劉金旺,關(guān)劍成,王衛(wèi)兵,周飛躍,袁梓翰

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無窮個無窮小量的積與和

劉金旺,關(guān)劍成,王衛(wèi)兵,周飛躍,袁梓翰

(湖南科技大學數(shù)學與計算科學學院, 湖南湘潭, 411201)

通過2個無窮可數(shù)個無窮小量的積及2個無窮可數(shù)個無窮小量的和的實例, 證明了無窮可數(shù)個無窮小量的積或者和均不一定是無窮小量。

函數(shù); 函數(shù)列;無窮小量

眾所周知, 有限個在同一點的無窮小量的和與積還是一個無窮小量[1–2]。在函數(shù)的探索與研究中, 常會遇到“無窮個無窮小量的積與和是否仍是無窮小量”的問題。在討論該問題之前, 先給出無窮(可列)個函數(shù)的積的定義[3]。

定義1 設(shè){f()}是數(shù)集上的函數(shù)列, 若對任意的∈都有存在, 那么定義了一個數(shù)集上的函數(shù), 把()叫做{f()}的積。

文獻[4]討論了無窮小量的積與和, 本文將通過一些具體的例子來討論無窮(可列)個無窮小量的積與和。先討論積的情形。

實際上, 如果把上面的{f()}改為(= 1, 2,…), 這里為任意一個實數(shù), 那么類似地可得, 也就是說無窮個無窮小量的積可以是任意實數(shù)。

如果把上面的{f()}改為(= 1, 2,…),這里為任意一個實數(shù), 則當→0+時,f()→0,= 1, 2,…對任意的0> 0, 令0= [1/0] + 1, 則1/0<0≤ 1/(0-1), 類似地可得, 所以。

下面的例2將說明無窮(可列)個無窮小量的積可以是無窮大量。

上面的2個例子是關(guān)于積的情形, 下面舉2個反例來說明和的情形也不成立。

同樣地, 無窮(可列)個無窮小量的和可以是無窮大量, 下面舉1個例子說明。

參考文獻：

[1] 歐陽光中. 數(shù)學分析[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社, 2008: 70–73.

[2] 華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2001: 61–66.

[3] Rudin W. Principles of Matnematical Analysis [M]. 3rd Edition. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2004: 83–98.

[4] 孟健, 趙遷貴. 關(guān)于無窮小量乘積的討論[J]. 數(shù)學的實踐與認識, 2002, 32(3): 517–518.

(責任編校: 江河)

The product and sum of infinite infinitesimals

Liu Jinwang, Guan Jiancheng, Wang Weibing, Zhou Feiyue, Yuan Zihan

(School of Mathematics and Computational Science, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

For two examples of in either of which there are infinite infinitesimals whose product are not an infinitesimal, and two other examples in either of which there are infinite infinitesimals whose sum are not an infinitesimal, it is obtained that the product (sum) of infinite infinitesimals is not necessarily an infinitesimal.

function; series of functions; infinitesimals

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.001

O 15

1672–6146(2015)02–0001–02

劉金旺, jwliu64@aliyun.com。

2014–10–30

湖南省研究生科研創(chuàng)新項目(CX2014B418)。