☉江蘇省無錫市東北塘中學(xué) 顧燕萍

☉江蘇省啟東南苑中學(xué) 李衛(wèi)星

基于整體觀的單元教學(xué)實踐與思考
——以“冪的運算”新授課為例

☉江蘇省無錫市東北塘中學(xué) 顧燕萍

☉江蘇省啟東南苑中學(xué) 李衛(wèi)星

文1概述了著名特級教師李庾南老師的“冪的運算性質(zhì)”課例，讓我們得以一睹專家教師對“冪的運算”教學(xué)內(nèi)容的深刻理解．本著實踐跟進的積極態(tài)度，筆者最近在一次教研活動中也執(zhí)教了該課，本文整理教學(xué)設(shè)計，并教后反思，供研討．

一、“冪的運算”教學(xué)設(shè)計

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）演算、歸納并證明冪的運算性質(zhì)（同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方），在此過程中感受從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法；

（2）應(yīng)用冪的運算性質(zhì)進行簡單的運算，學(xué)會步步有據(jù)，表達運算背后的算理.

（二）重點、難點

重點：冪的運算性質(zhì)的探究、證明與簡單應(yīng)用；

難點：冪的三種運算性質(zhì)容易混淆，提醒學(xué)生注意辨別．

（三）教學(xué)流程

【數(shù)學(xué)現(xiàn)實】

題1：計算：（1）2x+3x；（2）3a2b-2a2b；（3）6a5-2a5．

題2：計算：（1）2x·3x；（2）3a2b·2a2b；（3）6a5·2a5．

設(shè)計意圖：代數(shù)學(xué)習(xí)的一個重點是數(shù)式運算，從數(shù)到式，需要經(jīng)歷運算法則的歸納、法則的應(yīng)用、運算律的簡化運算這樣的學(xué)習(xí)程序，然而整式的加減之后，學(xué)生并沒有直接學(xué)習(xí)整式的乘除，這是什么原因呢？這就正好可以解釋有些學(xué)生在計算上面的題2時會有困難或障礙的原因了．我們通過這兩組計算題，啟發(fā)學(xué)生對比、思考為什么整式的乘法還沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)，為引入本課即將要學(xué)習(xí)的冪的運算性質(zhì)提供了一組“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”．

【性質(zhì)教學(xué)】

問題：如何研究冪的運算性質(zhì)呢？

預(yù)設(shè)：分三種可能的情況，比如同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方．可以安排學(xué)生討論后交流、完善，梳理出三種情況，并依次探究不同類型的冪的運算性質(zhì)．

1.探究同底數(shù)冪的運算性質(zhì)

演算：25×22＝______；a3·a2＝______；5m·5n＝______.

歸納：am·an＝______（m、n為正整數(shù)）.

證明：略．

設(shè)計意圖：從特例演算到歸納概括，再到一般意義上證明性質(zhì)，讓學(xué)生感受到同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)是如何來的，為什么正確．

例1（1）a2·a5；（2）x·x6；（3）（-2）2×（-2）3×（-2）4；（4）xm·x2m-1．

講評預(yù)設(shè)：例1比較簡單，可以安排班級中數(shù)學(xué)適應(yīng)性不好的學(xué)生講解他們的運算思路，追問他們每一步的算理，促進其他同學(xué)同步思考每一步的算理是什么.

例1的變式：（-2）2×（-23）×（-24）.

講評預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會辨析這組運算的底數(shù)與前面的區(qū)別，讓學(xué)生注意符號問題．

2.探究冪的乘方

演算：（32）3＝32×32×32＝36；（a2）3＝a2×a2×a2＝a6；（am）3＝am× am×am＝a3m；……

歸納：（am）n＝amn（m、n為正整數(shù)），即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．

證明：略．

設(shè)計意圖：從特例演算到歸納概括，再從一般意義上證明性質(zhì)，可以漸漸放開由學(xué)生參與，與“同底數(shù)冪的運算性質(zhì)”的探究過程相比，這里更強調(diào)由學(xué)生給出一般意義上的證明，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與理性．

例2（1）（103）4；（2）（a5）5；（3）（an）3；（4）-（a4）3．

講評預(yù)設(shè)：這里4個例子都是直接使用冪的乘方運算性質(zhì)計算，注意安排學(xué)生辨析（2）的運算與“a5·a5”之間的區(qū)別；（4）則需要引導(dǎo)學(xué)生看清底數(shù)與負號的關(guān)系．

例2的變式：計算-（a4）3·（-a4）3．

變式意圖：進一步訓(xùn)練學(xué)生看清底數(shù)與負號的關(guān)系，同時又初步接觸冪的運算的混合運算，還需要應(yīng)用同底數(shù)冪的運算計算．教學(xué)時可以安排兩名學(xué)生到黑板上板演，然后追問他們每一步的算理，以此強化算理意識．

3.探究積的乘法

演算：（ab）2＝（ab）·（ab）＝（a·a）·（b·b）＝a2b2；（ab）3＝（ab）·（ab）·（ab）＝（a·a·a）·（b·b·b）＝a3b3．

歸納：（ab）n＝anbn（n為正整數(shù)）.

證明：略，安排學(xué)生口述證明過程．

設(shè)計意圖：演算安排學(xué)生講述，歸納及證明也由學(xué)生口述，節(jié)約教學(xué)時間，這是因為通過前面兩個冪的運算性質(zhì)的總結(jié)思路學(xué)生已有相關(guān)經(jīng)驗，這里不必再耗費太多教學(xué)時間，重在后續(xù)法則應(yīng)用．

例3（1）（2x）4；（2）（-5x）3；（3）（ab2）3；（4）（-2a2）5．

講評預(yù)設(shè)：安排4個學(xué)生上臺板演后，再安排另外4個學(xué)生評價前者的運算，并指出每一步的算理．

例3的變式：計算（ab2）3·（-2a2）5．

變式意圖：其實是例3（3）、（4）兩問的進一步相乘，增加了解題層次，使得問題一步一步向上走，成為一道冪的運算的混合計算題，也是后續(xù)將要學(xué)習(xí)的單項式的乘法．

【鞏固訓(xùn)練】

題1：下列各式的運算結(jié)果為x6的是（）.

A．x9÷x3B．（x3）3C．x2·x3D．x3＋x3

題2：計算：m2·m3＝_________．

題3：計算：（-a2b2）2·a＝_________．

題4：計算：（1）（x2y）3=_________；

（2）（a2）4·（-a）3=_________.

【小結(jié)和作業(yè)】

引導(dǎo)學(xué)生回顧本課所歸納和證明出來的幾種冪的運算性質(zhì)，在具體應(yīng)用時如何辨明類型、選準(zhǔn)性質(zhì)是計算的關(guān)鍵．布置作業(yè)，由教材改編設(shè)計兩道題.

題目1：計算：

題2：計算：（1）（-2x）2＝________，（-3y）3＝________；（2）（-2a）3·9a2；（3）（-2b）3·（-3b）2；（4）練習(xí)上述題目后，你能積累怎樣的計算經(jīng)驗？

二、教學(xué)立意的整體闡釋

1.基于數(shù)學(xué)整體觀，開展單元教學(xué)

受益于文1中的推介，筆者得以認(rèn)真學(xué)習(xí)了李庾南老師對冪的運算性質(zhì)的深刻理解，也反思了過去多少年都是按照教材上的順序?qū)⑼讛?shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方分為三個課時開展教學(xué)，然后通過大量的習(xí)題訓(xùn)練來鞏固．比較來看，基于數(shù)學(xué)整體觀，實施冪的運算的單元教學(xué)顯得更為合理，在后續(xù)教學(xué)時，再圍繞冪的運算性質(zhì)開展習(xí)題課，就可以避免本節(jié)課中訓(xùn)練量不夠的問題．特別值得指出的是，在冪的運算性質(zhì)單元教學(xué)的起始課中，需要十分重視法則發(fā)現(xiàn)、概括、證明，又要在例題應(yīng)用時注意算理的掌握．

2.注重變式教學(xué)，在追問中將問題生長拓展

眾所周知，中國數(shù)學(xué)教學(xué)中注意變式教學(xué)，然而變式教學(xué)如何開展，特別是例、習(xí)題教學(xué)時如何由例、習(xí)題出發(fā)，變式、生長、拓展，體現(xiàn)變式過程中自然而然是廣大一線教師需要深入修煉的一項基本功，這涉及對教學(xué)內(nèi)容、待變式的例題和習(xí)題的深刻理解．正如上文中我們在“小結(jié)和作業(yè)”環(huán)節(jié)設(shè)計題1，就是基于我們對冪的運算性質(zhì)與七年級有理數(shù)一章所學(xué)的乘方之間的關(guān)聯(lián)設(shè)計而成．此外，在例題變式環(huán)節(jié)，我們也注意了對部分例題進一步生長、拓展，又要注意這是單元教學(xué)的起始課，保持適度的變式，因為更加復(fù)雜的綜合運算會在后續(xù)習(xí)題課中進行訓(xùn)練．

三、寫在最后

客觀上我們也看到，因為不同版本教材常?；诮虒W(xué)時間的限制，而將一些數(shù)學(xué)整體知識拆分成幾個課時（標(biāo)志是教材上常常用所謂的“練習(xí)”隔開），同時不少教輔資料上的課時劃分也“尊重”了教材上的這種劃分，使得不少初任教師也據(jù)此簡單地理解教材，從而按此劃分課時，將有些本可以整合后作為單元教學(xué)起始課的教學(xué)內(nèi)容分隔開來，不能很好地向?qū)W生傳遞“數(shù)學(xué)是一個整體”這一認(rèn)識，不能不說是一種遺憾．我們數(shù)學(xué)教師是專業(yè)技術(shù)人員，理應(yīng)有自己的專業(yè)判斷和專業(yè)行為，筆者也堅信，隨著“課改一定要改課”理念的深入推進，會有更多的同行認(rèn)同并踐行整合教材內(nèi)容后的“單元教學(xué)”模式．

1.湯志良．步步有據(jù)：推導(dǎo)冪的運算性質(zhì)——李庾南老師“冪的運算性質(zhì)”課例賞析［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（5）.

2.劉東升．關(guān)聯(lián)性：一個值得重視的研究領(lǐng)域［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

3.李庾南．自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］．北京：人民教育出版社，2013．

4.葛媛．基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，探索“未知領(lǐng)域”——李庾南老師“分式方程”課例賞析［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（8）.Z