李春麗， 穆 柯

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001)

數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的探索與實(shí)踐

李春麗， 穆 柯

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001)

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的結(jié)合為高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供了一個(gè)新的視角.闡述數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要作用,分析數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容材料的選擇,探索數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的方式,以具體教學(xué)案例展示數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐做法.

數(shù)學(xué)史；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)案例;極限；無(wú)窮級(jí)數(shù)

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,筆者進(jìn)行了如下的探索與嘗試，更新教學(xué)內(nèi)容,利用歷史背景知識(shí)來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣,為學(xué)生創(chuàng)造學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī);介紹數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展歷程,幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想;重現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法的產(chǎn)生過(guò)程與情景,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

1 數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的作用及內(nèi)容材料的選擇

早在19世紀(jì)，西方學(xué)者就意識(shí)到數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的作用.美國(guó)數(shù)學(xué)史家卡約黎(Cajor)提出，一門(mén)學(xué)科的歷史知識(shí),有助于使該學(xué)科更具吸引力,通過(guò)數(shù)學(xué)史的介紹,可以讓學(xué)生體會(huì)到：數(shù)學(xué)并不枯燥呆板,而是一門(mén)不斷發(fā)展的生動(dòng)有趣的學(xué)科.英國(guó)數(shù)學(xué)史家福弗爾(Fauvel)總結(jié)了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的15種理由[1].在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中合理地應(yīng)用數(shù)學(xué)史,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),可以增加學(xué)習(xí)興趣、獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī),可以加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握,可以增強(qiáng)敢于質(zhì)疑、敢于挑戰(zhàn)的勇氣和信心,可以領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值等;對(duì)教師來(lái)說(shuō),可以以史為鑒,有助于預(yù)見(jiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)困難,有助于合理安排課程內(nèi)容順序，有助于合理設(shè)計(jì)教學(xué)方式,為學(xué)生提供探究機(jī)會(huì)等.

數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)能有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué),但在數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選擇上,應(yīng)遵循科學(xué)性、實(shí)用性、趣味性原則，數(shù)學(xué)史內(nèi)容必須是正確的,即不可隨意編造,隨意虛構(gòu),所選擇的數(shù)學(xué)史料對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和能力的提高要有直接幫助,所選的內(nèi)容題材要有趣味性,以達(dá)到寓教于樂(lè)的目的.高等數(shù)學(xué)中,融入的數(shù)學(xué)史料可以是數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展的故事,可以是數(shù)學(xué)對(duì)其他領(lǐng)域發(fā)展的促進(jìn)和影響,也可以是數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)及生平簡(jiǎn)介,但重點(diǎn)應(yīng)該是高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)思想、方法的形成、發(fā)展、完善的歷程,如數(shù)學(xué)思想方法的形成背景及過(guò)程;數(shù)學(xué)家是如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,探索嘗試并解決問(wèn)題的;社會(huì)發(fā)展的需求是如何促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的等.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史的主要目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解,對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法本質(zhì)的認(rèn)識(shí),讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的作用和地位,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

2 數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)案例

數(shù)學(xué)史料融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的方式可以是多樣化的，如講述趣聞?shì)W事可以增加課堂情趣;介紹數(shù)學(xué)悖論、數(shù)學(xué)家的錯(cuò)誤可以培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于質(zhì)疑的精神;介紹知識(shí)專(zhuān)題歷史可以勾畫(huà)知識(shí)發(fā)展概要;講述數(shù)學(xué)家們創(chuàng)新的細(xì)節(jié)可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)方法的理解;重現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用背景,可以提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題的意識(shí)等.下面是數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾個(gè)教學(xué)案例.

2.1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)

美國(guó)數(shù)學(xué)史家與數(shù)學(xué)教育家克萊因認(rèn)為:數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是動(dòng)機(jī)問(wèn)題[2].歷史上數(shù)學(xué)家進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造時(shí)的動(dòng)機(jī)是解決具體問(wèn)題,鑒于此,可以利用數(shù)學(xué)史知識(shí)為學(xué)生提供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)和興趣.在進(jìn)行無(wú)窮級(jí)數(shù)的教學(xué)時(shí),可以用幾個(gè)經(jīng)典問(wèn)題來(lái)引入無(wú)窮級(jí)數(shù)概念.

這樣一來(lái),無(wú)窮級(jí)數(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性概念將不再是無(wú)本之木,無(wú)源之水,學(xué)生也將被這些歷史難題深深吸引,這樣數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)和興趣就有了.

2.2 極限教學(xué)設(shè)計(jì)

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,探索數(shù)學(xué)思想和方法的來(lái)源,揭示數(shù)學(xué)思想和方法的形成、發(fā)展過(guò)程,能幫助學(xué)生更好地理解和掌握這些思想和方法.

在教學(xué)過(guò)程中,為了更好地理解極限概念和掌握極限思想及其應(yīng)用,可以對(duì)極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程,從歷史的角度進(jìn)行詳細(xì)的介紹.首先是極限思想的萌芽階段,從希臘學(xué)者德謨克里特創(chuàng)立的“原子論”[2],到歐多克索斯創(chuàng)立的“窮竭法”,從《莊子·天下篇》中的“一尺之棰”[4]到3世紀(jì)劉徽的割圓術(shù),以及祖沖之計(jì)算圓周率的問(wèn)題中,都蘊(yùn)含著最原始的樸素的極限思想.其次是極限理論的發(fā)展階段,極限思想的進(jìn)一步發(fā)展與微積分的建立緊密相連.17世紀(jì)牛頓和萊布尼茨利用實(shí)無(wú)窮小法創(chuàng)立了微積分,但由于對(duì)無(wú)限思想認(rèn)識(shí)上的不足,在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)了邏輯矛盾,牛頓意識(shí)到極限概念的重要性,并給出了極限的直觀性定義,但這并沒(méi)有解決這一矛盾,特別是貝克萊悖論的提出,使這一矛盾進(jìn)一步激化,引起了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī),數(shù)學(xué)家們不得不考慮微積分理論基礎(chǔ)的建構(gòu)問(wèn)題.再次是柯西給出定量化定義和維爾斯特拉斯給出符號(hào)表達(dá)的數(shù)學(xué)定義的階段[5].

這樣的專(zhuān)題歷史介紹能讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生的實(shí)際背景和過(guò)程,使學(xué)生對(duì)極限思想的本質(zhì)有了更深入的理解,同時(shí)能讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)家們敢于質(zhì)疑、勇于挑戰(zhàn)的精神[6].

2.3 常數(shù)變易法教學(xué)設(shè)計(jì)

在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,不僅應(yīng)傳授知識(shí)和方法,更應(yīng)分析其產(chǎn)生的過(guò)程,應(yīng)把教學(xué)過(guò)程當(dāng)作學(xué)生參與的研究與探索過(guò)程,使學(xué)生不僅掌握前人的研究結(jié)果,又了解結(jié)果產(chǎn)生的過(guò)程,從而加深對(duì)知識(shí)和方法的理解,進(jìn)而掌握科學(xué)的方法論.

常數(shù)變易法是求解非齊次線性微分方程的一種重要方法,它是數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)歷經(jīng)11年才得出的研究成果,但高等數(shù)學(xué)教材僅介紹了他的結(jié)論并沒(méi)有展現(xiàn)探索過(guò)程.我們以常數(shù)變易法求解一階線性微分方程為例,在教材中[7]一階齊次線性微分方程

(1)

(2)

數(shù)學(xué)史不僅講述數(shù)學(xué)悖論、數(shù)學(xué)難題,又能再現(xiàn)數(shù)學(xué)家的研究經(jīng)歷,還揭示數(shù)學(xué)思想和方法的形成、發(fā)展過(guò)程.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,選擇合適的數(shù)學(xué)史料融入教學(xué)過(guò)程,能有效地提高教學(xué)質(zhì)量,但要真正發(fā)揮數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用,關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)史料的選擇以及融入形式要適合于教學(xué),不能脫離教學(xué)甚至是喧賓奪主.這就要求我們教師要掌握豐富的、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)史知識(shí),熟悉數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系,在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出更好、更多的數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)案例.

[1] 吳駿,汪曉勤.國(guó)外數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)研究述評(píng)[J].比較教育研究,2013,35(8):78-82.

[2] M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想:第一冊(cè)[M].張理京,張錦言,江澤涵,譯.上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,2003:211-213.

[3] 朱家生.數(shù)學(xué)史[M].2版.北京:高等教育出版社,2011：18-19.

[4] 張奠宙.關(guān)于數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化[J].高等數(shù)學(xué)研究,2008,11(1):18-22.

[5] 鄧納姆.微積分的歷程——從牛頓到勒貝格[M].李伯民,王軍,張懷勇,譯.北京:人民郵電出版社,2010:198-203.

[6] 汪曉勤.通識(shí)限選課程數(shù)學(xué)文化的教學(xué)實(shí)踐[J].高等理科教育,2012(4):112-115.

[7] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué) [M]. 6版.北京:高等教育出版社,2007:310-314.

Exploration and Practice on Using History of Mathematics in Higher Mathematics Teaching

LI Chunli, MU Ke

(SchoolofMathematicsandStatistics,ZhoukouNormalUniversity,Zhoukou466001,China)

The combination of history of mathematics and mathematics education provides a new perspective for the reform of higher mathematics teaching. First, the teaching role of using history of mathematics in higher mathematics teaching was explained, and then the methods of using history of mathematics in higher mathematics teaching were analyzed. Finally, a few teaching cases of using history of mathematics in higher mathematics teaching were demonstrated.

history of mathematics; higher mathematics; teaching case; limit; infinite series

2015-06-19

河南省教育廳教師教育課程改革研究項(xiàng)目(2013-JSJYYB-080)

李春麗(1983—),女,河南淮陽(yáng)人,周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.04.019

G642

A

1007-0834(2015)04-0068-03