張小春

1983年《中等數(shù)學(xué)》第4期刊登了第一屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽復(fù)賽試題，其中有這樣一道試題：“對(duì)于和它的每一個(gè)非空子集，我們定義交替和如下：把子集中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開(kāi)始交替地加減各數(shù)（例如1，2，4，6，9的交替和是9-6+4-2+1=6，而5的交替和就是5）。對(duì)于n=7，求所有這些交替和的總和?！?/p>

文中作者王連笑老師給出了這一道試題的相對(duì)簡(jiǎn)單的解答。之后各地陸續(xù)出現(xiàn)類似考題（例如文[2]中提及的2005年地方聯(lián)考題）。文中作者劉國(guó)平老師對(duì)此題作出了多種不同的解答和分析。筆者深受啟發(fā)，筆者通過(guò)對(duì)此道試題解法地比較、研究與探索，尋求了一種更為容易推廣的解法，希望能引起讀者的興趣。

記Nn=1，2…，n，設(shè)其任一非空子集A=a1，a2…，a■k（1≤k≤n， a1>a2>…>a■k），其中ai∈Nn（1≤i≤k），記這樣的集合的交替和為σ（A）=■（-1）i-1ai，并且約定σ（？準(zhǔn)）=0，并記所有的這樣的交替和的總和為φn=■？滓（A）。

引理〓當(dāng)n？埸A時(shí)，？滓（A∪n）=n-？滓（A）.（1）

證明〓設(shè)A=a1，a2…，a■k，（1？燮k？燮n，a1>a2>…>a■k）則A∪n=n，a1，a2…，a■k。故由交替和的定義可知：？滓（A）=■（-1）■i-1ai= a1-a2+a3-a4+…+（-1）k-1a■k，而？滓（A∪n）=n-a1+a2-a3+…+（-1）ka■k=n-？滓（A）。證畢。

若令φn（x）=■x？滓（A），由引理則可得到如下定理：

定理1〓當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，φn（x）=■x？滓（A）=（1+x）n. （2）

證明〓易見(jiàn)φn（x）=■x？滓（A）+■x？滓（A）=■（x？滓（A）+x？滓（A∪{n}））=■（x？滓（A）+xn-？滓（A））=■x？滓（A）+■xn-？滓（A）=φn-1（x）+xn·φn-1（■）。所以

φn（x）=φn-1（x）+xn·φn-1（■）（x≠0），①

∴φn（■）=φn-1（■）+■·φn-1（x）（x≠0），②

∴xn·φn（■）=xn·φn-1（■）+φn-1（x）（x≠0），③

∴φn（x）=xn·φn（■）（x≠0），④

∴φn-1（x）=xn-1·φn-1（■）（x≠0），⑤

∴φn（x）=φn-1（x）+x·φn-1（x）=（1+x）·φn-1（x）⑥

由⑥式可知，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，φn（x）是一個(gè)首項(xiàng)為φ1（x），公比為（1+x）的等比數(shù)列。因?yàn)棣?（x）=■x？滓（A）=x？滓（？準(zhǔn)）+x？滓（N1）=x0+x1=1+x，所以φn（x）=φ1（x）·（1+x）n-1=（1+x）n。

經(jīng)驗(yàn)證可知上式對(duì)n=0也成立。證畢。

定理2〓當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，φn=■？滓（A）=n·2n-1.（3）

證明〓由定理1，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，在（2）式兩邊對(duì)x求導(dǎo)后再乘x得

x·φn（x）=■？滓（A）·x？滓（A）=nx（1+x）n-1⑦

在⑦式中再令x=1得

φn=■？滓（A）=n·2n-1

經(jīng)驗(yàn)證可知上式對(duì)n=0也成立。證畢。

在定理2中代入n=7得φn=■？滓（A）=n·2n-1=7×27-1=448，這正是原題的解。定理1中的（2）式和定理2中的⑦式應(yīng)用廣泛，通過(guò)賦值可產(chǎn)生有趣的結(jié)果。茲舉1例。

例〓在 （2） 式中令x=1，可得

φn（1）=■1=2n（4）

這表示Nn的子集個(gè)數(shù)有2n個(gè)。在（2）式中令x=-1，可得

φn（-1）=■（-1）？滓（A）=0〓n≥11〓n=0（5）

當(dāng)n≥1時(shí)，這表示Nn的所有子集（包括空集）中，交替和為偶數(shù)的子集個(gè)數(shù)與交替和為奇數(shù)的子集個(gè)數(shù)相等；當(dāng)n=0時(shí)，因?yàn)镹0是空集，而σ（？準(zhǔn)）=0，所以φ0（-1）=1。

上述定理及舉例都是在定義了一個(gè)關(guān)于集合交替和的集函數(shù)情況下進(jìn)行討論和研究的結(jié)果，延續(xù)這一思路，還可定義和構(gòu)造更多的集函數(shù)或者集組函數(shù)，詳細(xì)探討與研究留給感興趣的讀者。

責(zé)任編輯〓鄒韻文endprint