☉江蘇省如東縣岔河中學 季衛(wèi)東

關聯(lián)呼應：源自理解數學和苦心經營
——對“垂徑定理”教學的再設計

☉江蘇省如東縣岔河中學 季衛(wèi)東

一、寫在前面

最近參與某區(qū)一次大型教學研討活動（參與聽課的來自該地區(qū)所有初三數學教師，200多人），其間開設了一節(jié)初三“垂徑定理”的公開課，活動流程清晰，學生思維活動量較大，教師“基本功”（傳統(tǒng)意義上的“三字一話”）扎實，課后是應景式的、標簽式的、客套式的賞析評課，一節(jié)優(yōu)秀課就這樣被定義了，似乎各自回到教學崗位后，以后的新授課就可以這樣上了．然而近年來筆者閱讀喜歡與涉獵所限，頗受人民教育出版社資深編審章建躍博士的影響，章博士在參加一些評優(yōu)課之后，受當時當地環(huán)境、氛圍的限制，并沒有對有些參賽課給出更多商榷意見，而是在活動之后以文章的形式，對該課給出基于深刻理解數學的高度上的重新設計，給人以耳目一新之感．筆者力所不及，然心向往之，也想對這次活動中的“垂徑定理”教學給出自己能力范圍下的“再設計”，供批判與研討．

二、“垂徑定理”公開課教學流程概述

【精心導入】

探究1：有一張圓形紙片，請同學們找圓心，比比誰找得快！

聽課記錄：課前學生每人都準備了一張圓形紙片，折紙活動很順利，很多學生都通過折疊兩次獲得圓心，教師再安排一個學生到前面演示確認，從而引出追問：圓是什么圖形？（軸對稱圖形）

填空：圓是______對稱圖形，它的對稱軸是______.

探究2：如何證明圓是軸對稱圖形？

圖1

聽課記錄：教師安排學生在小組討論后匯報證明思路，并用PPT給出證明過程．

探究3：在圖1中增加一條弦，使得它仍是軸對稱圖形.

聽課記錄：學生畫出不同的情形，教師從中選擇一個畫出了垂直于弦的直徑的圖形，為研究垂徑定理的證明服務．其他圖形則先放下，教師指出，以后再研究其他情況的圖形．

圖2

【新知探究】

教師由學生畫出的軸對稱圖形，利用圖2，引導學生歸納并證明垂徑定理．

填空：_____，定理：_______________．

聽課記錄：教師在學生得出概念和簡略證明的基礎上給出垂徑定理的圖形、符號語言，但沒有提及垂徑定理的推論．

【精講示范】

例在直徑為10cm的圓中，弦AB的長為8cm，求圓心O到弦AB的距離．

聽課記錄：師生合作添加輔助線弦心距、半徑，構造經典的直角三角形基本圖形，并為學生總結弦心距、弦的一半、半徑之間的平方關系式．

【鞏固訓練】

兩道練習題（中考試題，略）．

學生自編題：運用垂徑定理自編一道計算題．

聽課記錄：學生自編題耗去近10分鐘，學生要畫圖、構思已知和問題，預設圖形中不同的數據，最后教師利用實物投影展示了三個學生的問題設計，并請其他同學解答，所以花時較多．

【課堂小結】

通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？

【拓展提高】

已知圓O的直徑為10cm，弦AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，求弦AB和CD之間的距離．

三、“垂徑定理”教學再設計

（一）創(chuàng)設情境

尋找圓心：有一張圓形紙片，請同學們找圓心，比比誰找得快！

圖3

設計意圖：讓學生準備一張圓形紙片，并由他們折紙找出圓心，安排一個學生到黑板上畫出折紙方法的示意圖，如圖3.

追問得出：這種方法是利用了圓的軸對稱性質，那么圓為什么是軸對稱圖形呢？

安排學生利用圖2給出證明，在圓上任意取一點，引直徑的垂線交圓于另一點，并證明這兩點關于直徑所在直線對稱．

（二）歸納定理及推論

在學生證明圓是軸對稱圖形之后，引導學生歸納出垂徑定理.

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的?。?/p>

教學預設：梳理垂徑定理的題設與結論，一條直線若滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦，則可以推出：（3）平分弦；（4）平分弦所對的優(yōu)?。唬?）平分弦所對的劣?。?/p>

提出問題：平分弦的直徑能否垂直于弦，并且平分弦所對的??？

教學預設：啟發(fā)學生思考，上述問題的答案是肯定的嗎？如果不是，如何修正呢？通過系列追問促進學生思考并得出推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的?。?/p>

（三）例題教學

例1如圖4，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．若CD＝8，BE＝2，求⊙O的直徑．

圖4

圖5

變式訓練：某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道．如圖5所示，污水水面寬度為60cm，水面至管道頂的距離為10cm，問：修理人員應準備內徑多大的管道？

設計意圖：從圖4到圖5，輔助線添加更多，構圖能力更強，然而圖4構造的直角三角形會啟發(fā)學生在圖5中也構造出直角三角形來幫助思考．

圖6

例2如圖6，CD所在的直線垂直平分線段AB，利用這樣的工具，最少使用幾次就可以找到圓形工件的圓心？

設計意圖：在學生解出來之后，引導他們思考開課階段的折紙情境，追問：現(xiàn)在能解釋為什么折疊兩次后，折痕相交的點就是圓心嗎？能給出證明嗎？（本質就是與例2的推證理由類似，根據垂徑定理的推論來證明）

（四）小結

引導學生從軸對稱的角度回顧垂徑定理及其推論，并啟發(fā)學生思考，還可以把垂徑定理的基本圖形中的題設與結論重組得出一些命題.

（五）作業(yè)

求證：圓中平行弦所夾弧相等．

四、教學立意的進一步闡釋

1.深刻理解教學內容，加強教學環(huán)節(jié)的關聯(lián)呼應

優(yōu)秀的文學影視作品常常要預設所謂的“前后呼應”藝術，比如文學名著《紅樓夢》中開篇提及的很多人物、事件，看似無厘頭，然而卻若隱若現(xiàn)地出現(xiàn)在后續(xù)情節(jié)推進之中，甚至成為重要的暗線．受此啟發(fā)，我們基于對教學內容的深刻理解，將原設計中的情境（兩次折紙獲得圓心）與后來“再設計”中例2中的追問實現(xiàn)對接、呼應，形式上加強了開課情境與后續(xù)例題教學之間的關聯(lián)，更重要的是對折疊操作的原理進行了證明，使得開課情境更有數學味兒、幾何味兒．

2.研習教材并精選例、習題，經營“平滑的轉場效果”

由于垂徑定理反映了圓的軸對稱性質，而且在證明圓是軸對稱圖形時順便也就獲得了垂徑定理，稍稍逆向思考就能得到系列推論，教材上只是給了其中一種，這時我們可以啟發(fā)優(yōu)秀學生課外深入構思其他的推論，包括“平行弦所夾弧相等”，這些都可以看成是垂徑定理的推論（上個世紀的教材中都將其作為推論進行教學）．基于上述認識，如果限于教學時間，或考慮到充分訓練垂徑定理基本圖形的需要，而將垂徑定理的推論放到下一課時再學，則會破壞數學知識的整體性，是值得商榷的．所以在“再設計”中我們將推論進行了預設，并精選了一些例、習題進行新知應用，也追求了不同教學環(huán)節(jié)之間的平滑過渡．當然，我們在“再設計”中還基于“從標準模式到非標準模式”（詳見文4）的理念對例、習題的教學加強了變式設計．

1.章建躍．如何實現(xiàn)“思維的教學”——以“平面圖形的旋轉”的教學為例［J］．中學數學教學參考（中），2015（4）.

2.張誠，張成品.經營“轉場”：讓教學環(huán)節(jié)過渡自然——《中學數學》（下）2015年1～3月讀刊隨筆［J］.中學數學（下），2015（5）.

3.劉東升．關聯(lián)性：一個值得重視的研究領域［J］．中學數學（下），2013（12）.

4.季衛(wèi)東．變式取向：從“標準模式”到“非標準模式”——以“軸對稱最值問題”解題教學為例［J］．中學數學（下），2014（3）.Z