高 飛，樊慶宇

(1.阜陽商業(yè)學(xué)校，安徽 阜陽 236018;2. 電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731;3.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽 236037)

1 背景

信息安全有時被稱為計(jì)算機(jī)安全，其主要任務(wù)是防止信息在未經(jīng)授權(quán)的情況下被惡意地使用、披露、修改、閱讀、檢查、記錄或破壞。在多媒體信息傳遞中，人們更傾向于使用圖像，數(shù)字圖像置亂技術(shù)是數(shù)字圖像安全問題中的一個重要課題，它可以在頻域或空域上對圖像進(jìn)行變換——將一幅完整有序的圖像變換成一幅雜亂無章的圖像，即信息隱藏[1]，其目的就是提高加密算法抵抗非法攻擊的能力，從而保護(hù)圖像信息不被攻擊者非法竊取。

人們使用的圖像置亂技術(shù)[2]相當(dāng)多，如Arnold變換，幻方變換，Hilbert 曲線等，其中Arnold 變換方法簡單，易于實(shí)現(xiàn)和理解，在圖像處理中得到了很好的應(yīng)用，包括Arnold 變換圖像置亂技術(shù)和Arnold 變換圖像恢復(fù)技術(shù)，從而實(shí)現(xiàn)了對圖像信息的加密和解密。

2 Arnold 變換與圖像加密

2.1 Arnold 變換的基本原理

Arnold 變換俗稱“貓臉變換[3]”，即將一個N維方塊矩陣按照一定的變換規(guī)則得到一個新的N維方塊矩陣，即一個圖像經(jīng)過變換矩陣變換之后得到另一個新的圖像。

表1 公式變量名的解釋

n 維Arnold 變換[3]為

其中N 為給定的方塊圖像的維數(shù)。對于二維Arnold 變換，其變換矩陣

所以

顯然變換矩陣的行列式與所有非1 正整數(shù)均互素，因此有結(jié)論: 對于任意的N × N 的數(shù)字圖像進(jìn)行Arnold 變換時都具有周期性。對數(shù)字圖像進(jìn)行Arnold 變換時，從感官上可以看出，剛開始時圖像會從清晰變得混亂，但變換到一定次數(shù)時，圖像又從混亂變得清晰直至復(fù)原。

2.2 數(shù)字圖像加密的簡單應(yīng)用

考慮某一具體的灰度圖像，假設(shè)變換矩陣為Z，原始圖像的數(shù)據(jù)矩陣為O，可以運(yùn)用計(jì)算機(jī)對數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行重復(fù)變換，這種重復(fù)過程可在計(jì)算機(jī)中用一個迭代算法完成，即

其中(m，n) 是輸入離散點(diǎn)的位置，迭代次數(shù)f為(0，1，2，…)，可以知道每迭代一次圖像信息( 灰度值)都會伴隨著離散點(diǎn)列的置換進(jìn)行移植，當(dāng)原圖中所有的離散點(diǎn)均被遍歷一遍后就會得到一副新的圖像，這個過程就完成了對圖像的簡單加密。

2.3 置亂度

圖像置亂[4，5]的目的就是使得原有圖像的像素點(diǎn)被打亂，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了對原始圖像信息的加密。圖像置亂度表示原始圖像被打亂的程度，從某種意義上反映著加密的效果。圖像置亂度的評價方法有很多，我們在這里主要使用客觀評價標(biāo)準(zhǔn)[6]，建立一個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型對圖像置亂度進(jìn)行評估。

圖像數(shù)據(jù)矩陣中每個像素點(diǎn)的灰度值與其周圍像素點(diǎn)的值都存在概率統(tǒng)計(jì)中所稱的相關(guān)性。原始圖像各像素點(diǎn)與其周圍像素點(diǎn)的值的差值不大，過渡平穩(wěn)，因此相鄰像素點(diǎn)間的相關(guān)性會比較大，當(dāng)圖像經(jīng)過置亂變換處理后，各像素點(diǎn)的值就會發(fā)生改變，相鄰像素點(diǎn)的值的差值比較大，不具有平穩(wěn)性，因此相關(guān)性就會減小，下面給出N × N的圖像置亂程度表達(dá)式。

其中各個符號所代表的含義如表3所示。

表3 相關(guān)符號解釋

3 算法的實(shí)現(xiàn)案例

3.1 算法流程

數(shù)字圖像置亂加密技術(shù)主要原理是指客戶端借助通信技術(shù)和最基本的硬件設(shè)備對某一原始數(shù)字圖像進(jìn)行加密處理，具體過程如圖l 所示。

圖1 數(shù)字圖像的傳輸過程

為了更清楚的表達(dá)Arnold 變換在圖像加密中的應(yīng)用，相應(yīng)的算法流程序圖已被給出如圖2所示。

該算法功能的具體實(shí)現(xiàn)需借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB 7.0，從圖中可以看出，變換的前提是圖像先進(jìn)行灰度化處理，而變換是程序中最重要的環(huán)節(jié)。因此，為了更好地理解該加密過程，相應(yīng)的基于MATLAB 平臺的算法偽代碼如下。

圖2 Arnold 變換的流程圖

算法的偽代碼:

這里給出128 ×128，256 ×256 的灰度圖像經(jīng)過Arnold 變換得到相應(yīng)的效果圖，如圖3，圖4所示。

圖3128 ×128 數(shù)字圖像的Arnold 變換

圖4256 ×256 數(shù)字圖像的Arnold 變換

從圖3，圖4可以看出數(shù)字圖像經(jīng)過Arnold 變換后，很難用眼睛對其進(jìn)行有效識別，說明Arnold變換對圖像加密具有一定的可行性和有效性。

3.2 Arnold 變換的周期性

灰度圖像進(jìn)行Arnold 變換時具有周期性，下面列出了兩種常見的灰度圖像的Arnold 變換過程如圖5，圖6所示。

圖564 ×64 灰度圖像的Arnold 變換過程

圖632 ×32 灰度圖像的Arnold 變換過程

從圖5可以看出，原始圖像進(jìn)過48 次的變換又恢復(fù)成原始圖像，從圖6也可以看出原始圖像經(jīng)過24 次變換又恢復(fù)成原始圖像，因此可得出結(jié)論:Arnold 變換具有周期性。觀察上面兩種數(shù)字圖像的變換過程易知Arnold 變換的最小周期不會超過該數(shù)字圖像的數(shù)據(jù)矩陣的維數(shù)。Dyson 和Falk 分析了Arnold 變換的周期性，給出的Arnold 變換的周期滿足如下的式子[7]

相關(guān)方塊圖像( N) 與Arnold 變換周期之間的關(guān)系可以被具體給出，如圖7所示。

圖7 Arnold 變換周期與圖像尺寸關(guān)系圖

從圖7可以看出，Arnold 變換周期與圖像尺寸之間并無確定的相關(guān)關(guān)系，但從整體來看隨著圖像尺寸N 的增大，其周期也在增大。

4 Arnold 加密算法的分析

用Arnold 變換對圖像進(jìn)行置亂主要是通過改變圖像的像素位置來實(shí)現(xiàn)擾亂圖像，使得圖像的原始信息被隱藏[8-10]，以此來實(shí)現(xiàn)對圖像的加密。置亂后的圖像雜亂無序沒有規(guī)律，很難用人的眼睛識別。企圖通過反變換算法對圖像進(jìn)行解密是非常困難的，因?yàn)閳D像置亂的方法很多，而每種置亂算法又有許多其他的算法。

置亂度衡量圖像的混亂程度，更具體的可以運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件MATLAB 7.0 對置亂度與Arnold 變換的關(guān)系進(jìn)行仿真模擬，并得到圖8。

圖8 Arnold 變換次數(shù)與置亂程度的關(guān)系

從圖8可以看出置亂度與變換次數(shù)并無明顯的相關(guān)關(guān)系，且置亂度的大小總是處于一定的范圍內(nèi)波動，即0 至0.4 之間，從圖8中也可以間接看出置亂度與變換次數(shù)的關(guān)系具有周期性，這也證明了上文所提到的Arnold 變換具有周期性。

5 結(jié)束語

數(shù)字圖像置亂技術(shù)是一種加密技術(shù)[11-13]，它不僅可以提高網(wǎng)絡(luò)信息傳輸?shù)陌踩?，而且在信息處理的其他領(lǐng)域也有重要的應(yīng)用。若要進(jìn)一步提高Arnold 變換算法的安全性及廣泛性，今后的研究重點(diǎn)應(yīng)放在以下三個方面，一、運(yùn)用Arnold 變換技術(shù)，縮短其恢復(fù)成原始圖像的時間; 二、擴(kuò)展Arnold 變換的圖像適用范圍，使其不僅適用于灰度圖像的變換，也適用于彩色圖像的變換;三、需要提高算法整體時間復(fù)雜度，即使攻擊者知道加密者采用何種變換，使用計(jì)算機(jī)對算法進(jìn)行解密時也需要消耗大量的時間，從而保護(hù)圖像信息。

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