☉江蘇省無(wú)錫市東林中學(xué) 楊 峰

同類問(wèn)題來(lái)相聚，舉一反三思結(jié)構(gòu)
——以“等邊三角形”習(xí)題課教學(xué)為例

☉江蘇省無(wú)錫市東林中學(xué) 楊 峰

幾何解題效率問(wèn)題一直是解題教學(xué)的難點(diǎn)問(wèn)題，很多學(xué)生運(yùn)算速度還不錯(cuò)，然而遇到幾何問(wèn)題時(shí)常常因?yàn)椴荒芴沓瞿硹l輔助線或沒(méi)有想準(zhǔn)一個(gè)突破方向，導(dǎo)致解題時(shí)間很快過(guò)去，從而造成解題遺憾，體現(xiàn)在考試中沒(méi)有發(fā)揮出應(yīng)有水平．本文結(jié)合最后一次等邊三角形的專題復(fù)習(xí)課（習(xí)題課），談?wù)勅绾握硗悊?wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生做一題，會(huì)一類，通一片，從而切實(shí)提高解題效率．

一、教學(xué)流程

圖1

活動(dòng)一：從一個(gè)等邊三角形出發(fā).

問(wèn)題1：如圖1，等邊三角形是一類常見(jiàn)的三角形，圍繞它的試題更是層出不窮，你能設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題嗎？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：充分開(kāi)放，讓學(xué)生在設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單問(wèn)題過(guò)程中復(fù)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)或判定，吸引更多學(xué)生參與，包括一些學(xué)困生也可以設(shè)計(jì)一些特別簡(jiǎn)單的問(wèn)題，鼓勵(lì)他們表達(dá)自己的思考．

圖2

問(wèn)題2：如圖2，有人在邊BC、AC上分別找了一點(diǎn)D、E，使BD＝CE，連接BE、AD交于點(diǎn)F．你能提出哪些問(wèn)題呢？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會(huì)指出△ABD≌△BCE或者△ABE≌△CAD，進(jìn)一步又可以得出一些對(duì)應(yīng)邊相等，如AD＝BE．此在基礎(chǔ)上，給出一個(gè)例題：

例1如圖3，D、E分別為等邊△ABC的邊BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且BD＝CE，連接BE、AD交于點(diǎn)F．

（1）在圖中再找出一組全等三角形，直接寫(xiě)出來(lái)，不必證明；

（2）求∠BFD的度數(shù)；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE，垂足為點(diǎn)H．求證：AF＝2FH.

圖3

教學(xué)預(yù)設(shè)：當(dāng)學(xué)生解好后，提出一種變式拓展的思考，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在CB、AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，直線BE、AD相交于點(diǎn)F，其余條件不變，請(qǐng)畫(huà)出符合要求的圖形，猜想AF與FH的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

圖4

活動(dòng)二“：雙正三角形”的探究.

例2如圖4，點(diǎn)B是線段AD上一點(diǎn)，△ABC，△BDE都是等邊三角形，AE、CD交于點(diǎn)P，AE交直線BC于點(diǎn)M，CD交直線BE于點(diǎn)N．

（1）求證：AE＝CD；

（2）填空：∠APD＝_______°；

（3）求證：△BMN是等邊三角形．

教學(xué)預(yù)設(shè)1：在學(xué)生解出上述問(wèn)題之后，再進(jìn)一步追問(wèn)：有同學(xué)解完上面的問(wèn)題之后，深入思考并提出一個(gè)猜想：四邊形BMPN的對(duì)角竟然互補(bǔ)．你認(rèn)為該命題是____命題（填“真”或“假”）．

教學(xué)預(yù)設(shè)2：還有同學(xué)練習(xí)上述問(wèn)題后，將△BDE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°（如圖5），設(shè)AE、CD交于點(diǎn)P，他經(jīng)過(guò)深入探索后發(fā)現(xiàn)：射線PB平分∠EPC！你能證明他的發(fā)現(xiàn)嗎？（過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CD于點(diǎn)G，BH⊥AE于點(diǎn)H，證△CBG≌△ABH）

圖5

教學(xué)預(yù)設(shè)3：在圖5中，取CD的中點(diǎn)M，AE的中點(diǎn)N，試判斷△BMN的形狀．（等邊三角形）

活動(dòng)三：“雙等腰直角三角形”的探究.

圖6

例3如圖6，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于點(diǎn)M，連接AM．

（1）求證：BE＝CF；

（2）求證：BE⊥CF；

（3）求∠AMC的度數(shù)．

教學(xué)預(yù)設(shè)：有了例2的練習(xí)與講評(píng)，學(xué)生完成例3應(yīng)該不困難，最后一問(wèn)還需要過(guò)點(diǎn)A作BE、FC的垂線段，從而得出MA平分∠BMF．接著給出如下變式：

例3變式：如圖7，正方形ABCD，正方形AEFG，連接BE、DG交于點(diǎn)M，連接AM，你能提出哪些問(wèn)題呢？

教學(xué)預(yù)設(shè)：同學(xué)們應(yīng)該能感受到變式問(wèn)題與例3之間的結(jié)構(gòu)是相同的，從而一系列類似的問(wèn)題就能提出來(lái)了．

圖7

考題鏈接：（2015年江蘇連云港第26題，有刪減）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為的正方形AEFG按圖8位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．

（1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由．

（2）如圖9，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE的長(zhǎng)．

圖8

圖9

活動(dòng)四：你能找到幾個(gè)“正三角形”.

圖10

例4如圖10，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D在一條直線上，點(diǎn)P為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，∠APQ＝60°且交直線CE于點(diǎn)Q，連接AQ．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，求證：∠BAP＝∠QPD；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，在邊AB上截取BM＝BP，連接PM，求證：△APM≌△PQC；

圖11

（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，在圖11中補(bǔ)全圖形，并猜想△APQ的形狀（補(bǔ)全圖形，寫(xiě)出猜想，不必證明）；

（4）當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，畫(huà)出圖形，猜想并證明線段AP、PQ的數(shù)量關(guān)系．

教學(xué)預(yù)設(shè)：第（2）問(wèn)的輔助線其實(shí)是一種提示，目的是啟發(fā)學(xué)生構(gòu)造等邊三角形，而第（3）（4）問(wèn)也需要構(gòu)造等邊三角形，只是需要在BA延長(zhǎng)線、AB延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)構(gòu)造，為了注意不同設(shè)問(wèn)之間的多樣性，我們并沒(méi)有安排所有小問(wèn)都要書(shū)寫(xiě)過(guò)程，而是以直接猜想、解說(shuō)理由等多樣化的方式設(shè)問(wèn)或追問(wèn)．

二、解后反思

1.教學(xué)時(shí)間偏緊，需要注意“有的放矢”

客觀的說(shuō)，如果此前學(xué)生對(duì)上面提及的一些習(xí)題沒(méi)有認(rèn)真演練過(guò)，那么這節(jié)習(xí)課題的教學(xué)時(shí)間是很緊張的．因?yàn)榫褪且坏览}（下設(shè)3～4個(gè)小問(wèn)），如果讓學(xué)生獨(dú)立解題，至少也得給足15～20分鐘，然而我們不僅預(yù)設(shè)了4個(gè)例題，而且在拓展、鏈接中還預(yù)設(shè)一些問(wèn)題，都有一定的難度．根據(jù)筆者在不同班級(jí)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，需要注意大膽取舍、有的放矢，即作為一節(jié)復(fù)習(xí)課、習(xí)題課，如果班級(jí)學(xué)生對(duì)某類問(wèn)題在之前已有較好的掌握，則追問(wèn)兩三個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)大家很熟悉的話，則對(duì)該類型問(wèn)題可以一跳而過(guò)，而對(duì)于某類問(wèn)題比較陌生，則需要停下來(lái)，引導(dǎo)思路，提醒學(xué)生洞察問(wèn)題結(jié)構(gòu)，從而快速貫通思路，具體的解題步驟可以安排學(xué)生課后繼續(xù)完善．

2.立意舉一反三，引導(dǎo)洞察“深層結(jié)構(gòu)”

預(yù)設(shè)本節(jié)習(xí)題課的立意是引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，追求“做一題，會(huì)一類，通一片”的教學(xué)效果，特別地，在教學(xué)過(guò)程中，要注意引導(dǎo)學(xué)生洞察同類型問(wèn)題的“深層結(jié)構(gòu)”，并積累具有同一結(jié)構(gòu)問(wèn)題的破題策略，比如例4中構(gòu)造等邊三角形的經(jīng)驗(yàn)就很值得積累，就我們的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)看，不少學(xué)生的解題障礙主要在兩個(gè)方面：一是隨著點(diǎn)P的位置變化后，不能畫(huà)出準(zhǔn)確匹配的圖形；二是構(gòu)造等邊三角形不成功．對(duì)于前者，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，辨明角度大小，看清與哪條直線相交；而后者，則要啟發(fā)思考，構(gòu)造的等邊三角形對(duì)于后續(xù)解題有沒(méi)有幫助，是否“可持續(xù)發(fā)展”．

三、寫(xiě)在最后

熟悉中考試題的同行應(yīng)該知道，90%的考題都是熟悉的問(wèn)題，如何高效解決這些熟悉的問(wèn)題，并贏得足夠的時(shí)間去攻克10%的陌生題、原創(chuàng)題，是各級(jí)復(fù)習(xí)過(guò)程中要重點(diǎn)突破的．我們把等邊三角形作為一個(gè)專題突破，拋磚引玉，期待更多的案例研討與批評(píng)指正．

1.李庾南，陳育彬．中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］．北京：人民教育出版社，2007．

2.張恭慶．?dāng)?shù)學(xué)的有機(jī)統(tǒng)一是數(shù)學(xué)科學(xué)固有的特點(diǎn)［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2011（9）.

3.劉東升．關(guān)聯(lián)性：一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

4.羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］．西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

5.中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．H