馮淑麗

自2007年山東實(shí)施新課標(biāo)高考以來，對(duì)數(shù)列的考查無一例外（當(dāng)然除2009年略有不同）的采取了一種固定的考查模式：第一問求數(shù)列的通項(xiàng)公式;第二問求數(shù)列的前n項(xiàng)和.基本上所有的求和方法都有所涉及：乘公比錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組求和法，根據(jù)n的奇偶性分類討論，并項(xiàng)求和法等.人們猜測(cè)2014年的高考數(shù)列會(huì)考哪種求和方法？我想在各種求和方法都訓(xùn)練到位的前提下，今年的數(shù)列題目應(yīng)該不算是個(gè)難題.

題目 已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（Ⅱ）令bn=（-1）n-14nanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

該題目的新穎之處在于第二問，進(jìn)行了絕妙的創(chuàng)新設(shè)計(jì)，要求考生準(zhǔn)確掌握數(shù)列的基本思想，同時(shí)也對(duì)思維的靈活性提出了較高的要求.當(dāng)看到通項(xiàng)公式bn=（-1）n-14nanan+1=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1），大部分同學(xué)會(huì)一下子想到“裂項(xiàng)相消法”，但是用傳統(tǒng)的裂項(xiàng)法卻很難辦;又看到（-1）n-1也會(huì)聯(lián)想到分類討論或者是“并項(xiàng)求和”等思想方法.

解法1 裂項(xiàng)求和法.

裂項(xiàng)方法之一：在嘗試了“裂差”的失敗之后，同學(xué)們應(yīng)該能夠想到這樣的一種“裂和”的方法：bn=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）=（-1）n-1（12n-1+12n+1），然后寫出Tn的表達(dá)式Tn=（11+13）-（13+15）+（15+17）-（17+19）+…+（-1）n-1（12n-1+12n+1）.

觀察前幾項(xiàng)的抵消規(guī)律：每一項(xiàng)中的第二個(gè)數(shù)與它后一項(xiàng)的第一個(gè)數(shù)相抵消，由特殊到一般，歸納出Tn的一般表達(dá)式.顯然再由n的奇偶性決定了最后一項(xiàng)是“+”號(hào)還是“-”號(hào)，因此這個(gè)題目很自然地想到根據(jù)n的奇偶性去討論：

①若n為偶數(shù)，則Tn=（11+13）-（13+15）+（15+17）-（17+19）+…-（12n-1+12n+1）

=1-12n+1=2n2n+1.

②當(dāng)n為奇數(shù)，則Tn=（11+13）-（13+15）+（15+17）-（17+19）+…-（12n-3+12n-1）+（12n-1+12n+1）

=1+12n+1=2n+22n+1.

裂項(xiàng)方法之二：由傳統(tǒng)的裂項(xiàng)方法想到：因?yàn)?（2n-1）（2n+1）=12n-1-12n+1，所以bn=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）=（-1）n-1（12n-1-12n+1）2n=（-1）n-1（2n2n-1-2n2n+1），

所以Tn=（21-23）-（43-45）+（65-67）-（87-89）+…

=2-23-43+45+65-67-87+89+…

=2-（23+43）+（45+65）-（67+87）+89+…

結(jié)合著“并項(xiàng)求和法”，根據(jù)n的奇偶性，由特殊到一般的歸納出Tn的表達(dá)式.

在該解法中要求對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)的靈活性比較高，其實(shí)在近幾年的高考題中也給我們傳遞了這樣一種信息：在傳統(tǒng)的方法上不斷的進(jìn)行創(chuàng)新，達(dá)到知識(shí)與能力的完美融合.

裂項(xiàng)法求和關(guān)鍵在于拆項(xiàng)、消項(xiàng).因而具有較強(qiáng)的技巧.在平時(shí)的解題訓(xùn)練中不應(yīng)生搬硬套，而應(yīng)靈活應(yīng)用，常見代數(shù)式的裂項(xiàng)要適當(dāng)?shù)牧私?，例如?/p>

an=2n-33n=n-13n-1-n3n;

1n×（n+1）×（n+2）=

121n×（n+1）-1（n+1）（n+2）;

1n×（n+1）×（n+2）×（n+3）=

131n×（n+1）×（n+2）-

1（n+1）×（n+2）×（n+3）2n+3n×n+1×n+2=2n+1×n+2+3n×n+1×n+2.

解法2 并項(xiàng)求和法.

bn=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1），由代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：正負(fù)交替變換，不難想到并項(xiàng)求和法.

Tn=41·3-83·5+125·7-167·9+209·11-2411·13+…

=（41·3-83·5）+（125·7-167·9）+（209·11-2411·13）+…

=41·5+45·9+49·13+…

并項(xiàng)之后，認(rèn)真觀察該代數(shù)式具備了裂項(xiàng)相消法求和的條件，因此，可以得到：

Tn=41·5+45·9+49·13+…=（11-15）+（15-19）+（19-113）+…

當(dāng)然，要對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：

Tn=41·3-83·5+125·7-167·9+209·11-

2411·13+…+4（n-1）（2n-3）·（2n-1）-

4n（2n-1）·（2n+1）

=

（41·3-83·5）+（125·7-167·9）+（209·11-2411·13）+…+4（n-1）（2n-3）·（2n-1）-4n（2n-1）·（2n+1）

=

41·5+45·9+49·13+…+4（2n-3）·（2n+1）

=

（11-15）+（15-19）+（19-113）+…+（12n-3-12n+1）

=11-12n+1=2n2n+1.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：因?yàn)榇藭r(shí)n-1為偶數(shù)，所以Tn-1可以用上當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)的結(jié)論直接得出，

Tn=Tn-1+bn=

2（n-1）2（n-1）+1+（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）

=

2（n-1）2n-1+4n（2n-1）（2n+1）

=

4n2+2n-2（2n-1）（2n+1）=2n+22n+1.

在整個(gè)過程中，采取的是“先并項(xiàng)，再裂項(xiàng)”分類討論的解題思路.

雖然上述兩種解答方法有些細(xì)微的不同，但是方法并不陌生，都是可以與以往的解題方法聯(lián)系起來，進(jìn)行適當(dāng)?shù)膭?chuàng)新，把多種求和方法聯(lián)系起來.本題第（Ⅱ）問還可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.因此在備考過程中一定要把每一種求和方法訓(xùn)練到位，體會(huì)求和過程中包含的數(shù)學(xué)思想方法.