胡建軍

數(shù)學(xué)教學(xué)很大程度上歸結(jié)為數(shù)學(xué)解題，立體幾何特別利用幾何法對(duì)于訓(xùn)練學(xué)生的空間位置和數(shù)量關(guān)系的，在初中平面幾何的基礎(chǔ)上有了更高的思維。所謂幾何法：就是從條件出發(fā)，以定義、公理、定理為依據(jù)，通過輔助構(gòu)圖和推理，計(jì)算解決。它需要一定的空間想象力和邏輯思維能力。當(dāng)然平面幾何的知識(shí)是離不開的基礎(chǔ)。說是立體幾何，研究是空間的，但始終要轉(zhuǎn)化為平面的。能否添加合適的輔助線和進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化是解決該題的關(guān)鍵。

如何有效、高效地突破和搞定立幾這個(gè)高考必考的大題？當(dāng)然一方面需要學(xué)生能對(duì)這個(gè)空間幾何體的直觀認(rèn)識(shí)看到位，另一方面筆者從大量的題解中總結(jié)出以下四點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)。相信對(duì)讀者解決立體幾何的困惑受益匪淺。

一、立體幾何的解題策略

1.底面平面化（研究的圖形，如三角形、四邊形，拎出來平面化）

根據(jù)立體圖形的直觀圖斜二測(cè)畫法，水平放置的平面圖形跟實(shí)際有較大差異，要認(rèn)識(shí)幾何體，首先要認(rèn)清底面的平面圖，所以在認(rèn)識(shí)該幾何體之前，先畫出底面的原形（底面俯視圖），在有關(guān)數(shù)量（長(zhǎng)度）和位置（角度）的計(jì)算時(shí)亦如此，否則很多時(shí)候?qū)W生會(huì)看“走眼”。

例1.如圖1，PO⊥平行四邊形ABCD，AC，BD交于點(diǎn)O，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO=2，M為PD的中點(diǎn)。

（1）求MA與面ABCD所成角的正切值；

（2）求二面角P-AD-C的平面角的余弦值。

2.有中點(diǎn)用好中位線、有等腰三角形用好三線合一

例3.圖7，四棱錐P-ABCD，ABCD是平行四邊形，PE：ED=2：1，在棱PC上確定一點(diǎn)F，使得BF∥面AEC。

分析：我們常用線線平行來判定線面平行，怎樣在面ACE內(nèi)找一條與BF平行？若過BF的面交面ACE與OM（圖7），則應(yīng)有OM∥BF，由三角形的中位線知M為DF的中點(diǎn)，由策略1把研究的平面PCD拎出來（圖8），由平面幾何及三角形中位線不難可得F為PC的中點(diǎn)；當(dāng)然我們也常用面面平行得到線面平行，若過BF的面BFN∥面ACE，則應(yīng)有BN∥OE，F(xiàn)N∥CE同樣可得F為PC的中點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：立體幾何中的研究關(guān)系，歸根結(jié)底轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，而在有關(guān)平行的問題當(dāng)中，充分利用三角形的中位線及平行線分線段成比例，往往可使有關(guān)圖形一線牽。

3.若有面面垂直，務(wù)必作出線面垂直

立體幾何中最重要的位置關(guān)系是線面垂直，可以說無（垂）線不成題，幾何體中必定會(huì)有面的垂線，或已知、或隱藏、或推證、或求作。而面面垂直的性質(zhì)定理：若兩面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另外一個(gè)平面。給了我們?nèi)绾物@現(xiàn)面的垂線的一個(gè)方法！若兩相交平面垂直于第三個(gè)平面，求證兩相交平面的交線垂直于第三個(gè)平面。必須把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直（在證明時(shí)在一面內(nèi)作交線的垂線），從而通過線線之間的垂直關(guān)系解決相關(guān)問題。

例4.見例2，如圖3，（2）求PB和面PAC所成的角的余弦值；（3）求二面角A-PD-C的平面角的余弦值。

（1）求證：PC⊥面BDE；

（2）若A-PB-C為90°，求PD與面PBC所成的角。

分析：（1）由策略1拎出來△PAC，（圖11）平面幾何知識(shí)可得OE⊥PC，而BD⊥面PAC，∴PC⊥BD，∴PC⊥面BDE。

點(diǎn)評(píng)：存在面面垂直，點(diǎn)向面作垂線轉(zhuǎn)化為點(diǎn)向兩面的交線作垂線，原則上必須給出。

4.問題總是空間的、研究總是平面的

（1）求異面直線PD與BC所成角的余弦值；

（2）求二面角P-AB-C的大??；

點(diǎn)評(píng)：通過庖丁解牛，把平面圖看透，把空間中的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的平面中去，而后無非是初中的三角形或四邊形的平面幾何知識(shí)或解三角形等問題。

二、用好四解套，考題做著笑

（1）求證：MN∥面ABCD；

（2）過點(diǎn)A作AQ⊥PC于Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。

（1）求證：PQ∥BCD；

（2）若二面角C-BM-D的大小為60°，求C-BM-D的大小。

分析：（1）利用線線平行證線面平行，如圖利用中位線等易證 為平行四邊形；（2）由垂線法求作C-BM-D的二面角，作CO⊥BD，OH⊥BM，連接CH，則∠BDC=60°就是C-BM-D的二面角；

（1）求證：DE⊥面ACD；

（2）求二面角B-AD-E的大小.

（2）由垂線法，由B向面ADE作垂線，直觀感知，垂足落在 外面了，但垂足一定在某條特定的線上，圖24把該幾何體“補(bǔ)完整”（把△ACD平移至外面），則作BO⊥A1E，OH⊥AD，連接BH，θ=∠BHO是二面角B-AD-E的平面角，由圖26及解套4不難求得θ=∠BHO=30°.

三、一點(diǎn)感悟

數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。當(dāng)我們碰到一個(gè)新的內(nèi)容時(shí)，總想到用熟悉的題型、知識(shí)點(diǎn)去“套”，這應(yīng)該是基于解出來的基本要求，也正是基于這基本的要求，才能提出新看法，不斷利用舊有的東西解決新問題。充分利用數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯思維優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生在解決問題中逐步體會(huì)某一數(shù)學(xué)內(nèi)容的思維方式，慢慢揭開學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì)，挖掘這一內(nèi)容蘊(yùn)含的思想價(jià)值和處理方式，真正關(guān)注對(duì)問題本質(zhì)的透視，希望這樣的教育教學(xué)研究能成為師生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種常態(tài)。

編輯 薛直艷