劉伯鴻，靳文軍，徐志奇

（蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州730070）

GPS定位系統(tǒng)是一種高精度、快速度的連續(xù)定位系統(tǒng)。目前該系統(tǒng)已經(jīng)在車輛定位、地殼運(yùn)動(dòng)監(jiān)測(cè)、變形監(jiān)測(cè)等諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［1］。利用GPS系統(tǒng)進(jìn)行定位時(shí)，用戶接收機(jī)只有接收到至少4顆以上的衛(wèi)星時(shí)才能實(shí)現(xiàn)定位解算。而在峽谷或城市樓群環(huán)境中信號(hào)易受到遮擋而只接收到3顆衛(wèi)星時(shí)，利用傳統(tǒng)的定位算法無法實(shí)現(xiàn)接收機(jī)的定位解算［2］。通常都是利用慣性導(dǎo)航系統(tǒng)、虛擬衛(wèi)星以及地圖匹配等輔助GPS定位，在一定程度上解決了3顆衛(wèi)星無法定位的問題，但是以上方法需要額外增加 硬 件 設(shè) 備，增 加 了 定 位 成 本［3－5］。本 文 利 用GPS接收機(jī)在定位時(shí)提供的接收機(jī)鐘差數(shù)據(jù)輔助GPS定位，該方法只需要在接收機(jī)的內(nèi)部嵌入相應(yīng)的算法而不需要增加額外的硬件設(shè)備。在受到強(qiáng)烈的環(huán)境干擾的情況下依然可以實(shí)現(xiàn)接收機(jī)的定位解算功能。

灰色系統(tǒng)是用來解決信息不完備系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法［5］，本文將GPS接收機(jī)鐘差序列的變化過程看做是一個(gè)灰色系統(tǒng)，利用灰色理論對(duì)衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)測(cè)；并在GPS衛(wèi)星受到干擾的條件下利用預(yù)測(cè)的鐘差值輔助GPS接收機(jī)進(jìn)行定位。

1 灰色理論的鐘差預(yù)測(cè)模型

灰色理論研究的是一種對(duì)貧信息的建模，它提供了在貧信息的情況下如何解決系統(tǒng)問題的新途徑［6－8］。通常情況下系統(tǒng)的原始數(shù)據(jù)都不具備規(guī)則性，而可以通過利用累加生成的方法去逼近系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行累加處理之后，生成有規(guī)律的數(shù)據(jù)，從而降低數(shù)據(jù)的隨機(jī)性［9－10］。

對(duì)序列Z ＝ ［Z（1），Z（2），…，Z（L）］建立灰色模型的過程如下：

1）首先需要對(duì)系統(tǒng)原始的序列Z進(jìn)行一次累加，生成新的序列Z（1）。

2）對(duì)序列Z（1）的指數(shù)規(guī)律性進(jìn)行檢驗(yàn)。（）

當(dāng)t＞3時(shí)，如果1＜σ（t）＜1．5，則新生成的序列Z（1）具有指數(shù)規(guī)律，可以對(duì)其建立灰色模型。

3）對(duì)新生成序列Z（1）建立微分方程

4）將式（3）寫成矩陣形式

其中，

5）依據(jù)最小二乘法的方法，對(duì)a和u參數(shù)進(jìn)行估計(jì)

6）通過利用a和u的估計(jì)值~a和~u，計(jì)算新生成序列Z（1）的預(yù)測(cè)序列如式（7）所示。

7）對(duì)預(yù)測(cè)序列~Z（1）進(jìn)行一次累減操作，將得到原始序列Z的預(yù)測(cè)序列~Z如式（8）所示。

基于灰色理論的接收機(jī)鐘差預(yù)測(cè)模型，其對(duì)系統(tǒng)原始的鐘差序列不需要做出任何的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的假設(shè)［3］，故其具有廣泛的適應(yīng)性。

2 鐘差預(yù)測(cè)模型輔助定位

2．1 GPS偽距定位原理

當(dāng)GPS接收機(jī)可以觀測(cè)到N顆衛(wèi)星時(shí)，則GPS的偽距方程為

式中：ρi為第i顆衛(wèi)星的偽距測(cè)量值；Ri為第i顆衛(wèi)星到用戶接收機(jī)的幾何距離；b為接收機(jī)與衛(wèi)星的鐘差；εi為系統(tǒng)的測(cè)量誤差。

將式（9）在接收機(jī)的概略坐標(biāo) （x0，y0，z0）處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并且忽略掉二階以上的高次項(xiàng)，得到線性化觀測(cè)方程

式中：L∈RN×1為偽距差向量；H∈RN×4為系數(shù)矩陣；X ∈R4×1包含了 GPS接收概略坐標(biāo) （x0，y0，z0）的改正數(shù)δx，δy，δz。

式（10）中含有4個(gè)未知的參數(shù)，所以需要至少4顆衛(wèi)星數(shù)據(jù)才能進(jìn)行解算。當(dāng)在復(fù)雜環(huán)境的情況下，由于GPS衛(wèi)星信號(hào)受到遮擋，接收機(jī)只能接收3顆有效衛(wèi)星。此時(shí)，系統(tǒng)只能提供3個(gè)觀測(cè)方程，故無法對(duì)4個(gè)未知數(shù)進(jìn)行解算，以至于GPS接收機(jī)無法正常定位。

2．2 鐘差輔助GPS接收機(jī)的定位解算

為了解決GPS接收機(jī)在只有3顆有效衛(wèi)星的條件下不能定位解算的問題，在觀測(cè)方程中引入通過灰色理論預(yù)測(cè)得到的鐘差值，通過擴(kuò)充觀測(cè)矩陣來實(shí)現(xiàn)對(duì)GPS接收機(jī)的定位解算。

利用鐘差預(yù)測(cè)模型輔助GPS接收機(jī)定位解算時(shí)，將預(yù)測(cè)的鐘差值B替代實(shí)際的鐘差值b，則系統(tǒng)方程為

式中：L′∈RN×1為擴(kuò)展后的偽距差向量；H′∈RN×3為擴(kuò)展后的系數(shù)矩陣；X′∈R3×1包含了GPS接收機(jī)概略坐標(biāo) （x0，y0，z0）的改正數(shù)δx，δy，δz。

式中：l1，m1，n1為GPS接收機(jī)與第i顆衛(wèi)星之間的方向余弦，其中

式中：（x0，y0，z0）為接收機(jī)的坐標(biāo)；（Xi，Yi，Zi）為第i顆衛(wèi)星的坐標(biāo)。

由式（10）和式（11）可以看出，在引入了鐘差預(yù)測(cè)模型以后，定位解算的未知參數(shù)變成了3個(gè)。所以，利用鐘差模型輔助的方法在只有3顆衛(wèi)星的條件下，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)GPS接收機(jī)的定位解算。圖1為鐘差輔助GPS定位解算的流程。

圖1 鐘差輔助定位解算流程

3 鐘差預(yù)測(cè)模型輔助定位實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文利用GPS接收機(jī)的實(shí)際測(cè)量所得的衛(wèi)星坐標(biāo)、衛(wèi)星偽距和GPS接收機(jī)鐘差等相關(guān)數(shù)據(jù)，對(duì)鐘差預(yù)測(cè)模型輔助的GPS定位方法在靜態(tài)情況下進(jìn)行了驗(yàn)證分析。

3．1 實(shí)驗(yàn)條件

GPS接收機(jī)持續(xù)采集衛(wèi)星定位數(shù)據(jù)5 min，每1 s為一個(gè)采樣間隔，共獲得了300組定位數(shù)據(jù)。提取前4 min所采集到的鐘差數(shù)據(jù)并利用這些數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)鐘差模型，然后預(yù)測(cè)第5 min鐘差，利用預(yù)測(cè)值輔助GPS接收機(jī)定位。用于建模的接收機(jī)鐘差如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)所用鐘差數(shù)據(jù)

由圖2可以看出，GPS接收機(jī)的鐘差數(shù)據(jù)較大，若直接利用這些數(shù)據(jù)建立鐘差預(yù)測(cè)模型的話可能會(huì)使得最終的運(yùn)算量過大，不利于定位解算。因此對(duì)該序列進(jìn)行一次差分運(yùn)算，然后對(duì)經(jīng)過差分運(yùn)算所得到的新的序列進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)模型的建立。

3．2 模型預(yù)測(cè)能力分析

為了確保模型建立的合理性需要在模型建立之前對(duì)序列的指數(shù)型規(guī)律進(jìn)行一次檢驗(yàn)。圖3為序列指數(shù)規(guī)律的評(píng)價(jià)指標(biāo)σt

圖3 差分序列的指數(shù)規(guī)律

由圖3可以看出，1＜σ（t）＜1．5，差分序列滿足指數(shù)規(guī)律，可以對(duì)其進(jìn)行灰色模型的建立。

由圖4可知，鐘差預(yù)測(cè)的平均誤差為14．473 m，并且隨時(shí)間的增大，鐘差預(yù)測(cè)誤差的值也隨之增大。但是在241～280 s之間其預(yù)測(cè)誤差的值基本保持在一定水平?jīng)]有太大的波動(dòng)，所以在較短的預(yù)測(cè)時(shí)間內(nèi)，模型能夠很好地反應(yīng)出鐘差序列的變化趨勢(shì)。

圖4 鐘差預(yù)測(cè)誤差

灰色理論用指數(shù)曲線去擬合原始數(shù)據(jù)，最終預(yù)測(cè)結(jié)果為一條平滑曲線。序列隨時(shí)間的增長逐漸偏離指數(shù)的固有特征，這樣便使得最終的預(yù)測(cè)誤差越來越大。因此，基于灰色理論的接收機(jī)鐘差預(yù)測(cè)模型適合于短期預(yù)測(cè)。

3．3 鐘差方式輔助GPS定位解算

利用以上的鐘差預(yù)測(cè)模型輔助GPS接收機(jī)實(shí)現(xiàn)最終的定位解算，結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，基于鐘差預(yù)測(cè)模型對(duì)于GPS輔助定位的精度效果明顯。在241～280 s之間進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，其定位的誤差最大沒有超過30 m，這個(gè)定位結(jié)果能夠滿足短時(shí)間的定位精度的要求。但是由于存在預(yù)測(cè)誤差的累計(jì)，隨著時(shí)間的持續(xù)增長，使得定位誤差越來越大；而當(dāng)預(yù)測(cè)時(shí)間超過60 s時(shí)，其定位誤差超過了80 m，此時(shí)的定位解算得出的結(jié)果誤差過大，只具有一定的參考價(jià)值。

圖5 X軸方向的定位誤差

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于灰色理論的鐘差預(yù)測(cè)模型輔助GPS定位的方法實(shí)現(xiàn)GPS衛(wèi)星不完備情況下的接收機(jī)的定位解算。驗(yàn)證結(jié)果表明該模型可以輔助GPS在其不完備條件下的定位解算。此外通過鐘差方式輔助定位結(jié)果的精度與鐘差預(yù)測(cè)精度有直接的關(guān)系。如何通過提高鐘差預(yù)測(cè)的精度來進(jìn)一步提升鐘差模型輔助定位的精度是下一步需要解決的關(guān)鍵問題。

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