這樣的教學(xué)，從表面上看，學(xué)生順利地掌握了公式，輕松應(yīng)對(duì)中考.深度思考后會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然能熟練應(yīng)用公式進(jìn)行因式分解，但他們不一定體會(huì)到公式的來龍去脈和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，真正感悟公式的特點(diǎn)，是教師“教會(huì)”而不是自主“學(xué)會(huì)”公式的應(yīng)用.那么對(duì)于這類公式課型的教學(xué)，除了應(yīng)對(duì)中考，學(xué)生思維能力會(huì)有哪些提高呢？如何通過設(shè)計(jì)大問題情境，由“教師講”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W(xué)生悟”呢？

為此，在初中數(shù)學(xué)學(xué)科的教研實(shí)踐基地旭東中學(xué)，由兩位初中數(shù)學(xué)教研員、旭東中學(xué)校長(zhǎng)、主任及數(shù)學(xué)組全體教師組成課題組，講課教師確定為于立波老師，以因式分解的平方差公式為例，進(jìn)行了專題研究.

二、情景與描述

本節(jié)課我們通過“公式的得出、公式的辨析、公式的應(yīng)用”三個(gè)主要環(huán)節(jié)進(jìn)行描述.

環(huán)節(jié)一：公式的得出

問題一：有一個(gè)邊長(zhǎng)為5的大正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為4的小正方形，這樣疊合在一起，那么陰影部分的面積是多少？

生：9.

師：反應(yīng)真快！

問題二：如果大正方形的邊長(zhǎng)是10，小正方形的邊長(zhǎng)是6，那么陰影部分的面積又是多少？

生：64.

師：好！

問題三：如果大正方形的邊長(zhǎng)是5.6，小正方形的邊長(zhǎng)是4.6，那么陰影部分的面積又是多少？

（學(xué)生思考片刻，有些困難.）

師：看樣子這樣的算式快速算出有些困難，有沒有更好的簡(jiǎn)便方法計(jì)算呢？我們繼續(xù)研究.

師：如果大正方形的邊長(zhǎng)是a，小正方形的邊長(zhǎng)是b，陰影的面積是多少？

生：a2-b2.

問題四：你還能用其他形式表示陰影部分的面積嗎？

（同桌為一個(gè)小組，利用學(xué)具合作完成，完成后匯報(bào).）

教師提供方便快捷的圖形學(xué)具，各小組同學(xué)積極思考，相互合作，研究出幾種不同形式，教師深入其中，適時(shí)指導(dǎo).各組學(xué)生匯報(bào)成果：

組1：將陰影部分分割成兩個(gè)長(zhǎng)方形，然后拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，從而得到陰影部分的面積（a+b）（a-b）.

組2：將陰影部分分割成兩個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)小正方形，得到陰影部分的面積（a-b）2+2b（a-b），整理后得（a+b）（a-b）.

組3：將陰影部分分割成兩個(gè)直角梯形的方式，可能得到陰影部分的面積.整理后得2×■（a+b）（a-b）.

師：分割得很巧妙，真是不錯(cuò)的想法.

師：我們來看，不管哪個(gè)式子表示的都是陰影的面積，那么它們?cè)跀?shù)量上應(yīng)該怎么樣？

生：相等.

師：這樣a2-b2=（a+b）（a-b），我們?cè)谀膬阂娺^類似的式子？

生：在學(xué)整式乘法時(shí)學(xué)習(xí)了（a+b）（a-b）=a2-b2平方差公式.

師：實(shí)質(zhì)上我們把整式乘法的平方差公式等號(hào)兩邊互換位置就得到了a2-b2=（a+b）（a-b）.

師：觀察這個(gè)等式，從右到左是整式乘法，那么從左到右是什么呢？

生：因式分解.

師：這就是我們這節(jié)課所研究的因式分解的平方差公式，用這一公式將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解的方法就是我們今天將要研究的公式法.

（板書：21.3.2 公式法（1））

環(huán)節(jié)二：公式的辨析

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察公式的特點(diǎn)，誰能嘗試用語言描述一下這個(gè)公式.

（幾個(gè)學(xué)生描述，教師板書.）

師：我們?cè)賮砜辞斑叺膯栴}，大正方形的邊長(zhǎng)是5.6，小正方形的邊長(zhǎng)是4.6，那么陰影部分的面積如何求呢？

生：5.62-4.62=（5.6+4.6）×（5.6-4.6）=10.2.

師：同學(xué)們很智慧啊，用我們今天學(xué)習(xí)的因式分解的平方差公式就能快速計(jì)算出結(jié)果了！

問題一：在材料紙上寫兩個(gè)能用平方差公式因式分解的多項(xiàng)式，并且同桌交流一下，說說你寫的多項(xiàng)式為什么能用平方差公式因式分解？

片刻之后，學(xué)生紛紛回答：①x2-9；②4x2-9y2；③（x-m）2-（x+n）2； ④3x2-7y2 .

學(xué)生充分交流后，教師引導(dǎo)學(xué)生找出典型例子，學(xué)生到黑板上講解.之后教師又拿出幾個(gè)多項(xiàng)式：

問題二：x2+y2、-x2+y2、-x2-y2，大家看這些多項(xiàng)式能不能用平方差公式因式分解呢？為什么？在這個(gè)過程中，應(yīng)該注意什么？

師：大家辨析得非常好，那么怎樣的多項(xiàng)式才能用平方差公式因式分解，誰能提醒同學(xué)應(yīng)該關(guān)注什么？

在學(xué)生熱烈的研討下，大家基本達(dá)成共識(shí)：應(yīng)用平方差公式因式分解的多項(xiàng)式，主要應(yīng)該有兩項(xiàng)，有平方，還有差的形式，兩項(xiàng)異號(hào).更可貴的是，一名學(xué)生發(fā)言中強(qiáng)調(diào)：為了不出錯(cuò)，首先把前后兩項(xiàng)分別寫成整體平方的形式，確定誰相當(dāng)于公式中的a，誰相當(dāng)于公式中的b，然后再進(jìn)行因式分解.這些都是由學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的，是非常難得的.

環(huán)節(jié)三：公式的應(yīng)用

教師設(shè)計(jì)一個(gè)很有思維含量的問題.

問題：從下列式子中：y4、-ab、x4、1、16x2、a3b，選取兩個(gè)式子組成一個(gè)多項(xiàng)式，并因式分解.與同桌同學(xué)合作完成.endprint

在學(xué)生交流中，學(xué)生組合成很多的多項(xiàng)式，并進(jìn)行因式分解，教師選擇幾個(gè)典型的多項(xiàng)式：x4-y4；x4-16x2；a3b-ab.學(xué)生到黑板上板書并講解.學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些典型錯(cuò)誤，有的沒有分解到最后，學(xué)生之間大膽糾錯(cuò)，相互質(zhì)疑.最后歸納由學(xué)生進(jìn)行一個(gè)多項(xiàng)式因式分解時(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)和注意事項(xiàng).

三、問題與討論

關(guān)于“公式的得出”環(huán)節(jié)，在備課時(shí)，大家爭(zhēng)論的焦點(diǎn)在：方案一，一部分教師認(rèn)為，因式分解的平方差公式a2 -b2 =（a+b）（a-b），實(shí)質(zhì)上可以直接由整式乘法的平方差公式（a+b）（a-b）=a2 -b2 等號(hào)左右兩端交換位置得到，我們教學(xué)時(shí)，可以直接得到，這樣簡(jiǎn)潔直觀，一目了然.方案二，另一部分教師則堅(jiān)持，由學(xué)生感興趣的兩個(gè)正方形疊合在一起，（如下圖）快速回答剩余部分的面積入手，從特殊情況邊長(zhǎng)是數(shù)字入手，再過渡到一般，從圖形的角度來驗(yàn)證公式.這樣操作雖然需要一定的時(shí)間，但是這樣能很好地滲透數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生用幾何的方式解決代數(shù)的問題.

究竟怎樣做才是有利于學(xué)生思維發(fā)展呢？大家展開了深入的討論，用圖形的面積來驗(yàn)證公式是否必要？其中A教師的發(fā)言引起大家的深思，用方案二不僅僅是從圖形的角度驗(yàn)證公式，它還有一個(gè)重要功能，是讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)因式分解平方差公式的重要性，也就是我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)這個(gè)公式，這樣學(xué)生會(huì)對(duì)本節(jié)課產(chǎn)生濃厚的興趣，所以，方案二是可取的.教師B又有不同的觀點(diǎn)，方案二的作用是明顯的，但它不能讓學(xué)生更好地感悟整式乘法與因式分解之間的關(guān)系.真理越辯越明，最后，達(dá)成了共識(shí).首先通過幾組正方形圖片疊合，求剩余部分的面積作為熱身，在數(shù)據(jù)上由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過程中，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，然后設(shè)置大問題：利用學(xué)具探究正方形邊長(zhǎng)為a、b時(shí)，疊合后剩余部分的面積，從而，從圖形的角度得到了a2-b2=（a+b）（a-b），然后應(yīng)用它解決剛才產(chǎn)生認(rèn)知沖突的問題，即5.62-4.62，如何計(jì)算的問題，讓學(xué)生充分感受到新知學(xué)習(xí)的必要性，再自然聯(lián)想到前面學(xué)習(xí)過的整式乘法的平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，將它左右兩邊交換位置，也可以得到因式分解的平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）.

這樣的設(shè)計(jì)既讓學(xué)生有濃厚的興趣的同時(shí)，還使數(shù)與形結(jié)合得更緊密，同時(shí)又自然地體現(xiàn)了整式乘法與因式分解的關(guān)聯(lián).

關(guān)于“公式的辨析”及“公式的應(yīng)用”環(huán)節(jié)，第一次上課的設(shè)計(jì)是先引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的特點(diǎn)，再嘗試用語言敘述出來，為了進(jìn)一步體會(huì)具體問題中的式子與公式中a、b的對(duì)應(yīng)性，教師舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子作示范，說明如何與公式中的a、b對(duì)應(yīng)，并講解正規(guī)的書寫格式，然后給出例二，復(fù)雜多項(xiàng)式的因式分解（需兩次分解的多項(xiàng)式），引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn).課后，聽課教師在討論中一致認(rèn)為，觀察公式的特點(diǎn)、用語言描述公式是非常必要的，可以加深對(duì)公式的理解，關(guān)于具體問題中的多項(xiàng)式與公式中a、b的對(duì)應(yīng)性的理解，是學(xué)生熟練準(zhǔn)確應(yīng)用公式的關(guān)鍵所在，課上老師這樣示范，學(xué)生會(huì)模仿照做，從應(yīng)試角度看，解決簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的因式分解沒有問題，但是突出表現(xiàn)教師牽制學(xué)生來思考它們的對(duì)應(yīng)性，那么如何引導(dǎo)學(xué)生自己感悟從不同角度辨析公式呢？還有對(duì)公式的應(yīng)用大家也有不同的看法：?jiǎn)栴}不應(yīng)該由教師直接給出，易錯(cuò)點(diǎn)也不應(yīng)以教師為主強(qiáng)調(diào)，應(yīng)讓學(xué)生悟出.問題出在課堂設(shè)置的問題太小、太碎，缺少思維空間.經(jīng)過大家的研究，對(duì)第一次上課的問題設(shè)置修改為最后一次上課的方案.

四、詮釋與研究

按照研究的方案進(jìn)行教學(xué)后，課題組成員再一次進(jìn)行了反思.在課堂的關(guān)鍵環(huán)節(jié)的問題設(shè)置，如：?jiǎn)栴}四：你還能用其他形式表示陰影部分的面積嗎？（兩名同學(xué)為一個(gè)小組，利用學(xué)具合作完成，完成后匯報(bào).）問題一：在材料紙上寫兩個(gè)能用平方差公式因式分解的多項(xiàng)式，并且同桌交流一下，說說你寫的多項(xiàng)式為什么能用平方差公式因式分解？問題二：x2+y2、-x2+y2、-x2-y2，大家看這些多項(xiàng)式能不能用平方差公式因式分解呢？為什么？在這個(gè)過程中，應(yīng)該注意什么？問題：從下列式子中：y4、-ab、x4、1、16x2、a3b，選取兩個(gè)式子組成一個(gè)多項(xiàng)式，并因式分解，小組合作完成.這些問題具有以下特點(diǎn)：其一直接指向本節(jié)課的本質(zhì)，其二這些問題都需要學(xué)生動(dòng)腦思考、動(dòng)手操作及相互合作再能完成，思維含量較大.而教師在課堂上組織學(xué)生解決問題策略恰當(dāng)，給學(xué)生自主感悟公式與熟練掌握公式提供了足夠的時(shí)間和空間.在思維發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)上，恰當(dāng)?shù)夭扇『献鲗W(xué)習(xí)，學(xué)生在傾聽、思考、合作、質(zhì)疑中感悟新知，收獲新知.

同時(shí)我們也發(fā)現(xiàn)，在設(shè)置大問題，放手讓學(xué)生解決問題的過程中，教師的引導(dǎo)作用和關(guān)鍵環(huán)節(jié)的掌控至關(guān)重要.如：在學(xué)生用圖形探究公式和利用學(xué)具操作遇到困難時(shí)，教師不應(yīng)該袖手旁觀，應(yīng)及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生使用學(xué)具，把握課堂節(jié)奏，減少不必要的時(shí)間浪費(fèi)，在公式的應(yīng)用環(huán)節(jié)中，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)糾錯(cuò)因式分解易錯(cuò)點(diǎn)時(shí)，同樣也需要教師及時(shí)提升.課堂設(shè)置問題越大、越開放，課堂生成對(duì)教師來說要求就越高，需要教師反應(yīng)機(jī)敏，處事靈活，及時(shí)調(diào)控，這也是教學(xué)機(jī)智的充分體現(xiàn).

對(duì)于這樣代數(shù)公式類課型的教學(xué)，讓學(xué)生熟練掌握公式的同時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷公式的生成過程，在此過程中，注意滲透數(shù)學(xué)思想方法，積累必要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).教會(huì)學(xué)生自主感悟公式，學(xué)會(huì)熟練應(yīng)用公式，尋找易混易錯(cuò)點(diǎn)，給學(xué)生更多的思考空間.從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力.endprint