楊明珊，邱志勇，杜曉燕

(1.鄭州大學 信息工程學院, 河南 鄭州 450001; 2.信息工程大學, 河南 鄭州 450001)

對流層波導中電波傳播的拋物方程法及誤差分析

楊明珊1，邱志勇1，杜曉燕2

(1.鄭州大學 信息工程學院, 河南 鄭州 450001; 2.信息工程大學, 河南 鄭州 450001)

對窄角拋物方程推導過程中引入的主要誤差進行分析，建立近似過程產(chǎn)生的誤差與傳播仰角、大氣折射指數(shù)變化的關系，關系式明確了兩因子引入誤差的大小與方程適用范圍.并驗證在對流層大氣折射指數(shù)變化與較小傳播仰角情況下，窄角拋物方程求解的可靠性.最后，運用該算法分別計算標準大氣、蒸發(fā)波導與表面波導中電磁波傳播的損耗值.

對流層波導；拋物方程算法；傳播損耗；誤差

0 引言

我國東南沿海處于對流層波導高發(fā)生地區(qū)，海岸及艦船上運作的雷達系統(tǒng)，通信和偵察等無線設備通常都會受其影響[1].例如，會使雷達產(chǎn)生傳播盲區(qū)、雜波增強等；對通信系統(tǒng)也會產(chǎn)生相當大的干擾，嚴重時會導致通信中斷.因此，針對對流層波導環(huán)境中電磁波傳播特性研究的必要性日趨顯現(xiàn)；此外，開展波導中電波傳播研究還關系到戰(zhàn)場環(huán)境中電磁壓制和反壓制、電波傳播環(huán)境的利用和反利用等問題，具有重大國防和軍事價值.

拋物方程算法是在1987年，由Dockery首次將其運用到對流層電波傳播問題中[2]；二十世紀以來，美國海軍研究小組一直致力于拋物方程模型的應用研究，并完成了基于離散混合傅里葉變換等方法的混合傳輸模型的技術報告[3].而我國對拋物方程法的研究卻起步較晚且多數(shù)集中在水聲領域，最近幾年才逐漸在電磁計算領域得到關注.總體說來，目前國內(nèi)計算電磁學領域?qū)佄锓匠谭ǖ难芯窟€處于基礎理論研究階段.筆者首先由波動方程導出窄角拋物方程，并針對該推導過程引入的近似量進行分析，建立誤差與傳播仰角等因子的關系式，最后仿真分析了波導中電磁波傳播損耗分布情況.

1 波導折射率模型

電磁波傳播過程中，當傳播距離較近時，可以近似認為地表面為平面；若傳播距離大于極限直視距離，就必須探討地球曲率的影響.為了解決這個問題，可以使用球面分層介質(zhì)中的斯奈爾定律得到大氣修正折射指數(shù)[4]

式中：z為海平面以上高度；n(z)為高度z處的大氣折射指數(shù)；ae為地球半徑，修正折射指數(shù)已經(jīng)將地球曲率的影響考慮在內(nèi).進而，可得大氣的修正折射率

(2)

標準大氣的折射率梯度變化為定值，其折射率剖面為斜直線；而蒸發(fā)波導是由于海面水汽蒸發(fā)使得海面上空較小高度范圍內(nèi)的大氣濕度急劇減小而形成的，其修正折射率數(shù)學模型可表示為

M(z)=M(z0) + 0.125(z-z0) -

(3)

式中：z0為海面粗糙度高度；d為蒸發(fā)波導高度，當d為0時，表示標準大氣的折射率模型.

表面波導是由于陸地干暖氣團移動到海面上濕冷氣團上空，形成較大的負折射率梯度，從而構(gòu)成較強陷獲作用的表面波導結(jié)構(gòu)，其射率模型可表示為

(4)

式中：M0為海面粗糙度高度處的修正折射率；c1，c2分別為表面波導基礎層和逆變層的折射率梯度；h1，h2分別為基礎層與逆變層的厚度，當h1為0時，模型表示為不含基礎層的表面波導.

2 窄角拋物方程的導出

在折射指數(shù)為n的各向同性介質(zhì)中，場量ψ滿足Helmholtz方程[5]

(5)

式中：k為波數(shù);n為介質(zhì)的折射指數(shù);對水平方向的電波傳播而言，x表示水平距離，z表示垂直方向高度.該波動方程有以下形式的解

ψ(x,z)=u(x,z)exp(ikx) .

(6)

將式(6)代入方程(5)中，可得

(7)

此處，引入偽微分算子

(8)

(9)

方程(9)有解

(10)

(11)

代入方程(10)中，可以得到標準窄角拋物方程

(12)

這里使用分步傅里葉變換算法求解該拋物方程，其解經(jīng)過變換可得

u(x+Δx,z)=exp[ik(n2-1)Δx/2]·

F-1{exp(-ip2Δx/2k)F[u(x,z)]} .

(13)

式中：Δx表示x方向上的步進；p=ksinα，表示垂直空間波數(shù)；F(*)表示傅里葉正變換；F-1(*)表示傅里葉逆變換；exp(-ip2Δx/2k)表示傳播媒質(zhì)對電波的折射效應，而exp(-ip2Δx/2k)則反映了電波對障礙物的繞射效應[8].拋物方程算法正是基于式(13)逐步計算空間中各點的電波傳播損耗值.

3 誤差分析

窄角拋物方程是由波動方程逐步近似演變而來，其推導過程中，存在近似，所以不可避免地產(chǎn)生誤差.分析誤差產(chǎn)生機理，并且明確因子引起誤差的大小，有助于提高計算結(jié)果的可靠性.

筆者具體對微分算子Q的近似所產(chǎn)生誤差進行分析，由(8)，(11)式中，Q、Q1的表達式，可得兩者的平方差表達式

Eerror=Q12-Q2=

(14)

近似過程產(chǎn)生的誤差并不是恒定的，而是隨著參數(shù)的大小變化而變.通過變換式(14)，建立誤差Eerror與折射指數(shù)變化Δn、傳播仰角α兩因子之間的關系.在電磁波傳播仰角較小的情況下，|μ(u)| ≈ sin2α[9]，大氣折射指數(shù)接近于1，其變化量為Δn，則n=1+Δn，將以上條件與ε表達式代入到誤差表達式中可得

(15)

其相對誤差為

(16)

式中：α為電磁波傳播仰角.

假設Δn分別為0.01,0.05,0.1,0.2，可得絕對誤差、相對誤差與傳播仰角之間的關系圖如圖1所示.

由圖1中可以得出，傳播仰角控制在15°以內(nèi)時，大氣折射指數(shù)變化小于0.1情況下，絕對誤差比較小，在0.02以內(nèi)，相對誤差也控制在1%以內(nèi)，而Δn為到0.2時，絕對誤差增大到0.05左右，相對誤差為4%左右.

圖中曲線趨勢表明，傳播仰角逐步增大，誤差與相對誤差都相應增大，從而對計算結(jié)果產(chǎn)生較大影響，尤其在傳播仰角大于20°以后，誤差增大更為顯著.因此窄角拋物方程不適用于求解傳播仰角較大的電波傳播過程.一般認為，傳播仰角在10°以內(nèi)，使用窄角拋物方程法計算電波傳播損耗能達到足夠精度.

下文討論誤差與折射指數(shù)變化關系，若傳播仰角為5°， 10°， 15°，則誤差與折射指數(shù)變化之間的關系圖為圖2所示.

對流層大氣當折射指數(shù)變化在1.000 25～1.000 4之間，變化量較小.由圖2可知，在3種不同天線發(fā)射仰角情況下，由折射指數(shù)變化Δn引起的絕對誤差都在0.001左右，其相對誤差也控制在0.1%以內(nèi).以上表明折射指數(shù)變化引起的誤差對計算結(jié)果影響較小.

在窄角拋物方程算法計算步長內(nèi)(一般為100 m～1 000 m之間)，折射指數(shù)變化更為細小，可認為恒定不變.所以在窄角拋物方程推導過程中，式(7)假定折射指數(shù)不隨x變化而變，對窄角拋物方程精度的影響可以忽略.

圖1 誤差與傳播仰角關系Fig.1 Error and elevation angle relationship

圖2 誤差與折射指數(shù)關系Fig.2 Relative error and refractive index relationship

4 數(shù)值算例

使用C語言編程，分別計算了標準大氣，蒸發(fā)波導，含基礎層表面波導3種大氣結(jié)構(gòu)的電磁波傳播損耗分布；其中，天線發(fā)射高度在標準大氣與蒸發(fā)波導中為10 m，表面波導和含基礎層表面波導中為15 m，傳播仰角為0°；蒸發(fā)波導高度為20 m；含基礎層表面波導，基礎層高30 m，逆變層高度50 m；電磁波頻率為6 GHz；極化方式為水平極化；波束寬度為0.7；海面相對介電常數(shù)為70；電導率為5 s/m；垂直步長為0.2 m，水平步長為100 m.

圖3～5分別為標準大氣及2種波導類型下，電磁波傳播損耗分布偽色彩圖.

由圖3可知，標準大氣中，電磁波是偏離水平面?zhèn)鞑サ?，傳輸距離有限，在距離發(fā)射源40～60 km處，傳播損耗值就達到了160 dB以上，通信及雷達系統(tǒng)已經(jīng)不能正常使用；圖4顯示蒸發(fā)波導對電磁波出現(xiàn)陷獲作用，計算條件下，波導內(nèi)傳播衰減在100～130 dB之間，衰減值比標準大氣要小.由圖5可知，含基礎層表面波導對電磁波的陷獲作用明顯大于蒸發(fā)波導，同等距離波導內(nèi)傳播衰減也較蒸發(fā)波導小并且出現(xiàn)波動情況.少量電磁波在傳輸過程中，向上傳播角度大于波導最大陷獲角度，所以表面波導上方出現(xiàn)電波透射出波導情況.

圖3 標準大氣Fig.3 Standard atmosphere

圖4 蒸發(fā)波導Fig.4 Evaporation duct

圖5 含基礎層表面波導Fig.5 Including base layer surface duct

2種波導類型均出現(xiàn)波導傳播現(xiàn)象，實際情況中，就有可能實現(xiàn)超視距傳播，將大大利于雷達探測等應用.然而，波導上方的區(qū)域電磁波傳播衰減明顯大于波導內(nèi)區(qū)域，該區(qū)域可能成為作業(yè)雷達的探測盲區(qū).

5 結(jié)論

為了求解海平面上空電磁波傳播損耗情況，將波動方程經(jīng)過近似，演變成窄角拋物方程；筆者分析了窄角拋物方程推導過程中Q算子引入的誤差，并建立了誤差與傳播仰角、大氣折射指數(shù)變化的關系式.結(jié)果表明，算子Q通過泰勒近似所推出的窄角拋物方程只適用于傳播仰角在10°以內(nèi)的情況，而求解過程中，水平方向折射指數(shù)的變化引起的誤差可以忽略，即可近似認為x方向上，折射指數(shù)為恒定值.

拋物方程算法是目前求解對流層波導中電磁波傳播問題的最主要工具，如何更為準確地求解出電磁波傳播衰減值一直是研究人員所探索的問題，此過程中除了建立準確的對流層波導傳輸模型外，減小拋物方程求解過程中可控輸入因子引入的誤差，以提高解的準確性也是必不可少的.

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Troposphere Radio Waves Propagation in Duct of Parabolic Equation Method and Error Analysis

YANG Ming-shan1， QIU Zhi-yong1， DU Xiao-Yan2

(1.School of Information Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China; 2.Information Engineering University, Zhengzhou 450002, China)

The main error which is introduced in the process of the Narrow-angle parabolic equation derivation is analyzed. Then,the relationship between the approximation error and propagation elevation and atmospheric refraction index changes is established. The established expression ascertains the value of the error brought by the two operators and verifies the reliability of the derivation of narrow-angle parabolic equation in the condition of small changes of propagation elevation and atmospheric refraction index. Finally, the loss values of electromagnetic wave propagation in standard atmosphere, evaporation duct and surface duct are calculated.

troposphere duct；parabolic equation；propagation loss；error

2014-09-22；

2014-11-19

河南省科技廳資助項目(112300410055)

楊明珊(1968-)，女，江西南昌人，鄭州大學教授，博士，主要從事電磁波傳播，材料的電磁性能方面研究,E-mail:qiuzhi158371@163.com.

1671-6833(2015)01-0101-05

TN011

A

10.3969/j.issn.1671-6833.2015.01.024