1 問題背景

三視圖問題是新課改后高考必考內(nèi)容，試題的類型也在不斷的變化和創(chuàng)新.正方體和三棱錐是關(guān)于三視圖試題中的兩個(gè)重要的模型，結(jié)合這兩個(gè)模型構(gòu)造、設(shè)計(jì)出了很多新穎別致的試題.比如：（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理））一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），若畫該四面體的三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）.

通過對該試題的解答，會(huì)產(chǎn)生哪些啟發(fā)和聯(lián)想呢？

2 問題解答

首先，根據(jù)題意在空間直角坐標(biāo)系中構(gòu)造出四面體A-B1D1C的的圖形;

其次，為了便于研究這個(gè)四面體的三視圖，將四面體的圖形進(jìn)行補(bǔ)充，補(bǔ)充出如圖1所示的四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在正方體

ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn);

圖1 圖2

第三，做該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以平面zOx為投影面，做出四面體A-B1D1C在正方體的正視圖為ADD1A1.如圖2所示，答案A.

感悟：當(dāng)我們將四面體A-B1D1C放在正方體ABCD-A1B1C1D1中時(shí)，以平面zOx為投影面的正視圖ADD1A1很容易被找到，之所以容易就是因?yàn)檎业搅苏襟w這個(gè)模型，結(jié)合這個(gè)模型再找它的三視圖就變得容易了.結(jié)合這個(gè)模型還會(huì)得到哪些三視圖的結(jié)論呢？

3 問題模型

3.1 提出問題

以正方體的頂點(diǎn)為三棱錐的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐的三視圖會(huì)是什么樣的圖形？

為了研究問題的方便，以下的涉及三視圖的問題都是在滿足：平面zOy為正視圖的投影面，平面xOy為俯視圖的投影面，平面zOx為左視圖的投影面的條件下進(jìn)行的.

3.2 分類解答

類型1 正方體中相交于同一點(diǎn)的三條棱構(gòu)成的三棱錐.

如圖3所示，在正方體中，相交于同一點(diǎn)的三條棱構(gòu)成的三棱錐因?yàn)轫旤c(diǎn)的位置的不同應(yīng)該有8個(gè).在這8個(gè)三棱錐中，每個(gè)三棱錐的三視圖（如圖4所示）都是三個(gè)全等的等腰直角三角形.

圖3 圖4

類型2 正方體中成異面直線的兩條棱的四個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐.

在正方體中，由成異面直線的兩條棱的四個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐共有16個(gè).這16個(gè)三棱錐的三視圖也是全等的等腰直角三角形.例如，由成異面直線的棱AD，A1B1的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐如圖5所示，與成異面直線的棱D1D，A1B1的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐，如圖7所示，具有完全相同的三視圖.如圖6、8所示.

圖5 圖6圖7 圖8

類型3 正方體中成異面直線的一條棱與正方體的一條面對角線構(gòu)成的三棱錐.

在正方體中，成異面直線的一條棱與一條面對角線構(gòu)成的三棱錐有兩類：一類是和棱相交的側(cè)面的對角線與棱構(gòu)成的三棱錐.例如，如圖9所示，A1B1，BC1四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐.此類三棱錐與類型1中的由同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱構(gòu)成的棱錐完全相同.如圖10所示，此類三棱錐的三視圖為三個(gè)全等的等腰直角三角形.

圖9 圖10圖11 圖12

另一類是和棱平行的平面內(nèi)的對角線與棱構(gòu)成的三棱錐.例如，如圖11所示，A1B1，AC四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐.如圖12所示，此類三棱錐的三視圖中有一個(gè)正方形和兩個(gè)全等的等腰直角三角形.

類型4 正方體中成異面直線的一條棱與正方體的一條體對角線構(gòu)成的三棱錐.

在正方體中，成異面直線的一條棱與正方體的一條體對角線構(gòu)成的三棱錐共有24個(gè).

圖13 圖14

例如，如圖13所示，棱A1B1和體對角線AC1的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐的三視圖為三個(gè)全等的等腰直角三角形，如圖14所示.同樣其他的三棱錐構(gòu)成的三視圖也是三個(gè)全等的等腰直角三角形.

類型5 正方體中成異面直線的兩條面對角線構(gòu)成的三棱錐.

在正方體中，成異面直線的兩條面對角線構(gòu)成的三棱錐分成兩類：

一類是兩個(gè)面對角線在相交的兩個(gè)面中，如圖15所示，此類的面對角線的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐和一條棱與一條面對角線構(gòu)成的棱錐是一樣的.如圖16所示，此類三棱錐的三視圖是三個(gè)全等的等腰直角三角形.

圖15 圖16圖17 圖18

另一類是兩個(gè)面對角線在兩個(gè)互相平行的平面中，如圖17所示，此時(shí)構(gòu)成的三棱錐的三視圖是三個(gè)全等的正方形，如圖18所示.特別要注意三視圖中正方形內(nèi)部兩條對角線的虛實(shí).

類型6：正方體中成異面直線的面對角線和體對角線的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐.

圖19 圖20

在正方體中，成異面直線的面對角線和體對角線的頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐一共有24個(gè)，如圖19所示.如圖20所示，這樣的三棱錐的三視圖是兩個(gè)全等的等腰直角三角形和一個(gè)正方形.這種三棱錐構(gòu)成的三視圖是唯一一種既有直角三角形，又有正方形的三視圖.

3.3 規(guī)律總結(jié)

通過以上各類不同三棱錐的三視圖發(fā)現(xiàn)，由正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的各種不同類型的三棱錐的三視圖具有下列特點(diǎn)：

第一，構(gòu)成三視圖的圖形為等腰直角三角形或正方形.

第二，構(gòu)成三視圖的等腰直角三角形都全等.

第三，構(gòu)成三視圖的正方形的兩條對角線都存在，且一個(gè)虛線，一個(gè)實(shí)線.

第四，構(gòu)成三視圖的等腰直角三角形或正方形的邊長都相同.

第五，只有以面對角線和體對角線端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐的三視圖才能使等腰直角三角形和正方形同時(shí)存在.

第六，只有互相平行的面對角線構(gòu)成的三棱錐的三視圖才都是正方形.

4 問題拓展

拓展1：在棱長為1的正六棱柱中，若以棱柱的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造三棱錐，則三棱錐的三視圖有哪些圖形？這些圖形之間有什么關(guān)系？

拓展2：如果將棱長為1的正四面體水平放在xOy所在的平面內(nèi)，且水平旋轉(zhuǎn)正四面體，使底面的棱與y軸分別成0，π6，π4，π3，π2角時(shí)，那么正四面體在zOy所在的平面的投影面的正視圖是什么圖形？

綜上所述，研究三棱錐的三視圖問題往往需要找到三棱錐所在的幾何模型，而正方體恰恰是高中數(shù)學(xué)中立體幾何教學(xué)的一個(gè)重要的模型，很多問題通過正方體模型進(jìn)行研究都會(huì)有事半功倍的效果.通過研究在正方體中三棱錐的三視圖具有的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)其三視圖具有的變化規(guī)律.同樣研究其他基本的幾何體中的三視圖問題會(huì)發(fā)現(xiàn)新的特征.因?yàn)殛P(guān)于三視圖的很多問題通過正方體模型研究后會(huì)變得輕松容易，所以進(jìn)一步拓展其他幾何模型中的三視圖問題會(huì)有效拓展學(xué)生思維的空間.因?yàn)槿晥D問題是立體幾何中一個(gè)重要的概念，在歷年高考中關(guān)于三視圖的試題都有體現(xiàn)，所以將正方體中的三棱錐模型化可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，提高學(xué)生解答高考試題的能力.同樣，通過將三視圖具有的特征和原幾何模型對照研究會(huì)有效地提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.通過對不同類型的分類處理，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

作者簡介 王恩賓，男，1963年生，遼寧沈陽人，碩士，中學(xué)高級(jí)教師，沈陽市骨干教師，沈陽市名師（學(xué)科帶頭人），沈陽市教師資格認(rèn)定組組長，沈陽市高中數(shù)學(xué)教研員.主要從事高中數(shù)學(xué)的教學(xué)研究、數(shù)學(xué)考試評價(jià)研究.