鐘偉明
(廣東省深圳市第二職業(yè)技術學校)
數(shù)列是中職數(shù)學的重要內(nèi)容,在數(shù)學高職高考中具有舉足輕重的地位。對于求數(shù)列問題,最基本的就是求數(shù)列的通項公式,而求數(shù)列的通項公式往往是解數(shù)列題的突破口和關鍵點。因此,在解題時,要根據(jù)題目所給的條件的不同,靈活采用不同的方法求數(shù)列的通項公式,本文根據(jù)近年來的高職高考數(shù)列通項的題型,總結出以下幾種常用的解法。
(1)已知數(shù)列是等差(或等比)數(shù)列求數(shù)列通項。此時,只需要求出首項和公差(或公比)即可以直接利用等差(或等比)數(shù)列的通項公式求解。
(2)已知數(shù)列的前n項和求數(shù)列通項。此時,利用an與Sn的關系式求通項公式。在用an與Sn的關系式求數(shù)列式進行變換,轉化為等差或等比數(shù)列問題求解,具體的類型和解法如下:
類型1:已知某項(多為首項)且an+1=an+f(n)的遞推關系式;
只要f(n)能進行求和時,則宜采用“累加法”求數(shù)列的通項公式。由累加法可求得:an=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…f(n-1).
例3.已知數(shù)列an{ }滿足a1=1,an=an-1+n(n≥2),求數(shù)列an{ }的通項公式。
解:∵an-an-1=n(n≥2)
∴a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n.
將以上式子累加得到:an-a1=2+3+4+…+n
∵a1=1
∴an=1+2+3+4+…+n=通項公式時,要注意分n=1 與n≥2 兩種情況討論;即驗證若S1滿足Sn-Sn-1,則用統(tǒng)一形式表達an,若S1滿足Sn-Sn-1則用分段函數(shù)的形式表示。
例1.已知數(shù)列an{ }的前n項和為Sn,設an是Sn與2 的等差中項,數(shù)列bn{ }中b1=1,點P(bn,bn+1)在直線y=x+2 上,求an{},bn{ }的通項公式。
解:當n=1 時∵a1=S1,∴a1=2a1-2 即a1=2
依題意可知Sn+2=2an即Sn=2an-2
當n>1 時an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1
類型2:已知某項(多為首項)且an+1=an·f(n)的遞推關系式;
只要f(n)能進行求積時,則宜采用“累積法”求數(shù)列的通項公式。此時由累積法可求得:a1=a1·f(1)·f(2)·f(3)……f(n-1).
∴an=2an-1,即將以上式子累積得到
所以數(shù)列an{ }是以2 為首項,且以2 為公比的等比數(shù)列,通項
∵a1=1公式為an=2n;
因為數(shù)列bn{ }中b1=1,點P(bn,bn+1)在直線y=x+2 上
所以bn+1=bn+2,即bn+1-bn=2
所以數(shù)列bn{ }是以1 為首項,以2 為公差的等差數(shù)列,其通項公式為bn=1+2(n-1),即bn=2n-1
類型3:已知某項(多為首項)且an+1=pan+q(p,q為常數(shù))的遞推關系式;
該類型通常用兩種解法:
解法一:用代定系數(shù)法轉化為我們熟悉的數(shù)列進行求解,基本解題思路是,設an+1+t=p(an+t),與已知式相比較可求出,得
已知數(shù)列前幾項求數(shù)列通項公式題型,只需要對所給項觀察分析,尋找項與項數(shù)之間的規(guī)律,寫出數(shù)列的通項即可。
例2.數(shù)列9,99,999,9999,…的通項公式an=_____
解:通過觀察發(fā)現(xiàn),9=10-1;99=102-1;999=103-1;9999=104-1
所以該數(shù)列的通項公式an=10n-1到}是公比為p的等比數(shù)列。
解法二:由an+1=pan+q①an+2=pan+1+q②,再由②-①得an+2-an+1=p(an+1-an),從而得到{an+1-an}是公比為p的等比數(shù)列。
對于給定數(shù)列遞推關系式求通項公式是高職高考的熱點之一,一般的出題形式為先給定數(shù)列的初始值及數(shù)列通項的遞推關系式,要求求出數(shù)列的通項公式。具體解法是要先對數(shù)列遞推關系
例5.若數(shù)列an{ }滿足a1=1 且an+1=3an+2,求數(shù)列an{ }的通項公式。
解法一:設an+1+t=3(an+t),移項得到an+1=3(an+t)-t=3an+2t,
∴2t=2,即t=1,此時
從而數(shù)列{an+ 1 }是以2 為首項,以3 為公比的等比數(shù)列,所以an+1=2·3n-1即an=2·3n-1-1.
解法二:由an+1=3an+2①,an+2=3an+1+1②,再由②-①得an+2-an+1=3(an+1-an),從而得到{an+1-an}是公比為3 的等比數(shù)列。
再由累加法得到:
類型5:已知某項(多為首項)且an+1=pan+f(n)(p為常數(shù))的遞推關系式;
這種類型的解法宜先采用將an+1=pan+f(n)兩邊同時除以pn+1,轉化成類型1,再用累加法可以求出通項公式,特別是當f(n)是以p為底的指數(shù)函數(shù)形式時,兩邊同時除以pn+1,可直轉化為等差數(shù)列。
例7.已知數(shù)列an{}滿足a1=1,且an+1=2an+2n(n∈N*)(2009 年廣東高考題)
解:(1)將an+1=2an+2n兩邊同時除以2n+1,得到:
所以數(shù)列an{ }通項公式為an=2n-1n.
總之,求數(shù)列的通項公式是歷年高職高考考查的熱點,其考查的目的在于測試學生靈活運用數(shù)列知識的能力,和把陌生問題轉化為熟悉問題的數(shù)學思想方法。雖然對于參加高職高考的學生來說難度較大,但是只要學生的等差、等比兩類最基本數(shù)列的基礎知識過關,對數(shù)列求通項的各種題型訓練到位,認真分析題意,仔細審題,選取適當?shù)慕夥?,?guī)范解題步驟,那么求數(shù)列通項公式的考點將會迎刃而解。
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