☉江蘇省鹽城中學教育集團 雍亞波

運算更高效，題型更豐富，思考更深入
——以“乘法公式的再認識”習題課教學為例

☉江蘇省鹽城中學教育集團 雍亞波

最近有機會在一次教學研討活動中執(zhí)教“乘法公式”的習題課，幾經(jīng)磨課，對乘法公式理解也漸趨深刻，本文記錄該課的教學流程，并闡釋相關教學立意，與更多同行分享教研心得．

一、“乘法公式”習題課教學流程

環(huán)節(jié)（一）：運算與分解，感受相反變形

例1計算：

（1）（2x＋3）（2x－3）；（2）y（x＋2）（x－2）；（3）（m－2n）（2nm）；（4）（x＋y－4）2．

例2因式分解：

（1）4m2－9；（2）a2b－4b；（3）－a2＋4ab－4b2；（4）（m＋n）2－8（m＋n）＋16．

設計意圖：這兩組例題各4個小題，每個小題都嚴格“對應”，引導學生解后感受到它們是相反變形的過程．對例1中的（4）可追問不同的解法，包括直接打開成9項再合并，以及重組后連續(xù)運用完全平方公式．對于例2中的（4），還可變式為因式分解m2＋2mn＋n2－8m－8n＋16，借此變式滲透分組分解法．

環(huán)節(jié)（二）：公式妙變形，突破求值問題

例3求值題.

（1）已知a＋b＝5，a－b＝3，分別求a2－b2、a2＋b2、ab的值；

（2）已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值；

（3）已知（a＋b）2＝25，（a－b）2＝9，分別求a2＋b2、ab的值；

（4）已知正實數(shù)a、b滿足a2＋2ab＋b2－25＝0和a2－2ab＋b2－9＝0，分別求a＋b、a－b的值．

設計意圖：前兩問是變形求值問題，教材上多有類似問題，起到復習鞏固作用；（3）（4）是一種很好的對應關系，（4）需要學生對完全平方式識別后，再轉化為（3）中的條件，再開方求解，要注意正負值的取舍．教學時，（4）通過PPT由（3）變式出來，這樣學生可以尋找到轉化的路徑．

環(huán)節(jié)（三）：公式正反用，解決不同題型

題型1：解不等式（2x－5）2＋（3x＋1）2＞13（x2－10）.

題型3：解方程：（1）x2－2＝0；（2）5x2－3＝0．

題型4：求證：當n是整數(shù)時，兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（2n＋1）2－（2n－1）2是8的倍數(shù)．

設計意圖：題型1、題型2分別對應著教材上的原題.題型3則改編自一類“在實數(shù)內(nèi)分解因式：（1）x2－2；（2）5x2－3”.題型4也是教材上的原型問題，對此題還可做出如下改編.

改編題：a、b為正整數(shù)，設M＝2a＋1，N＝2b－1．

（1）當a＝b時，

①求證：M＋N一定能被4整除；

②若M2－N2能被正整數(shù)m整除，試分析正整數(shù)m的最大值．

（2）當a＋b＝5時，M·N有最大值嗎？如果有，求出該最大值；如果沒有，請說明理由．

改編意圖：通過包裝改編，將問題隱藏起來，有效考查了學生識別奇數(shù)、乘法公式展開運算；對于（2），不少學生可能會用“窮舉法”列舉出a、b的四種組合，然后求出最大值.然而走配成完全平方的路徑，并進一步借助非負數(shù)的性質求值的技能，對應著后續(xù)學生將會接觸到的二次函數(shù)與最值問題，也就是我們把條件改成“當a＋b＝2016時，……”窮舉法就“失效”了．

環(huán)節(jié)（四）：公式大家族，鏈接數(shù)學史話

1.梳理教材上出現(xiàn)的一些“乘法公式”

學生查找教材例、習題，歸納一些乘法公式.

平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2.

完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（a－b）2＝a2－2ab＋b2.

乘法公式3（立方和公式）：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3.

乘法公式4（立方差公式）：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝a3－b3.

乘法公式5：（x＋m）（x＋n）＝x2＋（m＋n）x＋mn.

乘法公式6：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.

……

設計意圖：前兩個公式是教材中以“黑體字”明確出來的乘法公式，而乘法公式3～6只是在教材例、習題中滲透過，由于種種原因，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在初中課程內(nèi)容中并不作要求，所以教材上只得將上述公式隱藏在“題”中，教師在教學過程中可以根據(jù)學情靈活處理，一般來說，課標是底線，但上不封頂，對數(shù)學適應性特別優(yōu)秀的學生來說，應該明確上述乘法公式，幫助學生認識所謂多項式乘以多項式有很多特殊形式，并不僅僅只是兩個乘法公式，乘法公式其實是一個大家族．

2.其他“乘法公式”的簡單應用

應用1：對于乘法公式5，可以逆用如下：

x2＋5x＋6＝x2＋（3＋2）x＋3×2＝（x＋3）（x＋2）；

x2－5x－6＝x2＋（－6＋1）x＋（－6）×1＝（x－6）（x＋1）．

請仿照上述方法，把下列多項式分解因式：

（1）x2－8x＋7；（2）x2＋7x－18．

應用2：回看例3（2），已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值.

變式：已知a＋b＝5，ab＝3，求a3＋b3的值．

變式意圖：體現(xiàn)之前“求a2＋b2的值”的作用，并在此基礎上，求出a2-ab＋b2的值，再求（a＋b）（a2-ab＋b2）就可根據(jù)立方和公式得出a3＋b3的值．

3.引出“楊輝三角”

過渡：思考了（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，接下來思考該如何展開（a＋b）3，應用多項式與多項式相乘展開后有無特別之處呢？如果學生嫌煩瑣，則可以順便推介數(shù)學史話“楊輝三角”（PPT簡介即可）．

理解：你能利用“楊輝三角”寫出（a＋b）6的展開式嗎？

挑戰(zhàn)：（1－2x）3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3，那么a1＋a2＋a3＝_________.

思路：可以使用特殊值法，易知a0＝1，令x＝1，則（1－2x）3＝－1，a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＝1＋a1＋a2＋a3，則a1＋a2＋a3＝－2．重要的是這種思路很快得到推廣，請看下題.

（1989年高考試題）（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7＝_________.

理解上述解題思路之后，還可進一步變式.

（1－2x）2015＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2015x2015，那么a1＋a2＋…＋a2015＝_________.

附：教學流程圖

二、教學立意的進一步闡釋

這是一節(jié)習題課，旨在引導學生全面認識乘法公式在整式乘法、因式分解中的作用，豐富學生靈活運用乘法公式解題的經(jīng)驗，上面梳理了教學流程與操作建議，以下再就本課的相關教學立意給出進一步的闡釋．

1.運算教學除了嚴守法則，還需要追求運算更加高效

運算教學是初中教學的重點，就本課所關注的乘法公式的熟練程度，關乎后續(xù)一元二次方程、二次函數(shù)的學習，除了要求學生嚴守運算法則，在確保準確之后，還需要追求運算速度，使得運算更加高效．而這正是各種乘法公式的真正價值．解題教學中，要注意引導學生感受運用乘法公式提高解題效率，讓一些習慣于展開多項式乘多項式的學生，認識到乘法公式的優(yōu)勢，逐步擺脫思維定勢，接受并學會使用乘法公式．

2.乘法公式題型豐富多樣，引導學生透過現(xiàn)象看本質

單就乘法公式展開或分解來說，似乎很簡單，然而涉及乘法公式的題型卻是豐富多樣的，很多表面上看似風馬牛不相及的數(shù)學試題，本質上卻與對乘法公式是否熟悉、是否能正反變形有關．正是基于上述認識，我們從教材上的例、習題中梳理出一些常見題型，如“環(huán)節(jié)（二）”“環(huán)節(jié)（三）”中的求值問題、解方程、不等式、求證題等，目的是讓學生透過題型看解題的本質，它們雖然外表不同，但本質上都與乘法公式有關．

3.鏈接講解乘法公式史話，促進學生思考得更加深入

完全平方公式只是“二項式定理”的一個特例，牛頓以二項式定理為基石發(fā)明了微積分．更值得我們自豪的是，早在《詳解九章算法》（公元1261年）中，南宋數(shù)學家楊輝就指出了“楊輝三角”，這是一個又簡單又復雜的概念，學生在小學課本中就見過，然而沒有多少人真正理解它．所以作為初中階段的完全平方式的有效拓廣，應該推介“楊輝三角”，這既體現(xiàn)了數(shù)學由特殊向一般的研究取向，又讓學生感受到中國古代數(shù)學的輝煌成就．這事實上也就是上面課例中最后一個教學環(huán)節(jié)的立意所在．

1.鐘啟泉．新舊教學的分水嶺［J］．基礎教育課程（上），2014（2）.

2.章建躍．構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］．數(shù)學通報，2013（6）．

3.劉東升．關聯(lián)性：一個值得重視的研究領域［J］．中學數(shù)學（下），2013（12）.

4.季衛(wèi)東．變式取向：從“標準模式”到“非標準模式”——以“軸對稱最值問題”解題教學為例［J］．中學數(shù)學（下），2014（3）.Z