洪鐵松

(上海財(cái)經(jīng)大學(xué)浙江學(xué)院，浙江 金華 321000)

20世紀(jì)70年代初，布萊克(Fisher Black)、斯科爾斯(Myron Scholes)和默頓(Robert Merton)取得股票期權(quán)定價(jià)問(wèn)題上的一個(gè)突破。他們的成果就是在金融工程上具有里程碑意義的 Black－Schloles(或 Black－Schloles－Merton)模型。隨后在這基礎(chǔ)上有更多更復(fù)雜的模型，被開(kāi)發(fā)出來(lái)用于金融衍生品價(jià)格的計(jì)算。譬如局部波動(dòng)率模型(local volatility model)、概率波動(dòng)率模型(stochastic volatility model)、跳躍模型(jump model)等。但當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的概率過(guò)程為復(fù)雜模型時(shí)，其求衍生品價(jià)格的解析解的難度就大幅上升。不僅如此，對(duì)于一些有著復(fù)雜的損益計(jì)算函數(shù)或者收益依附于標(biāo)的證券的歷史數(shù)據(jù)(路徑依賴型)的奇異期權(quán)等金融衍生品來(lái)說(shuō)，至今人們還沒(méi)得出定價(jià)的解析解。于是，隨之產(chǎn)生的就是使用各種數(shù)值方法來(lái)對(duì)衍生品進(jìn)行定價(jià)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法之一的蒙特卡羅方法逐漸成為使用最方便最廣泛的衍生品定價(jià)方法。

一、布萊克－斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型

(一)模型的基本假設(shè)

在對(duì)股票期權(quán)等金融衍生品進(jìn)行定價(jià)的時(shí)候，使用最多最有名的股票價(jià)格波動(dòng)模型是布萊克－斯科爾斯模型(Black－Scholes Model)，在其模型當(dāng)中股票價(jià)格假定為服從以下的幾何布朗運(yùn)動(dòng):

(二)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)

雖然假定股票價(jià)格在市場(chǎng)測(cè)度P下的概率微分方程式為dSt=μStdt+σStdWt，但是在求期權(quán)價(jià)格的時(shí)候，根據(jù)無(wú)套利原則，B－S微分方程獨(dú)立于風(fēng)險(xiǎn)偏好，也就是不管原資產(chǎn)的漂移率為多少，最終都變?yōu)闊o(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。這就是我們所說(shuō)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q(鞅測(cè)度)，在該測(cè)度下，資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)概率微分方程式為dSt=rStdt+σStdWt。如果期權(quán)到期時(shí)的價(jià)值為XT=f(ST)，那么它在今天的價(jià)值就是在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下的期望值的現(xiàn)值X0=e－rTEQ［f(ST)］。譬如歐式看漲期權(quán)到期時(shí)的價(jià)值為max{ST－K，0}，其在目前的價(jià)值就是 e－rTEQ［max{ST－K，0}］。

二、蒙特卡羅模擬方法

蒙特卡羅方法是使用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的總稱。在金融領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用上，蒙特卡羅方法的主要思想就是:反復(fù)使用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，從大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果當(dāng)中求解目標(biāo)因素。該方法的基本思想就是:首先，使用隨機(jī)數(shù)表現(xiàn)概率事件(標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變化等)。其次，把生成的隨機(jī)數(shù)帶入概率變量(金融衍生品的價(jià)值等)計(jì)算實(shí)現(xiàn)值。最后，對(duì)概率變量的實(shí)現(xiàn)值進(jìn)行集合處理。

在使用蒙特卡洛法計(jì)算期權(quán)的價(jià)格時(shí)，其基本方法是:生成隨機(jī)數(shù)模擬產(chǎn)生標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)價(jià)格樣本，計(jì)算出到期時(shí)期權(quán)的價(jià)值，反復(fù)上述步驟，最后以期權(quán)價(jià)值的平均現(xiàn)值作為該期權(quán)的價(jià)格。下面給出在Excel VBA上用蒙特卡洛模擬方法實(shí)現(xiàn)期權(quán)價(jià)值計(jì)算的過(guò)程:

1.生成服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)。使用Excel工作表函數(shù)rand()或VBA函數(shù)rnd()就能生成服從均勻分布U(0，1)的隨機(jī)數(shù)。

2.把服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。在使用Excel生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)數(shù)時(shí)，可以把第一步生成的U(0，1)隨機(jī)數(shù)代入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的逆函數(shù)NormSInv()來(lái)生成，但這樣的方法需要耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。通常我們可以使用Box－Muller法或Moro法更加快速的生成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。

對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行必要次數(shù)的重復(fù)，生成大量的風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下期權(quán)價(jià)值的樣本值;

4.計(jì)算出所有樣本的期權(quán)價(jià)值的平均值;用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折算出期權(quán)價(jià)值平均值的現(xiàn)在價(jià)值就為該期權(quán)價(jià)格的推測(cè)值。

三、應(yīng)用案例分析

歐式或美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)這樣的衍生品被稱為標(biāo)準(zhǔn)型產(chǎn)品，通常人們可以在交易所里集中進(jìn)行交易。除此之外，在場(chǎng)外市場(chǎng)上還存在許多的非標(biāo)準(zhǔn)化產(chǎn)品，人們把它們稱之為奇異期權(quán)(Exotic Option)，這類期權(quán)的定價(jià)過(guò)程相對(duì)比較復(fù)雜，即使存在解析解，也往往與現(xiàn)實(shí)存在一定的偏差。回望期權(quán)(Lookback Option)就是其中一類奇異期權(quán)，它最終的損益依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格路徑。回望看漲期權(quán)定義為持有者能夠以期權(quán)有效期內(nèi)所能達(dá)到的最低價(jià)格購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)。同樣的，回望看跌期權(quán)的持有者能夠以期權(quán)有效期內(nèi)所能達(dá)到的最高價(jià)格出售標(biāo)的資產(chǎn)。

例:考慮一個(gè)新發(fā)行的基于不支付紅利股票的回望看漲期權(quán)，股票當(dāng)前的價(jià)格S_0為50，股票價(jià)格的波動(dòng)率σ為40%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為10%，到期期限T為3個(gè)月。

歐式回望期權(quán)在連續(xù)模型下存在解析解，該看漲期權(quán)的價(jià)值為8.04。使用蒙特卡羅方法模擬計(jì)算該期權(quán)價(jià)格的過(guò)程中，我們需要在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下模擬出股票路徑，設(shè)置價(jià)格觀測(cè)點(diǎn)，并對(duì)同一路徑不同觀測(cè)點(diǎn)上的股票價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，得出最低股價(jià)作為行使價(jià)格，從而計(jì)算出期權(quán)的到期損益Max{ST－Smin，0}。下面為使用蒙特卡羅方法在 Excel VBA上編輯用戶定義函數(shù)對(duì)回望看漲期權(quán)進(jìn)行數(shù)值求解的程序代碼:

主函數(shù)當(dāng)中用到了使用Box－Muller法生成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的Excel VBA用戶定義函數(shù)，其具體的代碼如下:

在這里，我們對(duì)到期時(shí)間進(jìn)行了分割(價(jià)格觀測(cè)點(diǎn)分為100次和1000次)，以觀測(cè)各個(gè)時(shí)點(diǎn)上的股票價(jià)格。具體的模擬計(jì)算結(jié)果如下:

表1 蒙特卡羅模擬計(jì)算結(jié)果

圖1 期權(quán)價(jià)值的收斂過(guò)程

回望期權(quán)的價(jià)值取決于期權(quán)有效期內(nèi)能夠觀測(cè)到的標(biāo)的資產(chǎn)的最低價(jià)格或最高價(jià)格。連續(xù)模型下回望期權(quán)的定價(jià)存在解析解，這意味著在期權(quán)的有效期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格能夠連續(xù)的進(jìn)行觀測(cè)并從中得出最低價(jià)格和最高價(jià)格。但在現(xiàn)實(shí)中，對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格觀測(cè)是離散的(譬如每日收盤價(jià)格)。由此，連續(xù)模型下的定價(jià)解析解無(wú)非只能看作是現(xiàn)實(shí)價(jià)格的近似解。一般，隨著觀測(cè)頻率的增加，也就是觀測(cè)時(shí)間的縮短，觀測(cè)到更高的最高價(jià)和更低的最低價(jià)的可能性也隨之上升。因此，回望期權(quán)的價(jià)格會(huì)隨觀測(cè)頻率的上升而上升。

四、總結(jié)

對(duì)金融衍生品的定價(jià)除了使用蒙特卡洛模擬運(yùn)算之外，還有解析解的導(dǎo)出、有限差分法以及使用二叉樹數(shù)值計(jì)算等各種方法。但是，很多時(shí)候從股價(jià)模型往往無(wú)法導(dǎo)出解析解。在對(duì)奇異期權(quán)等一些路徑依存型的衍生產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)的時(shí)候，原則上只得使用蒙特卡洛數(shù)值計(jì)算方法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，今天我們可以使用最常用的辦公軟件來(lái)對(duì)金融衍生品的定價(jià)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。正是因?yàn)槊商乜_方法在實(shí)施上簡(jiǎn)易可行，在大學(xué)里可用于金融工程的輔助教學(xué)，在金融實(shí)務(wù)應(yīng)用上也有很大的發(fā)展空間。事實(shí)上，使用蒙特卡洛法對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)計(jì)算越來(lái)越得到重視，同時(shí)提高計(jì)算效率的各種技術(shù)的開(kāi)發(fā)與應(yīng)用也在不斷地得到深化和推廣。

［1］Black，F(xiàn).，Scholes，M.1973.“The pricing of options and corporate liabilities”，Journal of Political Economic 81，637－654.

［2］ Boyle，P.P.，1977，“Options:A Monte Carlo Approach，”Journal of Finacial Economics，4:323－38.

［3］徐永春，2013，《蒙特卡羅方法下的期權(quán)類衍生產(chǎn)品定價(jià)》，《統(tǒng)計(jì)與決策》第15期，第161－163頁(yè).

［4］約翰·赫爾，2010，《期權(quán)、期貨及其他衍生產(chǎn)品》，北京:人們郵電出版社.

［5］西蒙·本尼卡，2010，《財(cái)務(wù)金融建?！肊xcel工具(第三版)》，上海:上海人民出版社.