張端金，汪愛(ài)娟

(鄭州大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

基于改進(jìn)的小波核主元分析故障檢測(cè)

張端金，汪愛(ài)娟

(鄭州大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

研究了基于核主元分析的非線性系統(tǒng)故障檢測(cè)問(wèn)題.提出了一種改進(jìn)的小波核主元分析的故障檢測(cè)方法.該方法首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行小波去噪預(yù)處理，然后再利用小波核函數(shù)，將非線性的輸入空間轉(zhuǎn)換到線性特征空間.在特征空間使用主元分析，結(jié)合SPE統(tǒng)計(jì)量和T2統(tǒng)計(jì)量對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行故障檢測(cè).仿真結(jié)果表明：該方法能夠提高故障檢測(cè)性能.

核主元分析；小波核函數(shù)；小波去噪；故障檢測(cè)

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)和科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，設(shè)備的結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜化.系統(tǒng)的安全性和可靠性對(duì)人類社會(huì)產(chǎn)生巨大影響.因而，對(duì)這類系統(tǒng)進(jìn)行故障檢測(cè)設(shè)計(jì)具有重大的現(xiàn)實(shí)意義.

近年來(lái)，多變量過(guò)程控制技術(shù)得到了很大的發(fā)展，取得很多成果.Chan等[1]提出了基于特征值分解的改進(jìn)PCA故障檢測(cè)方法，馬賀賀等[2]利用高階統(tǒng)計(jì)量來(lái)獲取過(guò)程信息，提出了一種新的統(tǒng)計(jì)量核主元分析方法，故障檢測(cè).郭珂[3]提出了一種小波核函數(shù)用于故障檢測(cè)，但是沒(méi)有對(duì)采集數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理.陳亮等[4]采用多項(xiàng)式核函數(shù)對(duì)非線性系統(tǒng)故障進(jìn)行檢測(cè)，對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)先進(jìn)行了小波去噪處理，提高了故障檢測(cè)性能.倪國(guó)文[5]提出了PCA本身就是一種去噪方法，自身實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)預(yù)處理，達(dá)到了很好的檢測(cè)效果.

綜上，文獻(xiàn)中還沒(méi)有用到小波核函數(shù)和小波去噪結(jié)合起來(lái)進(jìn)行故障檢測(cè)的方法.基于此，筆者提出了一種新的非線性故障檢測(cè)方法.利用小波核函數(shù)和小波去噪相結(jié)合的方法進(jìn)行故障檢測(cè).并通過(guò)算例仿真，驗(yàn)證了該方法的有效性.

1 小波分析

采集到的數(shù)據(jù)包含噪聲，直接利用這些受噪聲干擾的數(shù)據(jù)進(jìn)行故障檢測(cè)，必然會(huì)影響故障檢測(cè)的準(zhǔn)確性.因此，在進(jìn)行故障檢測(cè)之前對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理是必要的.

小波變換是時(shí)間和頻率的局部變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息.通過(guò)伸縮和平移運(yùn)算可對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，解決了傅里葉變換不能解決的許多困難問(wèn)題.

2 基于小波核主元分析故障檢測(cè)

小波核主元分析方法在故障檢測(cè)中能夠很好地提取系統(tǒng)中的非線性特征信息，減少重要信息的丟失.因此，該方法可以提高故障檢測(cè)的準(zhǔn)確率，大大減少誤報(bào)和漏報(bào)率，具有很好的非線性故障檢測(cè)能力.

2.1 小波核主元分析

由Scholkopf[6]提出的核主元分析能夠彌補(bǔ)主元分析在處理非線性系統(tǒng)方面的缺陷，很好地捕捉非線性系統(tǒng)的特征信息.

已知采樣數(shù)據(jù)Xn×m=[x1,x2,…,xn](xi∈Rm,i=1,2,…,n)，n為采樣點(diǎn)數(shù)，m為變量個(gè)數(shù).將采樣數(shù)據(jù)通過(guò)非線性變換φ，影射到高維特空間征，再利用主元分析法，結(jié)合SPE統(tǒng)計(jì)量和T2統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行故障檢測(cè).

在特征空間中，假設(shè)φ(xi),i=1,2,…,n已經(jīng)過(guò)中心化處理，采樣協(xié)方差矩陣可以表示為

(1)

通過(guò)確定C的特征向量ν就可以獲得特征空間中的主元.

λν=Cν.

(2)

在λ≠0的條件下，ν的所有解都可以由φ(xi),i=1,2,…,n表示，即

(3)

因此，式(2)可以表示為

λ<φ(xk),ν>=<φ(xk),Cν>.

(4)

由式(3)和式(4)得

(5)

小波函數(shù)如下所示：

(6)

把上式看做一個(gè)母小波，如果x,x′∈Rn，那么小波核函數(shù)為

(7)

具體的證明過(guò)程詳見(jiàn)文獻(xiàn)[2].

定義一個(gè)小波核矩陣K，如下所示：

[K]ij=K(xi,xj)=<φ(xi),φ(xj)>.

(8)

式中：K(xi,xj)是在特征空間中利用核函數(shù)計(jì)算兩個(gè)向量的內(nèi)積.

把式(5)代入式(8)中，可以得到

nλα=Kα.

(9)

其中，α=[α1,α2,…,αn]T，式(9)的求解問(wèn)題和在特征空間中進(jìn)行主元分析是等價(jià)的.

令λ(λ1≥λ2≥…λn)為K的特征值，那么α=[α1,α2,…,αn]T為對(duì)應(yīng)的特征向量.對(duì)特征向量ν進(jìn)行歸一化

<νk,νk>=1.

(10)

由式(3)可得

λk<αk,αk>=1.

(11)

那么任何一個(gè)樣本向量x在特征空間中的第k個(gè)主元計(jì)算為

(12)

在特征空間中進(jìn)行主元分析之前，先對(duì)矩陣K進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，因?yàn)榧僭O(shè)特征空間中數(shù)據(jù)的均值是零，而實(shí)際運(yùn)算用到的是核矩陣K，所以要對(duì)它進(jìn)行如下標(biāo)準(zhǔn)化處理.具體推導(dǎo)過(guò)程詳見(jiàn)文獻(xiàn)[7].

(13)

2.2 故障檢測(cè)

T2統(tǒng)計(jì)量的定義為

T2=[t1,t2,t3…tk]Λ-1[t1,t2,t3…tk]T.

(14)

如果樣本的均值和協(xié)方差分別與建模樣本的均值和協(xié)方差相等，則T2統(tǒng)計(jì)量服從自由度為K的χ2分布.如果給定顯著性水平α，那么T2統(tǒng)計(jì)量的控制限由下式計(jì)算

中國(guó)共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)全國(guó)各族人民經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期斗爭(zhēng)和實(shí)踐中形成的紅色文化，為做好新時(shí)期高校黨建工作與思政工作提供了最好的營(yíng)養(yǎng)劑。大學(xué)是文化傳承與創(chuàng)新的重要陣地。在新的歷史條件下，傳承和創(chuàng)新紅色文化成為高校文化育人的重要著力點(diǎn)，在樹(shù)立大學(xué)生正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀過(guò)程中至關(guān)重要，為培養(yǎng)合格的社會(huì)主義建設(shè)者和可靠的接班人提供強(qiáng)大驅(qū)動(dòng)力。

(15)

如果樣本的協(xié)方差未知，而是通過(guò)建模樣本的協(xié)方差矩陣來(lái)估計(jì)時(shí)，T2統(tǒng)計(jì)量服從自由度為k和n-k的F分布，n是樣本點(diǎn)數(shù).T2統(tǒng)計(jì)量的控制限由下式計(jì)算.

(16)

在正常情況下，T2統(tǒng)計(jì)量的值應(yīng)處于該控制限之內(nèi)，出現(xiàn)故障時(shí)，統(tǒng)計(jì)量會(huì)超出控制限.

SPE統(tǒng)計(jì)量的定義為

(17)

SPE=eeT.

(18)

給定顯著性水平為α，計(jì)算SPE統(tǒng)計(jì)量的控制限為

(19)

對(duì)新的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行故障檢測(cè)時(shí)，建立檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量指標(biāo)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，通過(guò)計(jì)算檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量是否超過(guò)控制限，來(lái)判斷故障是否發(fā)生.

改進(jìn)的算法步驟如下.

(1)采樣得到正常無(wú)故障樣本X，并標(biāo)準(zhǔn)化.然后用db5小波對(duì)X中的每一列數(shù)據(jù)去噪；

(2)選擇小波核函數(shù)做非線性映射，計(jì)算核矩陣K∈Rn×n，Kij=K(xi,xj)=<φ(xi),φ(xj)>，n為采樣點(diǎn)數(shù)；

(6)計(jì)算T2和SPE控制限；

以上步驟是正常無(wú)故障數(shù)據(jù)的建模模型.

(8)計(jì)算新的統(tǒng)計(jì)量，檢測(cè)是否超出控制限.

3 仿真研究

以如下典型的非線性系統(tǒng)[8]為研究對(duì)象.

(20)

其中，e1，e2和e3為服從均值為零，方差為0.01的正態(tài)獨(dú)立噪聲變量，t∈[0.01,2].取400個(gè)無(wú)故障數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)，建立KPCA故障檢測(cè)模型，然后取200個(gè)有故障數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)，在第160個(gè)采樣點(diǎn)引入均值為0.5的偏差故障.本仿真系統(tǒng)采用小波核函數(shù)，kw(x,x′)=(1-(‖x-x′‖2/α))exp(-(‖x-x′‖2/α))，α=45.所得結(jié)果如圖1和圖2所示，結(jié)合SPE和T2統(tǒng)計(jì)量，橫線代表99%的控制限，超出紅線為故障數(shù)據(jù)點(diǎn)，橫線以下為正常數(shù)據(jù)點(diǎn).據(jù)此，能判斷出系統(tǒng)是否發(fā)生故障.

在圖1和圖2中，T2統(tǒng)計(jì)量的仿真圖形變化趨勢(shì)基本一致，在1～159個(gè)采樣點(diǎn)之間均沒(méi)有超出控制限制，代表采樣信號(hào)在主元空間沒(méi)有發(fā)生偏移，160～200個(gè)采樣點(diǎn)之間超出控制限，代表采樣信號(hào)在主元空間發(fā)生了偏移，出現(xiàn)了故障.圖1中，SPE統(tǒng)計(jì)量的仿真圖，1～159是正常數(shù)據(jù)點(diǎn)，但超過(guò)99%控制限的數(shù)據(jù)點(diǎn)有12個(gè)，誤報(bào)率為7.55%.圖2中，SPE統(tǒng)計(jì)量的仿真圖，1～159是正常數(shù)據(jù)點(diǎn)，但超過(guò)99%控制限的數(shù)據(jù)點(diǎn)有2個(gè)，誤報(bào)率為1.26%.圖1采用的是marr小波核，

圖1 小波核主元分析檢測(cè)結(jié)果Fig.1 Detection results of wavelet kernel principal analysis

圖2 改進(jìn)的小波核主元分析檢測(cè)結(jié)果Fig.2 Detection faults of the improved wavelet kernel principal analysis

沒(méi)有進(jìn)行去噪處理.圖2采用的是marr小波核，小波去噪用的是db5小波.核參數(shù)取45.圖1比圖2的誤報(bào)率高，原因是采集到的數(shù)據(jù)包含噪聲，直接利用這些受噪聲干擾的數(shù)據(jù)進(jìn)行故障檢測(cè)，必然會(huì)影響故障檢測(cè)的準(zhǔn)確性.由此可見(jiàn)，采用小波去噪對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，減小了噪聲對(duì)故障檢測(cè)的影響，降低誤報(bào)率，提高檢測(cè)性能.

4 結(jié)論

筆者給出了小波核函數(shù)和小波去噪相結(jié)合的故障檢測(cè)方法.首先，對(duì)采樣數(shù)據(jù)利用小波去噪進(jìn)行預(yù)處理，提高了建立模型的準(zhǔn)確性.然后利用小波核主元分析進(jìn)行故障檢測(cè)，大大提高了故障檢測(cè)率.通過(guò)算例仿真，驗(yàn)證了該方法的有效性.

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Fault Detection Based on Improved Wavelet Kernel Principal Component Analysis

ZHANG Duan-jin, WANG Ai-juan

(School of Information Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

The problem of fault detection for a class of nonlinear systems based on kernel principal component analysis is studied. The improved wavelet kernel principal component analysis is proposed. Firstly, the proposed method is applied to denose the data. Then, the preprocessed data is transformed by wavelet kernel function to map the nonlinear input space into linear characterization space. In the feature space, principal component analysis is applied to detect faults for nonlinear system, in combination with SPE statistic and T2statistic. Simulation results show that the method can improve the fault detection performance.

kernel principal component analysis； wavelet kernel function； wavelet denoising； fault detection

2014-08-07；

2014-11-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61471323)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(14A120004)

張端金(1966-)，男，湖北荊州人，鄭州大學(xué)教授，博士，研究方向?yàn)楣收蠙z測(cè)與估計(jì)，E-mail:djzhang@zzu.edu.cn.

1671-6833(2015)01-0097-04

TP273

A

10.3969/j.issn.1671-6833.2015.01.023