☉甘肅省天水市第七中學(xué) 吳俊杰

對(duì)一道無刻度直尺作圖問題反例的商榷和解題思路探究

☉甘肅省天水市第七中學(xué) 吳俊杰

2014年天津市中考數(shù)學(xué)中18題第二問比較新穎，具有一定難度，做過該題的教師、學(xué)生多感覺無從下手，不僅難以找到解題思路，也難以理解參考答案中的解答是如何想到的.文1、2撰文深入分析探討了這一問題，文3對(duì)文1中的方法2是否適用于任意三角形進(jìn)行了深入思考，給出了一個(gè)反例.經(jīng)反復(fù)思考，筆者認(rèn)為文3的結(jié)論下的有些武斷.本文擬結(jié)合王華、朱玉祥兩位老師的探究，介紹兩種易于理解和操作的解法，并對(duì)王云峰老師文3的反例談?wù)勛约旱纳倘兑庖?

一、題目呈現(xiàn)和相關(guān)文獻(xiàn)

如圖1，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C均落在格點(diǎn)上.

（1）AC2+BC2的值等于_________；

（2）請(qǐng)?jiān)趫D1所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個(gè)以AB為一邊的矩形，使該矩形的面積等于AC2+BC2，并簡(jiǎn)要說明畫圖方法（不要求證明）.

圖1

圖2

（2）如圖2，分別以AC、BC、AB為一邊作正方形ACED、正方形BCNM、正方形ABHF，延長(zhǎng)DE交MN于點(diǎn)Q，連接QC，平移QC至AG、BP位置，直線GP分別交AF、BH于點(diǎn)T、S，則四邊形ABST即為所求.

王華老師在文1中指出，黃家禮編著的《幾何明珠》一書中記載的古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理就是本題的知識(shí)背景.筆者認(rèn)為王華老師“解法初探”的思路很不錯(cuò)，可惜思路分析中有部分內(nèi)容語(yǔ)焉不詳，理解起來具有一定的難度，且文章后半段迎合帕普斯所發(fā)現(xiàn)的定理而沒有對(duì)最初想法做深入思考.

朱玉祥老師在文2中指出蘇科版實(shí)驗(yàn)版數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）課本在勾股定理一章后安排有一道思考題：“如圖3，分別以△ABC和△DEF的各邊為一邊向外作正方形，其中兩個(gè)小正方形的面積和等于大正方形的面積嗎？”從而揣測(cè)這正是本題命題的參考素材.使用該教材的地區(qū)的學(xué)生和教師解答此題可能會(huì)多少由此得到一定的解題思路的啟發(fā)，但是對(duì)于使用其他教材的地區(qū)的考生、教師來說，沒有了教材探究的鋪墊，更沒有帕普斯所發(fā)現(xiàn)定理的知識(shí)積累，面對(duì)此題一時(shí)難以找到解題思路也就可以諒解了.

圖3

朱老師通過構(gòu)造“X”型相似三角形給出了一種解答.他注意到所求矩形短邊長(zhǎng)與長(zhǎng)邊長(zhǎng)的比是11∶17，故考慮在正方形AEDB的邊AE和BD上設(shè)法找點(diǎn)M、N，如圖4，使他通過構(gòu)造“X”型相似三角形得到用同樣的方法可以在BD上取點(diǎn)N，使，然后連接MN，則矩形AMNB就為所求的矩形.朱玉祥老師指出，由于方格紙和作圖工具的局限，從點(diǎn)D向右取距離D點(diǎn)3個(gè)單位的點(diǎn)P，可以通過作等腰直角三角形獲得.即先從點(diǎn)D垂直向上取距離D點(diǎn)3個(gè)單位的點(diǎn)，再沿著方格的對(duì)角頂點(diǎn)的方向作45°的斜線，與過D點(diǎn)的水平線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，顯然DP=3，BG=5.5，所以PG與BD的交點(diǎn)就是點(diǎn)N.這是朱老師思路最精彩的地方，但也不無遺憾，一是作圖方法復(fù)雜了點(diǎn)兒，二是圖4中的作圖超出了給定的格點(diǎn)圖的范圍限制.

圖4

圖5

王云峰老師在文3中構(gòu)造了反例，如圖5所給△ABC中，依據(jù)文1中的方法2，分別以AC、BC為邊向外作正方形ACFG和正方形BCHK，發(fā)現(xiàn)邊GF和HK所在的直線相交于點(diǎn)P，但P點(diǎn)不是格點(diǎn).從而給出下面的判斷：“由于點(diǎn)P不是格點(diǎn)，因此線段PC無法利用無刻度的直尺進(jìn)行平移，后續(xù)作圖步驟無法完成，因而不能畫出一個(gè)以AB為邊且面積等于AC2+BC2的矩形.可見，方法2不能適用于任意的△ABC.”顯然這一結(jié)論下的為時(shí)太早，過于武斷.

二、商榷1：文3中的反例能否利用無刻度的直尺作圖

此題從表面上看主要考查應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，但如何借助格點(diǎn)圖分析、思考問題才是問題解決的重點(diǎn).

在文3的反例中，P點(diǎn)不是格點(diǎn)，依據(jù)文1中的方法2“無法直接”平移PC到點(diǎn)A、B，此言不虛.但是如果認(rèn)真分析圖形，通過適當(dāng)?shù)耐评碛?jì)算，可以發(fā)現(xiàn)直線CP經(jīng)過多個(gè)格點(diǎn)，因而筆者考慮，雖然線段PC無法直接利用無刻度的直尺進(jìn)行平移，但是我們可以“分兩步走”實(shí)現(xiàn)線段PC的平移.

圖6

為了便于后文敘述，不妨以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以經(jīng)過點(diǎn)C的水平格線為x軸，鉛直格線為y軸，如圖6所示建立直角坐標(biāo)系，則文3所設(shè)計(jì)的反例中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，-2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1）.依據(jù)文1中的方法2作圖，可以確定以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：G（-5，1）、F（-2，3）、H（1，3）、K（4，2），利用待定系數(shù)法可以求得直線GF的函數(shù)關(guān)系式為直線HK的函數(shù)關(guān)系式為直線GF與直線HK的交點(diǎn)P為，直線CP的函數(shù)關(guān)系式為當(dāng)x=-3時(shí)，y=11，所以直線CP經(jīng)過格點(diǎn)Q（-3，11）.

（1）作平行線.過A、B分別作直線PC的平行線（不妨只作射線）：如圖6，依據(jù)格點(diǎn)圖的特征，只需要在建立了直角坐標(biāo)系的網(wǎng)格圖中找出格點(diǎn)Q2（0，-13）、Q3（6，-12），連接AQ2和BQ3，就有射線AQ2∥PC，射線BQ3∥PC.

（2）截取等長(zhǎng)線段.在射線AQ2和BQ3上分別截出線段AM=PC，BN=PC.因?yàn)镻點(diǎn)不是格點(diǎn)，無法直接使用無刻度的直尺進(jìn)行測(cè)量，也就無法直接截取線段AM和BN使之與PC相等.分析圖形，找到格點(diǎn)R（-1，0），注意到△PRC是直角三角形，因此考慮作出與△PRC全等的三角形，可以利用全等三角形對(duì)應(yīng)線段相等的性質(zhì)在射線AQ2和BQ3上截取AM和BN.

如圖6，在網(wǎng)格中可以找到格點(diǎn)R2和R3，其坐標(biāo)分別為（-2，-2）、（4，-1）.連接AR2，過點(diǎn)R2作出鉛直方向的格線與射線AQ2相交于點(diǎn)M，從而構(gòu)造Rt△MR2A，可以證明△MR2A≌△PRC，所以AM=PC.同理，可以構(gòu)造△NR3B≌△PRC，所以BN=PC.

至此，實(shí)現(xiàn)了無刻度的直尺平移線段的作圖.依據(jù)方法2的后續(xù)步驟，連接MN與AE、BD分別相交于點(diǎn)T、S，四邊形ABST即為所求的矩形，具體證明詳見文1，此處不再贅述.

在上述作圖中，雖然P點(diǎn)不是格點(diǎn)，但是筆者注意到直線CP經(jīng)過格點(diǎn)Q（-3，11），通過尋找到格點(diǎn)Q2（0，-13）、Q3（6，-12）、R2（-2，-2）、R3（4，-1），采?。?）、（2）兩個(gè)步驟分步走的辦法，從而巧妙地解決了無刻度的直尺在文3所構(gòu)造反例中作圖不可能的難點(diǎn).

三、商榷2：文1中的方法2能不能適用于任意△ABC

僅就文3的反例和原中考試題分析文1中的方法2是可行的，依據(jù)本文對(duì)方法2“分步走”的解答分析，可以發(fā)現(xiàn)解決與反例相類似問題時(shí)，能否利用無刻度的直尺作圖的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：（1）在直線CP上能否找到一個(gè)除點(diǎn)C以外的格點(diǎn)Q；（2）能否找到格點(diǎn)R、R2和R3構(gòu)造全等直角三角形.依據(jù)坐標(biāo)的定義可知第二點(diǎn)不是問題解決的難點(diǎn)，真正的難點(diǎn)在于（1）.下面通過研究一個(gè)類似于反例但具有一般性的無刻度的直尺作圖問題，以探究直線CP是否經(jīng)過除點(diǎn)C以外的其他格點(diǎn).

分別以點(diǎn)C所在的橫、縱格線為x軸和y軸建立直角坐標(biāo)系，下面僅僅研究圖7和圖8兩種情況.圖7中點(diǎn)A、B在相鄰的兩個(gè)象限中，圖8中點(diǎn)A、B在相對(duì)的兩個(gè)象限中.