王靜

摘 要：用微積分的方法，討論帶電粒子在勻強(qiáng)電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡得出帶電粒子在勻強(qiáng)電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是螺旋線的結(jié)論，目的是加深帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的理解。

關(guān)鍵詞：電磁場(chǎng)；帶電粒子；螺旋線

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）19-008-01

在一般的大學(xué)物理教材中，對(duì)帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析，都是針對(duì)一些特殊情況進(jìn)行的，并沒(méi)有就帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的更一般情況進(jìn)行全面的分析，本文從帶電粒子在恒定勻強(qiáng)電磁場(chǎng)中所受到的力出發(fā)，用微積分的方法系統(tǒng)地研究其運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，并導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)軌跡方程———螺旋線。

一、帶電粒子在勻強(qiáng)正交電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程分析

和一般情況相同，設(shè)帶電粒子所處電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是相互垂直的。

設(shè)粒子在電磁場(chǎng)的作用下，t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)至空間中的 p（x，y，z）點(diǎn)，且粒子在該點(diǎn)所具有的速度為：

在此過(guò)程中在x軸方向所受到的合外力為： ，則根據(jù)動(dòng)量定理有：

根據(jù)如上的參數(shù)方程，很顯然，帶電粒子在互相垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為螺旋線，軌跡方程為：

二、下面討論幾種特殊情況

根據(jù)以上分析得到的結(jié)果，在一般情況下，帶電粒子在均勻電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可以看成是3個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。 其中在z 軸上是一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)；在xy平面上是一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)和一個(gè)沿x軸的勻速直線運(yùn)動(dòng)。圖2中螺旋曲線是一般情況下帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。

在一些特殊條件下，帶電粒子可能只參與以上3個(gè)運(yùn)動(dòng)中的一到兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，下面我們將分幾種不同的情況進(jìn)行討論。

如果空間電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向互相平行（ = 0），且?guī)щ娏Ｗ拥膞 y 平面上的分速度不為零，則粒子的運(yùn)動(dòng)可以看成是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成，即在z 軸方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)和在x y 平面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示。

1、如果空間電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向互相平行（ =0），且?guī)щ娏Ｗ釉趚 y 平面上的分速度為零，則粒子只有一個(gè)運(yùn)動(dòng)， 即沿z 軸方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

2、如果空間電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向互相垂直（ =0），且?guī)щ娏Ｗ釉趜軸上的分速度為零，則粒子的運(yùn)動(dòng)可以看成是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成，即在x軸方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和在xy 平面上的勻圓周運(yùn)動(dòng)。

3、如果空間電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向互相垂直（ =0），帶電粒子在y軸和z軸上的分速度為零，且在x軸上的分速度為 。則粒子只有一個(gè)運(yùn)動(dòng)，即沿x 軸方向的勻速直線動(dòng)。

運(yùn)動(dòng)的帶電粒子在勻強(qiáng)電磁場(chǎng)中要同時(shí)受到電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力的作用。

由牛頓第二定律得到其運(yùn)動(dòng)基本方程：

通過(guò)解微分方程，可求出x，y，z，分析其運(yùn)動(dòng)軌跡，這樣會(huì)解出一般方程（螺旋線）和特殊方程（勻速直線或勻速圓周運(yùn)動(dòng)等）。

參考文獻(xiàn)：

[1] 賈起民；鄭永令；陳暨耀.電磁學(xué).高等教育出版社.

[2] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社.

[3] 梁燦彬.電磁學(xué).高等教育出版社.

[4] 鄧明成.新編大學(xué)物理學(xué).科學(xué)出版社.