陳偉偉

CHEN Weiwei

(溫州設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司，浙江 溫州325000)

為控制高層建筑的整體穩(wěn)定性和重力二階效應(yīng)，我國《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程(JGJ 3—2010)》(以下簡稱高規(guī))對(duì)彎曲型和彎剪型高層的剛重比提出了要求，即式(1)和式(2)。

式中:EJd—一個(gè)主軸方向結(jié)構(gòu)彈性等效抗側(cè)剛度;

Gi—各樓層的重力荷載設(shè)計(jì)值;

H—結(jié)構(gòu)總高度;

n—樓層數(shù)。

當(dāng)滿足式(1)時(shí)，認(rèn)為結(jié)構(gòu)按彈性剛度計(jì)算的P-Δ 效應(yīng)內(nèi)力、位移的增量控制在5% 左右，如考慮實(shí)際剛度50% 的折減，則內(nèi)力增量控制在10% 以內(nèi)。重力二階效應(yīng)的影響相對(duì)較小，可忽略不計(jì)。當(dāng)滿足式(2)而不滿足式(1)時(shí)，則按彈性剛度計(jì)算的P-Δ 效應(yīng)內(nèi)力、位移的增量控制在5%～10%，考慮實(shí)際剛度的折減，則內(nèi)力增量約為10%～20%［1-2］。

高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)總體上可視為長細(xì)比3～9 的懸臂桿，由文獻(xiàn)［2］可知，公式(1)、(2)建立在質(zhì)量沿樓層均勻分布的基礎(chǔ)上，即各樓層質(zhì)量和層高均相等。而實(shí)際工程絕大多數(shù)不滿足該假定。本文對(duì)質(zhì)量沿豎向分布不均勻時(shí)的剛重比公式作一些探討和改進(jìn)，得出一些可供參考的結(jié)論。

1 控制二階效應(yīng)的剛重比限值

高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算的力學(xué)模型簡化為沿高度受多個(gè)集中荷載的中等長細(xì)比的懸臂柱，其精確解析解的獲得是非常困難的。比較實(shí)用的方法是采用某種等效方法將不同位置的軸向荷載換算為懸臂柱頂部的荷載，進(jìn)而求得臨界荷載的近似值［3］。文獻(xiàn)［3］介紹了懸臂柱受單個(gè)軸向荷載作用時(shí)，分別按臨界荷載比值關(guān)系換算(由蘇聯(lián)學(xué)者卡羅波夫提出［3］，以下簡稱“卡氏法”)和按側(cè)向位移相等換算(以下簡稱“側(cè)移等效方法”)得出的懸臂柱頂部等效荷載。

1.1 考慮質(zhì)量豎向不均勻分布時(shí)的剛重比公式的推導(dǎo)

高H 的懸臂柱，柱頂受單個(gè)集中荷載PH(圖1)，其歐拉臨界荷載PHcr為:

圖1 懸臂柱受單個(gè)集中力

圖2 懸臂柱受多個(gè)集中力

作為一種近似，當(dāng)懸臂柱受多個(gè)集中力時(shí)(圖2)，將所有Pi乘以換算折減系數(shù)βi后移到柱頂，則總的柱頂?shù)刃Ш奢d近似為令

即β 為總的換算折減系數(shù)，則

由式(3)、(6)可得，

令

則式(9)即為以EI/H2為單位的的臨界荷載。由文獻(xiàn)［2］可知，考慮P-Δ 效應(yīng)后的位移

式中Δ*和Δ 分別為考慮P-Δ 效應(yīng)和不考慮P-Δ 效應(yīng)的結(jié)構(gòu)側(cè)向位移;

將式(9)代入式(10)，可得

按文獻(xiàn)［2］，當(dāng)考慮P-Δ 效應(yīng)后控制彈性位移放大系數(shù)為C1，即Δ*≤C1Δ;

將式(8)代入式(14)得，

當(dāng)考慮P-Δ 效應(yīng)后控制彈性位移增量在5%(C1= 1.05)或10%(C1= 1.10)以內(nèi)時(shí)，有

式(15)、(16)即考慮質(zhì)量沿豎向不均勻分布時(shí)的剛重比限值計(jì)算公式。通過計(jì)算結(jié)構(gòu)的總重量質(zhì)量分布β 及等效側(cè)向剛度EJd就可以計(jì)算出剛重比及其限值，從而得到關(guān)于P-Δ 效應(yīng)的判斷，這就是規(guī)范的思路?？梢钥闯觯瑒傊乇认拗抵苯优c換算折減系數(shù)β 成正比。

1.2 β 值的計(jì)算

對(duì)卡氏方法［3］，

對(duì)側(cè)移等效方法［3］，

其中，

β 考慮了質(zhì)量沿豎向的分布情況。對(duì)質(zhì)量沿樓層均勻分布的高層建筑，當(dāng)采用卡氏等效法時(shí)，

將β = 1/3 代入式(15)、(16)，可得:k ≥1.486(彈性位移增量≤10%)和k ≥2.837(彈性位移增量≤5%)。

按側(cè)移等效方法可以得到β = 0.314，代入式(15)、(16)可得:k ≥1.400(彈性位移增量≤10%)和k ≥2.672(彈性位移增量≤5%)。

此即高規(guī)公式(1)、(2)，高規(guī)取k ≥1.4(或2.7)。

但是當(dāng)質(zhì)量沿樓層分布不均勻時(shí)，β 的值將與1/3 或0.314 相差較大。在某些情況下，若仍采用式(1)、(2)判斷P-Δ 效應(yīng)的影響范圍，將使設(shè)計(jì)偏于不安全。下面以兩個(gè)算例加以說明。

2 算例

2.1 算例一

一棟20 層的建筑(理想化為受20 個(gè)集中力的等截面均質(zhì)懸臂柱)，質(zhì)量分布上小下大，假設(shè)成1.05 的等差數(shù)列，則由卡氏方法、側(cè)移等效方法分別計(jì)算其臨界荷載，并給出有限元特征值屈曲分析結(jié)果作為對(duì)比(表1)，側(cè)移等效方法部分細(xì)節(jié)見表2。

注:(1)有限元特征值屈曲分析的β 是根據(jù)臨界荷載系數(shù)反算的，為保證計(jì)算精度，每個(gè)柱單元細(xì)分為三段［5］;(2)臨界荷載系數(shù)× 即為表2、表4 中臨界荷載因子P;(3)誤差均相對(duì)有限元解而言。下同。

表2 側(cè)移等效法例1 臨界荷載系數(shù)計(jì)算細(xì)節(jié)

2.2 算例二

仍是一幢20 層的建筑，質(zhì)量分布上大下小，假設(shè)質(zhì)量比為1.05 的等差數(shù)列，則計(jì)算結(jié)果見表3，卡氏方法和側(cè)移等效方法部分細(xì)節(jié)見表4。

表3 例2 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表4 側(cè)移等效法例2 臨界荷載系數(shù)計(jì)算細(xì)節(jié)

2.3 算例三

等截面直桿在自重作用下的臨界荷載見圖3。

圖3 自重作用下的等截面懸臂桿

精確解［6］:

由側(cè)移等效方法的推導(dǎo)如下:

由式(18)、(23)，可知

對(duì)式(26)積分并代入邊界條件ξ(0)=0 可得，

將式(27)代入式(21)可得:

即β = 0.3135，將β 值代入式(8)、(9)可得:

結(jié)果對(duì)比見表5。

表5 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

由表1、表3 可見，對(duì)于質(zhì)量分布為上小下大的結(jié)構(gòu)(金字塔型，如上海中心［4］)，其臨界荷載系數(shù)較高，而換算折減系數(shù)β 較小(小于0.314)。對(duì)于質(zhì)量分布為上大下小的結(jié)構(gòu)(倒金字塔型)，其臨界荷載系數(shù)較小，換算折減系數(shù)β 較大(大于0.314)，若仍采用式(1)、(2)判斷P-Δ 效應(yīng)的影響范圍則偏于不安全。由表1～5 可見，卡氏方法在質(zhì)量均勻分布時(shí)，誤差為5.58%，當(dāng)質(zhì)量集中在上部樓層時(shí)誤差小于該值，當(dāng)質(zhì)量集中在下部樓層時(shí)，誤差大于該值;而側(cè)移等效方法則具有相對(duì)較高的精度(均是與有限元屈曲分析結(jié)果比較，基本均在5% 以內(nèi))，并且實(shí)際工程一般情況下質(zhì)量集中在下部，也就是卡氏方法的誤差總是大于5.58% 的，所以推薦使用側(cè)移等效方法。

3 特征值屈曲穩(wěn)定系數(shù)與剛重比

將式(3)代入，可得

代入式(10)、(12)可得

由式(31)、(32)可見，λ 與二階效應(yīng)位移放大系數(shù)直接相關(guān)，是控制二階P-Δ 效應(yīng)更直接的參數(shù)(由文獻(xiàn)［2］知其對(duì)側(cè)向變形為剪切型的結(jié)構(gòu)也是成立的)。

上海中心在1.0 恒載+1.0 活載下的第1、2 階屈曲系數(shù)為14.35 和14.79［4］，其在1.2 恒載+ 0.6活載下的屈曲系數(shù)近似估算(根據(jù)恒載活載比例按總荷載相等近似)為12.96 和13.35，代入式(31)，其二階效應(yīng)放大系數(shù)為1.084 和1.081，即位移增幅約為8.0%，與其計(jì)算符合。

由特征值屈曲穩(wěn)定系數(shù)λ 可以反算剛重比進(jìn)行復(fù)核。由式(30)可以得到

對(duì)于實(shí)際工程，可以通過特征值屈曲分析得到穩(wěn)定系數(shù)λ，再通過實(shí)際工程的Pi分布和Hi分布計(jì)算得到臨界荷載系數(shù)a 值，進(jìn)而可以復(fù)核剛重比k。值得注意的是，由于高規(guī)規(guī)定的剛重比驗(yàn)算重力荷載設(shè)計(jì)值采用了1.2 恒+ 1.4 活的組合，因此由式(33)復(fù)核剛重比，計(jì)算穩(wěn)定系數(shù)λ 時(shí)，應(yīng)采用同樣的重力荷載設(shè)計(jì)值。

對(duì)上海中心［4］而言，β = 0.25，代入式(8)得a = 9.870，1.2 恒載+1.4 活載下的屈曲系數(shù)近似估算(方法同前)為11.66 和12.02，代入式(33)得X 向 kx= 11.66/9.870 = 1.18，Y 向 ky=12.02/9.87 =1.22，

將β = 0.25 代入式(15)、(16)可得:k ≥1.115(彈性位移增量≤10%)和k ≥2.128(彈性位移增量≤5%)。

kx和ky均大于1.115，與原文結(jié)果符合。

4 結(jié)語

(1)通過對(duì)沿高度受多個(gè)集中荷載的中等長細(xì)比的懸臂柱臨界荷載的推導(dǎo)，引入質(zhì)量分布換算折減系數(shù)β，對(duì)高規(guī)式(5.4.1 -1)和(5.4.4 -1)進(jìn)行了推廣，即式(15)、(16)，使之適用范圍更廣;同時(shí)對(duì)β 值兩種計(jì)算方法的精度進(jìn)行了對(duì)比分析，側(cè)移等效方法計(jì)算的β 值具有更高的精度。

(2)控制高層建筑線性P-Δ 二階效應(yīng)更直接的參數(shù)是特征值屈曲穩(wěn)定系數(shù)λ，λ ≥11 時(shí)，二階效應(yīng)位移增量不大于10%，λ ≥21 時(shí)，二階效應(yīng)位移增量不大于5%。由于高規(guī)規(guī)定的剛重比驗(yàn)算重力荷載設(shè)計(jì)值采用了1.2 恒+1.4 活的組合，所以為復(fù)核剛重比及二階效應(yīng)增量，而驗(yàn)算特征值屈曲穩(wěn)定系數(shù)時(shí)，應(yīng)采用同樣的組合。特征值屈曲穩(wěn)定系數(shù)λ 可以與剛重比互相校核。

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