近期觀看了科幻大片《星際穿越》，影片中出現(xiàn)了蟲洞、黑洞、第五維空間等一些星際概念，讓人感覺宇宙中充滿了奇妙的變換.宇宙的研究當然離不開數(shù)學，數(shù)學是一切自然科學之王，而數(shù)學中也充滿了各種奇妙的、令人著迷的變換.三角變換就是其中之一，有些人認為三角學是古老的數(shù)學，應該弱化.但從現(xiàn)行高中數(shù)學教材來看，仍是對三角學比較重視，確實三角學屬于經典數(shù)學中的知識，之所以經典有其原因所在，三角學中的各種變換蘊含了豐富的數(shù)學思想，是開啟學生數(shù)學智慧之門，引起學生數(shù)學探究欲望的良好素材.

數(shù)學變換方法有著深刻的哲學思想基礎，這是因為辯證法告訴我們：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的，而是在不斷地發(fā)展變化[1].由于數(shù)學變換方法充分體現(xiàn)了聯(lián)系、運動、轉化的觀點，它對數(shù)學教育研究必然是有啟發(fā)性的.下面以“兩角差的余弦公式”推導為例，從變換的視角賞析其生成方式.

1公式推導前奏——兩銳角差的余弦公式

從學生認知特點的角度出發(fā)，從特殊到一般是比較符合學生認知規(guī)律的.所以一般可以考慮從兩銳角差的余弦著手，比如cos（45°-30°）=？有各種變換方法可以求出此三角函數(shù)值.

1.1數(shù)學動手實驗中的變換

明代學者與軍事家王守仁說：“知是行之始，行是知之成.”而陶行知老先生說：“行是知之始，知是行之成.”“墨辯”提出三種知識：親知、聞知、說知.親知是親身得來的，就是從“行”中得來的，聞知是從旁人那兒得來的，或由師友口傳，或由書本傳達.說知是推想出來的知識.陶老先生拿“行是知之始”來說明知識之來源，并不是否認聞知和說知，乃是承認親知為獲取一切知識之根本.聞知與說知必須安根于親知里面方能發(fā)生效力.古今中外第一流的真知灼見無一不是從“做”中得來，也就是說“教學”要以“做”為主.浙江省高中數(shù)學特級教師馮寅老師也曾經強調“動手”與“動腦”圖1并重的觀點.我們可以嘗試讓學生在動手操作數(shù)學實驗的過程中推導出兩銳角差的余弦公式.

（1）你能用這兩塊三角板（如圖1）拼出哪些角度呢？

（2）你能用它們拼出15°的角嗎？

（3）你能否利用所拼出的圖形（如圖2或如圖3）求出cos15°的值呢？

（4）若將上面的45°和30°角分別改成銳角α和β，那么會有怎樣的結論？cos（α-β）=？

1.2物理學做功中的變換

正如文首提及的影片《星際穿越》中諸多的數(shù)學變換，物理學中蘊含著豐富的數(shù)學變換.我們可以探尋高中學生熟知的物理知識，挖掘其中“兩銳角差余弦公式”.下面以物理學中“做功”為例嘗試讓學生挖掘出其中“兩銳角差余弦公式”的模型.

如圖4所示，一個坡度為30°的斜坡.已知作用在物體上的力F與水平方向之間的夾角為45°，且大小為10N，在力F的作用下，物體沿斜坡運動了2m，求力F作用在物體上的功W.

學生很快就分析出W=10cos15°·s=20cos（45°-30°）=？學生由此做功問題提煉出圖5所示的“兩銳角差余弦公式”的模型，其中∠BCD=90°，∠ABC=30°，∠DBC=45°，AH⊥BD.不妨設AC=1，則可以迅速求出cos15°=6+24.將特殊角替換成一般角便可以得到兩銳角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.其間也涉及到一些學生已經學過的三角變換，在推導新公式的同時，也是對之前三角變換知識的回顧與應用.因此，這種推導方式可以讓學生從實際問題情境中提煉出兩銳角差的余弦公式的模型，感知數(shù)學知識來源于實際，運用于實際，自然界萬事萬物中都蘊含著豐富的數(shù)學變換.

1.3三角起源弦圖中的變換

公元3世紀末，亞歷山大數(shù)學家帕普斯在《數(shù)學匯編》中給出命題[2]：如圖6，設H是以AB為直徑的半圓上的一點，CE是半圓在點H處的切線，CH=HE.CD和EF為AB的垂線，D、F是垂足，則（CD+EF）·CE=AB·DF.認識“弦圖”，從平面幾何中發(fā)現(xiàn)兩銳角差的余弦公式.

可以為學生搭建腳手架：（1）如圖7所示，設∠HOF=α，∠COH=β，試用α、β表示∠EOF；（2）不妨設OC=OE=1，試用線段（比）分別表示sinα、cosα、sinβ、cosβ以及cos（α-β）；（3）試探究cos（α-β）與sinα、cosα、sinβ、cosβ的關系.

以上的推導過程體現(xiàn)了數(shù)學是一種文化，在教學過程中適當?shù)娜谌霐?shù)學史知識，讓學生尋求數(shù)學進步的歷史軌跡，領會數(shù)學的美學價值，提高學生的數(shù)學文化素養(yǎng).三角學的歷史源遠流長，起源于天文觀測和歷法推算，是幾何問題代數(shù)化的典例.在教學過程中，如果融入三角學的歷史知識，引導學生了解三角學的發(fā)生發(fā)展歷程，使學生在探究活動中不僅知其“源”，而且知其所原，則既能使教學充滿濃郁的文化氣息，又能隨數(shù)學的發(fā)展而與時俱進.

此外，古埃及天文學家托勒密利用兩角和、差的三角關系繪制了現(xiàn)存最早的三角函數(shù)弦表，在天文學和測量計算中有很重要的應用.制作弦表的原理如圖8所示.此原理與人教A版上的方法（如圖9所示）有異曲同工之妙.

1.4面積中隱含的變換

數(shù)學的魅力在于他能讓人驚嘆于數(shù)學的各種奇妙的變換，一個普通的圖形當中竟然也能蘊藏著“兩銳角差的余弦公式”，如圖10所示.通過簡單的三角形等積就可以非常簡單的得到“兩銳角差的余弦公式”[3].

此種變換還有很多，在此不一一舉例.這是讓學生體驗數(shù)學魅力的良好素材，新課程改革大力提倡選修課程的開發(fā)與開設，而一線的很多數(shù)學教師卻苦于沒有好的素材，其實，好的素材“遠在天邊近在眼前”，我們的教材中就蘊含著豐富的素材.就以“兩角差的余弦公式”為例，我們可以將其推導過程開發(fā)成一堂或是一系列選修課程，作為必修課程的選修化，既能拓展學生的數(shù)學視野，也能激發(fā)學生數(shù)學探究的熱情.也可以將這些素材開發(fā)制作成微課，通過翻轉課堂的形式讓學生進行自主探究或合作探究，撰寫有關“兩銳角差的余弦公式”的數(shù)學小論文，用足教材中的內容，也迎合高考“源于教材，高于教材”的精神.

2角度范圍推廣——兩任意角差的余弦公式

在學習三角函數(shù)的初始，學生首先遇到的問題就是將初中里的特殊角推廣到任意角，如何推廣？那便是引進直角坐標系.

2.1誘導公式的化角變換

筆者覺得在三角的教學中，有些教師往往忽視“誘導公式”的強大功能，只是單純讓學生記住“奇變偶不變，符號看象限”，會熟練的運用誘導公式解題就可以了.殊不知蘊含于誘導公式中的數(shù)學本質是“化角變換”，將任意角通過誘導公式轉化為0～2π之間的角，再進一步將π2～2π之間的角轉化到0～π2之間的角，所以“兩任意角差的余弦”肯定可以通過誘導公式轉化為“兩銳角差的余弦”（軸線角可以單獨驗證）.因此，從誘導公式化角變換的角度來看，問題可以得到合理的解釋.

2.2旋轉中的變換

人教A版選修42《矩陣與變換》介紹了旋轉變換.如圖11所示，在直角坐標系xOy內，作單位圓O，設α、β角的始邊都為Ox、終邊分別圖11交圓于A、B.這時，得到兩點間的坐標分別為A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）.由兩點間的距離公式，并整理得|AB|2=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）①.再以OB為橫軸，建立新的直角坐標系x′O′y′，使其單位長與原坐標系相同.在新坐標系中兩點坐標為A（cos（α-β），sin（α-β）），B（1，0）.同樣，由兩點間的距離公式，并整理得|AB|2=2-2cos（α-β）②，由①②便可得兩任意角差的余弦公式[4].

有心的老師一定還記得人教社全日制普通高中教材中也是運用類似的變換來推導“兩任意角差的余弦公式”的.只不過不是旋轉坐標軸，而是旋轉點（在此不累述，詳見人教社全日制普通高中教材）.旋轉變換是相對的，數(shù)學中很多問題通過旋轉變換可以得到快速解決，比如可以用旋轉變換求12+22+33+…+n2，運用如圖12所示的旋轉變換可以很快得到結果.

2.3向量中的變換

向量是聯(lián)系代數(shù)、幾何、三角的橋梁，是現(xiàn)代數(shù)學中必不可少的工具，它可以使一些復雜問題簡單化，因為它插上了數(shù)形結合的翅膀.人教A版教材有意識地將《三角恒等變換》置于《平面向量》之后，并且運用向量數(shù)量積運算簡潔證明了“兩任意角差的余弦公式”，讓人耳目一新.此證明過程中的敘述看起來很淺顯，論述也不深奧，但它是以運動的、變化的觀點來研究數(shù)學問題.這種證明方法不但能促進學生數(shù)學認知結構的發(fā)展，而且能夠幫助學生逐步學會用辯證法的觀點來思考問題、分析問題和解決問題.因此，教師可以好好利用向量變換引出來的結果（兩任意角差的余弦公式）幫助學生形成更高層次的數(shù)學認知結構.

3結束語

有些教師認為兩角差余弦公式的推導過程不重要，重要的是公式的運用.但我們從上面各種變換的角度賞析兩角差的余弦公式，發(fā)現(xiàn)公式推導的各種變換中蘊含著豐富的數(shù)學思想.若是在公式推導環(huán)節(jié)，教師舍得不吝嗇時間，濃墨重彩的畫上靚麗的一筆，想必會給學生留下“數(shù)學是有趣的、是美麗的、是有用的”這樣美好而又深刻的印象.

參考文獻

[1]張維忠，宋秀紅.略論數(shù)學變換方法對數(shù)學教育研究的啟示[J].數(shù)學教學研究，1993（8）.

[2]陳清華，徐章韜.既基于歷史，又與時俱進高觀點下的“兩角和與差的正、余弦公式”教學設計[J].中小學數(shù)學，2013（9）.

[3]金國林.將無字證明引入課堂——《兩角差余弦公式》教學有感[J].數(shù)學教學，2010（7）.

[4]姚軍.從兩角和的余弦公式證明的演變談起[J].數(shù)學教學，1997（8）.

作者簡介俞昕，女，1977年生，浙江湖州人，中學高級教師，碩士.主要研究方向：數(shù)學文化、數(shù)學校本課程等.