聶文喜

題目 設(shè)函數(shù)f（x）=ex-e-x-2x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）g（x）=f（2x）-4bf（x），當(dāng)x>0，g（x）>0時(shí)，求b的最大值.

解 （1）略.

（2）法1 g（x）=f（2x）-4bf（x）=e2x-e-2x-4b（ex-e-x）+（8b-4）x，

g′（x）=2[e2x+e-2x-2b（ex+e-x）+4b-2]

=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2），

因?yàn)閤>0，所以ex+e-x-2>0，ex+e-x-2b+2>4-2b（由于4-2b值的正負(fù)影響g（x）的單調(diào)性，故需討論）.

（1）當(dāng)b≤2時(shí)，g′（x）>0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）>g（0）=0.

下面證明：若x>0，g（x）>0，則b≤2，根據(jù)逆否命題與原命的等價(jià)性，只須證明其逆否命題：若b>2，則x>0，g（x）<0.

（2）當(dāng)b>2時(shí)，令g′（x）<0，得ex+e-x-2b+2<0，

解得0<x<ln（b-1+b2-2b），g（x）在（0，ln（b-1+b2-2b））上單調(diào)遞減.

又因?yàn)間（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，ln（b-1+b2-2b））時(shí)，g（x）<g（0）=0，不符題意.

綜上，b的最大值為2.

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)b≤2時(shí)，g（x）>0（x>0）恒成立，說(shuō)明b≤2是x>0，g（x）>0成立的充分條件;若x>0，g（x）>0，則b≤2，說(shuō)明b≤2是x>0，g（x）>0成立的必要條件;命題“若x>0，g（x）>0，則b≤2”與命題“若b>2，則x>0，g（x）<0”是逆否命題.

法2 由（1）f（x）在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0.

由g（x）=f（2x）-4bf（x）>0，得f（2x）>4bf（x），

分離參數(shù)得b<f（2x）4f（x）=e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x），所以b≤limx→0e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x），

由洛必達(dá)法則得

limx→0e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x）=limx→0e2x+e-2x-22（ex+e-x-2）

=limx→0e2x-e-2xex-e-x=limx→0（ex+e-x）=2.

所以b≤2.

下面證明當(dāng)b≤2時(shí)，不等式b<e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x）成立，

只須證明2<e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x），

只須證明e2x-e-2x-4x>8（ex-e-x-2x），

令h（x）=e2x-e-2x-4x-8（ex-e-x-2x），

則h′（x）=2[e2x+e-2x-4（ex+e-x）+6]=2（ex+e-x-2）2>0，

所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）>h（0）=0.

綜上，b的最大值為2.

點(diǎn)評(píng) （1）b≤limx→0e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x）是b<e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x），對(duì)x>0恒成立的必要條件，解法2先利用必要條件求出參數(shù)b的取值范圍，再證明所求范圍滿(mǎn)足充分性;

（2）解法2將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式證明問(wèn)題，降低了思維含量，

也減少了運(yùn)算量;

（3）本題難在求limx→0e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x），用洛必達(dá)法則求出了極限，突破了解題障礙.

法3 當(dāng)x>0，g（x）>0，所以f（2x）>4bf（x），

即e2x-e-2x-4x>4b（ex-e-x-2x）

令h（x）=e2x-e-2x-4x，u（x）=4b（ex-e-x-2x），則h（x）>u（x），

則問(wèn)題等價(jià)于在區(qū)間（0，+∞）上，y=h（x）的圖象恒在y=u（x）的圖象上方.

h′（x）=2（e2x+e-2x-2）>0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）>h（0）=0.

h″（x）=4（e2x-e-2x）>0，h（x）在（0，+∞）上是凹函數(shù).

u（x）=4b（ex-e-x-2x），需分三種情況討論，

當(dāng)b=0時(shí)，u（x）=0，所以h（x）>u（x）成立，

當(dāng)b<0時(shí)，u′（x）=4b（ex+e-x-2）<0，

u（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，u（x）<u（0）=0，

所以h（x）>u（x）成立，

當(dāng)b>0時(shí)，u′（x）=4b（ex+e-x-2）>0，u（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

u″（x）=4b（ex-e-x）>0，u（x）在（0，+∞）上是凹函數(shù)，

圖1

如圖1，要使h（x）>u（x）在（0，+∞）上成立，則必須且只須h′（x）>u′（x）在（0，+∞）上成立，所以2（e2x+e-2x-2）>4b（ex+e-x-2），

分離參數(shù)得b<e2x+e-2x-22（ex+e-x-2），

因?yàn)閑2x+e-2x-22（ex+e-x-2）=ex+e-x+22>2，所以0<b≤2.

綜上，b的最大值為2.

法4 （充分條件法）.當(dāng)x>0，g（x）>0，易發(fā)現(xiàn)g（0）=0，我們自然想到，若函數(shù)g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，那么g（x）>0一定成立，

導(dǎo)函數(shù)g′（x）=2[e2x+e-2x-2b（ex+e-x）+4b-2]

=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）>0即可，

因?yàn)閑x+e-x-2>0所以ex+e-x-2b+2>0，

分離參數(shù)得b<ex+e-x+22對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，因?yàn)閑x+e-x+22>2，所以b≤2.

下面只需說(shuō)明b>2時(shí)，g（x）>0不恒成立.

當(dāng)b>2時(shí)，令g′（x）<0，得0<x<ln（b-1+b2-2b），g（x）在（0，ln（b-1+b2-2b））上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（0，ln（b-1+b2-2b））時(shí)，g（x）<g（0）=0，不符題意.

綜上，b的最大值為2.

點(diǎn)評(píng) 因?yàn)間（0）=0，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增是g（x）>0恒成立的充分條件，解法4先利用充分條件求出參數(shù)a的取值范圍，再證明所求范圍滿(mǎn)足必要性.