張哲

【摘 要】 數(shù)學史不僅讓我們對過去的數(shù)學進行懷念，更重要的是讓我們對數(shù)學充滿希望和期盼，讓數(shù)學史真正走進高中數(shù)學教育，關(guān)注數(shù)學抽象形式背后的數(shù)學本質(zhì)及相關(guān)歷史背景，關(guān)注數(shù)學知識發(fā)展演變過程中的重要思想方法，是我們數(shù)學教師要做的一件重要的事情。筆者將以《直線的傾斜角和斜率》的教學設(shè)計為例，淺談如何在高中數(shù)學課堂中有機融入數(shù)學史，全面了解數(shù)學科學，大力倡導數(shù)學精神，注重對數(shù)學思想方法的認識，提高數(shù)學養(yǎng)成。

【關(guān) 鍵 詞】 數(shù)學史；作用和意義；直線的傾斜角與斜率

一、教學內(nèi)容與過程

（一）簡介數(shù)學史，了解學科思想

采用直接運用數(shù)學史的方式進行導入，具體做法是：課前，我布置學生閱讀第三章章頭語，自主搜集有關(guān)解析幾何資料思考。上課時，設(shè)計情境導入，學生史料學習展示3～4分鐘。旨在介紹背景，揭示課題，教學片斷如下：

【教學片斷】

師：在數(shù)學史上，曾經(jīng)有這么幾位數(shù)學家，他們想創(chuàng)造一種能解決世界上一切問題的方法，法國著名的數(shù)學家笛卡爾就是其中的一位。他們的設(shè)想是這樣的：“任何問題→數(shù)學問題→代數(shù)問題→方程問題→求解方程→得到結(jié)論”。因此，如何用代數(shù)的方法來解決幾何問題是他們遇到的難題之一。

據(jù)說一天，當?shù)芽柼稍诖采闲菹r，看見一只蒼蠅正在天花板上爬，粘在了蜘蛛網(wǎng)上，蜘蛛迅速爬過去把它捉住，他突發(fā)奇想，假如在墻角的三根交線上分別標上刻度，不就能用有序數(shù)對來表示蜘蛛的位置了嗎？這一想可了不得，使得代數(shù)學和幾何學聯(lián)系起來了，產(chǎn)生了解析幾何學。笛卡爾的這種想法就是直角坐標系的雛形，有了直角坐標系，點就可以用數(shù)來表示，進而線與面也能用數(shù)來表示，從而使得用代數(shù)的方法來研究幾何問題有了可能。

聽了這個傳說，同學們有什么想法？

生：數(shù)學的直覺來源于生活。

生：人們在苦思冥想后的靈感不是不可能的，但事實上，笛卡爾之所以能創(chuàng)立解析幾何，主要是他艱苦探索、潛心思考的結(jié)果。

師：在平面幾何的研究中，我們是直接通過幾何圖形中點、直線的關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)?，F(xiàn)在我們采用另外一種研究方法：坐標法。

通過自學第三章章頭語，結(jié)合大家課前收集的有關(guān)解析幾何資料，請大家談談什么是坐標法？

生：坐標法是以坐標系為橋梁，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì)的方法。

生：坐標法是解析幾何的核心思想方法。用坐標法研究幾何的學科稱為解析幾何，它是17世紀法國數(shù)學家笛卡爾和費馬創(chuàng)立的。

生：解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學概念，特別是將變量引入數(shù)學，使數(shù)學進入了一個新的發(fā)展時期，這就是變量數(shù)學的時期。解析幾何在數(shù)學發(fā)展中起了推動作用。

師：本課我們將研究最基礎(chǔ)的知識——直線的傾斜角和斜率，我們先研究坐標平面內(nèi)最簡單的圖形——直線。為此，我們先探索確定直線位置的幾何要素，然后在坐標系中用代數(shù)的方法把幾何要素表示出來，從中體會解析幾何研究問題的基本方法和數(shù)學思想。

（二）探究1：傾斜角概念的形成，體會用坐標刻畫傾斜角的方法

在教學中首先是創(chuàng)設(shè)問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念。

問題1：已知直線l經(jīng)過點p，直線l的位置能確定嗎？（自己動手畫畫）

【設(shè)計意圖】 在探究傾斜角定義的形成過程中，主要研究所有直線與其傾斜角的關(guān)系，將定義具體化、全面化，同時得到傾斜角的意義。

問題2：如何刻畫直線的傾斜程度？在直角坐標系中，傾斜程度可以用直線與坐標的關(guān)系來刻畫，那么用什么具體概念來體現(xiàn)呢？

學生通過對在直角坐標系中直線位置的觀察，發(fā)現(xiàn)“夾角”問題后，老師進一步提出下列問題。

問題3：一條直線與坐標系有四個的夾角，而且有的夾角相同，但直線傾斜狀況也不一樣，選定哪個角為傾斜角更合適呢？怎樣定義？

【設(shè)計意圖】 培養(yǎng)學生觀察、思考、探究的學習能力，通過逐步的提出問題，引導學生對概念進行建構(gòu)。

（三）探究2：斜率概念引入的坐標法思想

在師生得出了傾斜角的概念后，教師引導學生將角（幾何）問題轉(zhuǎn)化為斜率（代數(shù)）問題。提出以下問題：

問題4：傾斜角是描述直線傾斜程度的幾何要素，那么用代數(shù)中“數(shù)”能否表示直線的傾斜程度呢？

引導學生回顧日常生活中，我們用坡度的大小表示傾斜程度的量，坡度（比）=類比得出數(shù)學中斜率的定義。

【設(shè)計意圖】 分析學生熟悉的例子，構(gòu)建新舊知識聯(lián)接的橋梁，符合學生的認知規(guī)律。通過生活上坡度的問題，引出數(shù)學中斜率的概念，培養(yǎng)學生觀察、類比、探究的數(shù)學思維。

問題5：斜率和傾斜角的關(guān)系是怎樣的呢？

試試：已知各直線傾斜角，則其斜率的值為

（1）當α=0°時，則k__________；

（2）當0°<α<90°時，則k__________；

（3）當α=90°時，則k__________；

（4）當90°<α<180°時，則k__________。

【設(shè)計意圖】 進一步加深對傾斜角與斜率的關(guān)系的理解。

（四）探究3：過兩點的直線的斜率公式

問題6：學習教材P83～P84，探究如何由直線上兩點的坐標計算直線的斜率。

給定兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），試求直線P1P2的斜率k。

【設(shè)計意圖】 逐步實踐坐標法。

追問：上述公式的適用范圍是什么？與所取的點的坐標是否有關(guān)，與所取點的先后順序是否有關(guān)？

【設(shè)計意圖】 辨析公式。

數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。以上教學過程重視數(shù)學思想方法的挖掘和應用，使學生經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，并初步了解解析幾何研究問題的基本思想方法，學習解析幾何，就是要“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”，學會把握數(shù)形之間的內(nèi)在聯(lián)系。

問題7：教師進一步引導：兩點間斜率公式有什么注意事項嗎？

引導學生討論，學生代表發(fā)言：

1. 垂直于x軸的直線無斜率。

2. 斜率公式與直線上點的位置無關(guān)，學生一般會想到用相似三角形的相似比來證明該問題，此處滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。

師：辨析公式追問：上述公式的適用范圍是什么？與所取點的坐標是否有有關(guān)，與所取點的先后順序是否有關(guān)？

公式的特點：（1）當x1=x2時，公式不適用，此時α=90°；（2）直線的斜率可以通過直線上任意兩點的坐標來表示；（3）與兩點的順序無關(guān)。

二、數(shù)學史在《直線的傾斜角與斜率》教學中的應用

（一）采用數(shù)學史進行情境教學，激發(fā)學生的數(shù)學學習動機

當代希臘的《數(shù)學教學綱要》指出，教材中使用歷史材料的目的是“提高學生學習數(shù)學的興趣，使他們熱愛數(shù)學。”

在本節(jié)課的導入中，運用數(shù)學史進行情境教學，有機融入數(shù)學史。開課時，在指導學生閱讀的基礎(chǔ)上，通過整合章頭圖和開篇語，簡介解析幾何的發(fā)展歷史，讓學生初步了解解析幾何的基本思想，感受科學家的發(fā)現(xiàn)過程和情緒體驗，讓學生融入科學家的思維情境和發(fā)明創(chuàng)造的氛圍中，激發(fā)學生的創(chuàng)造意識和探索精神。正所謂“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”。

在數(shù)學教學中，把數(shù)學史中經(jīng)典的歷史話題恰倒好處地引入到數(shù)學課堂中，可以事半功倍，幫助學生多角度認識數(shù)學，展示數(shù)學不斷發(fā)展的生動有趣，會使學生感到造化安排數(shù)學之巧妙，數(shù)學家創(chuàng)造數(shù)學之深邃，數(shù)學學習領(lǐng)悟之歡快，從而可以大大激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，學生真正感受到數(shù)學的美麗，被數(shù)學所吸引，從而喜歡數(shù)學，熱愛數(shù)學。

（二）在教學過程設(shè)計中感受概念的來龍去脈，體現(xiàn)解析幾何的基本思想

傾斜角和斜率，都是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，傾斜角是從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度，而斜率是從“數(shù)”的角度刻畫直線的傾斜程度。傾斜角是一個橋梁，利用它可以將兩直線的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為斜率問題。而在建立直線方程，研究直線的幾何性質(zhì)時斜率起著重要的作用。因此，坐標法和斜率是本課時的核心概念。傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立，是本節(jié)課的主要教學任務。

據(jù)此確定本節(jié)課研究問題的思路“用角刻畫傾斜程度→一點一角確定直線→坐標運算研究幾何特征→形成k與α統(tǒng)一”與解析幾何的基本思想“幾何問題→代數(shù)問題→代數(shù)結(jié)論→幾何解釋”是完全吻合的。

本節(jié)課的教學設(shè)計注重把概念的來龍去脈呈現(xiàn)給學生，如笛卡兒在他的書籍《方法論》和《指導思維的法則》中，就提出疑問：古希臘人只告訴你結(jié)論是什么，如何證明，但沒有告之結(jié)論是如何發(fā)現(xiàn)的。如歐拉的《原本》證明了幾百個命題，但并沒有說明它們是如何被發(fā)現(xiàn)的。于是笛卡兒企圖找到一種發(fā)現(xiàn)真理的一般方法，讓普通人也發(fā)現(xiàn)真理。笛卡兒（下轉(zhuǎn)46頁）（上接44頁）把他的方法叫“普遍數(shù)學”，解析幾何正是他將這種“普遍數(shù)學”實施于幾何學時創(chuàng)造出來的工具。他主張“采取幾何學和代數(shù)學中一切最好的東西，互相取長補短”。這種大膽思索創(chuàng)新的精神，正是我們要認真學習的。

（三）著重探究斜率的定義及計算公式，體會數(shù)形結(jié)合思想的作用和解析幾何中建立坐標系的價值

從問題出發(fā)，通過一系列問題的作答、體悟，很自然地引入了斜率這個概念，學生不會感到很突然，難以理解。從而調(diào)動了學生探究的主動性。使學生切實理解斜率和傾斜角都是反映“直線傾斜程度”這一概念的本質(zhì)特征，讓學生體會到直線的傾斜角側(cè)重于直線的幾何直觀形象，直線的斜率則側(cè)重于用數(shù)來說明直線的方向。

斜率概念產(chǎn)生的過程，充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想方法。（1）兩點是確定一直線的幾何要素，傾斜角是反映直線傾斜程度的幾何特征量，借助坐標系，點可以坐標表示，直線的傾斜角自然可由兩點的坐標來確定，而引進斜率這一概念很好地溝通了兩者的聯(lián)系。使得幾何量有了代數(shù)化的表示。（2）斜率使直線的代數(shù)形式y(tǒng)=kx+b中的k有了明確的幾何意義。（3）通過斜率可以判斷直線的傾斜程度，討論直線的位置關(guān)系（主要是平行與垂直），這是用代數(shù)方法解決幾何問題的典型示例。

這樣，讓學生分別用幾何和代數(shù)來刻畫傾斜程度，把握代數(shù)與幾何間通過坐標法的聯(lián)系，從而掌握解析幾何的基本思想，通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數(shù)形結(jié)合思想，滲透辯證唯物主義思想，滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何研究思想。

在數(shù)學概念與理論的教學中，運用數(shù)學史教學可以使學生親歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，即數(shù)學模式的建構(gòu)過程，以培養(yǎng)學生的原創(chuàng)性思維。讓學生通過探索、反思、修改、完善，經(jīng)歷曲折和反復，使學生真正理解一個數(shù)學問題是怎樣提出來的，一個數(shù)學概念是如何形成的，一個結(jié)論是怎樣探索和猜測到的，以及是如何應用的。

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