金儉儉，董彥鋒，王 茹，徐錄鑄，王維宇

(東南大學(xué)交通學(xué)院，江蘇 南京211189)

一、引 言

近些年來，GPS定位技術(shù)已廣泛用于控制測量等領(lǐng)域。GPS定位的成果屬于WGS-84大地坐標(biāo)系，但我國目前應(yīng)用的地形圖卻屬于1954北京坐標(biāo)系或者1980國家坐標(biāo)系，而不同的坐標(biāo)系之間存在著平移和旋轉(zhuǎn)關(guān)系，因此應(yīng)用GPS定位成果需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。我國的平面和高程兩個控制系統(tǒng)分別屬于不同的系統(tǒng)基準(zhǔn)和坐標(biāo)框架，故隨著控制測量區(qū)域面積的不同，3個坐標(biāo)的變化規(guī)律呈現(xiàn)出復(fù)雜性，如較小區(qū)域的控制測量，為了減少長度變形，一般采用無須投影計算的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)等，而在空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題上需要考慮這些因素。

空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型主要有布爾薩(Bursa)模型、莫洛金斯基(Molodensky)模型、范士模型和武測模型等。上述模型都包括3個平移參數(shù)，3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1個尺度參數(shù)，因而稱為七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型，本文就布爾薩模型在一定區(qū)域GPS控制測量中坐標(biāo)向高斯直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換進(jìn)行探討，并在相同原理基礎(chǔ)上將其演變成九參數(shù)模型，以解決單一尺度不足問題。

二、坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換

1．空間直角坐標(biāo)系統(tǒng)

如圖1所示，兩個空間直角坐標(biāo)系之間存在3個平移量，對應(yīng)的坐標(biāo)軸之間存在3個微小的旋轉(zhuǎn)角，及兩坐標(biāo)系之間的尺度比。

圖1 空間直角坐標(biāo)系

2．布爾薩七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型

式中，B為1980西安坐標(biāo)系坐標(biāo)，A為WGS-84坐標(biāo)系坐標(biāo)。

其中3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)為

在小區(qū)域GPS控制測量中，考慮到旋轉(zhuǎn)角都是微小量，對同一點(diǎn)，有式(3)

對式(3)進(jìn)行整理變換，可得式(4)

3．間接平差模型

依據(jù)式(4)，若求七參數(shù)，只要有足夠多的重復(fù)點(diǎn)觀測，就可依據(jù)平差理論建立模型。這里按照間接平差模型V=Bδ^X－L建立相關(guān)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，在最小二乘原則下求解七參數(shù)。

式中，B矩陣中相關(guān)的坐標(biāo)系數(shù)是WGS-84坐標(biāo)系測得的數(shù)據(jù)坐標(biāo)。

4．平差計算及精度評定

由于七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型中有7個未知數(shù)，依據(jù)平差原理，需要至少進(jìn)行坐標(biāo)聯(lián)測3個點(diǎn)，每個點(diǎn)分別有x、y、z坐標(biāo)數(shù)據(jù)。

設(shè)在一控制測量區(qū)域已經(jīng)存在3個坐標(biāo)點(diǎn)，其1980西安坐標(biāo)系的坐標(biāo)已知，然后利用GPS接收機(jī)聯(lián)測這3個點(diǎn)的坐標(biāo)，得到WGS-84坐標(biāo)系的坐標(biāo)，分別為:( x1，y1，z1)，( x2，y2，z2)，( x3，y3，z3)，將其代入，可得B矩陣。這里3個點(diǎn)坐標(biāo)測量的精度相同，可設(shè)其權(quán)陣為單位陣。依據(jù)最小二乘法原理VTPV=min可得

由此可以計算出七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型中的7個參數(shù)，代入式(6)可以得到任意一點(diǎn)1980坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

由此，兩個坐標(biāo)系之間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的模型就建立了。求出轉(zhuǎn)換參數(shù)后，依據(jù)轉(zhuǎn)換模型可求出公共點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，依據(jù)V=Bδ^X－L可得殘差矩陣，而綜合變換法的原理就是對轉(zhuǎn)換后的殘差矩陣進(jìn)行擬合。擬合是從數(shù)學(xué)原理來對數(shù)據(jù)的分析預(yù)估，可采用多項式擬合及曲面擬合等多種擬合方法，其中以最小多項式擬合最為常用。在實際應(yīng)用中，更為重要的是對各種模型的比較，以便選擇一個最優(yōu)模型，這里選用單位權(quán)方差估值的計算式作為擬合模型的選取準(zhǔn)則。即

式中，n表示參加擬合計算的數(shù)值個數(shù)，t為擬合模型的參數(shù)個數(shù)。

由協(xié)因數(shù)傳播定律知Q)x)x=(BTPB)－1

故 Q)φ)φ=FTQ)x)xF

5．九參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

傳統(tǒng)的七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型是單尺度模型，因此只需解算一個尺度參數(shù)即可。然而，GPS控制測量觀測的成果有高程方向上的誤差和平面坐標(biāo)方向上的誤差，分別屬于兩個基準(zhǔn)系統(tǒng)的數(shù)據(jù)，故尺度比并無可比性。因此GPS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換如果仍以單尺度模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，則不能很好地反映出兩坐標(biāo)系統(tǒng)尺度上的差異。

因而將七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型中尺度參數(shù)進(jìn)行延伸，在X、Y、Z軸上各設(shè)置一個尺度參數(shù)是比較合理的，

這樣就得到九參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型。

其中三尺度模型可表示為

將其寫成誤差方程為

根據(jù)誤差方程式，按最小二乘法原理，即可求出兩坐標(biāo)系之間的九轉(zhuǎn)換參數(shù)及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。具有3個尺度參數(shù)的九參數(shù)模型其精度要比七參數(shù)模型的精度要高，更適用于小區(qū)域的GPS控制網(wǎng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

三、實例分析

如某測區(qū)面積約50 000 km2，5個已知重合點(diǎn)坐標(biāo)見表1，分別為WGS-84和北京54坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，依據(jù)上面建立的布爾薩模型及其延伸，求出相關(guān)的轉(zhuǎn)換模型，對兩種模型的精度進(jìn)行比較(見表1)。

1．七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

觀測數(shù)n=15，必要觀測數(shù)t=7，體系的自由度為15－7=8。

將表1中各點(diǎn)數(shù)據(jù)代入七參數(shù)的誤差方程中，依據(jù)δx=(BTPB)－1BTPL，(這里的權(quán)陣為單位陣)可求解出

式中，Δx0、Δy0、Δz0單位為m;ωΧ、ωY、ωZ單位為s。

表1 兩種模型精度比較

2．九參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

觀測數(shù)n=15，必要觀測數(shù)t=9，體系的自由度為15－9=6。

將表中各點(diǎn)數(shù)據(jù)代入九參數(shù)的誤差方程中，依據(jù)δx=(BTPB)－1BTPL，(這里的權(quán)陣為單位陣)可求解出

通過兩種模型精度的比較，可以看出九參數(shù)模型的單位權(quán)中誤差要小于七參數(shù)模型的單位權(quán)中誤差，由此，在小區(qū)域的GPS控制網(wǎng)中，采用九參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型可以提高精度，減小誤差，且更適用于高差變化大的區(qū)域。針對控制測量面積的不同，其已知重合點(diǎn)的均勻性和密度應(yīng)有不同的要求，如對于小區(qū)域的控制測量來說可寬松一些。

四、結(jié)束語

本文對一定區(qū)域GPS控制網(wǎng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換進(jìn)行了研究，并結(jié)合布爾薩空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的原理及特點(diǎn)，將七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行了延伸，在相同原理的基礎(chǔ)上，演變成九參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，彌補(bǔ)了七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型中單一尺度的不足。研究成果對于測繪生產(chǎn)具有實際的應(yīng)用價值和意義。

［1］ 李成仁，岳東杰，袁豹，等．基于最小二乘配置的九參數(shù)模型在三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用［J］．測繪與空間地理信息，2014，37(7):193-196．

［2］ 徐仕琪，張曉帆，周可法，等．關(guān)于利用七參數(shù)法進(jìn)行WGS-84和BJ-54坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題的探討［J］，測繪與空間地理信息，2007，30(5):33-42．

［3］ 孫小榮，張書畢，徐愛功，等．七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的適用性分析［J］．測繪科學(xué)，2012，37(6):37-39．

［4］ 武漢大學(xué)測繪學(xué)院測量平差學(xué)科組．誤差理論與測量平差基礎(chǔ)［M］．武漢:武漢大學(xué)出版社，2014．5．