☉江蘇省蘇州陽山實驗初級中學校 孫 凱

經(jīng)營起點，傳遞幾何研究“基本套路”意識
——以“線段的垂直平分線”教學為例

☉江蘇省蘇州陽山實驗初級中學校 孫 凱

線段的垂直平分線的教學通常被安排在軸對稱一章，并且多是學習軸對稱圖形之后，基于對稱軸角度引入概念，并通過度量發(fā)現(xiàn)它的性質，再“反過來”思考其判定．筆者經(jīng)過構思，決定把角平分線的尺規(guī)作圖作為本課的起點，變式出作平角的角平分線，從而引入新課內容．下面整理該課的教學設計，并附教學設計的立意解讀，與同行研討．

一、“線段的垂直平分線”教學設計

（一）教學目標

（1）從角平分線的尺規(guī)作圖遷移到線段垂直平分線的學習，感受前后知識之間的關聯(lián)；

（2）探索線段的垂直平分線的性質與判定方法，積累幾何圖形研究的套路意識；

（3）善于運用線段垂直平分線的性質推證問題，簡化幾何語句的組織書寫．

（二）重點、難點

重點：線段垂直平分線的性質與判定．

難點：善于運用線段垂直平分線的性質或判定簡化幾何問題求解．

（三）教學流程

【開課引入】

問題1：尺規(guī)作圖，作∠AOB的平分線OC．

預設：學生作出圖1后，追問作圖依據(jù)，“為什么OC平分∠AOB？”，引導學生回顧全等三角形的判定方法．

變式：作一個平角的角平分線．

預設：如圖2，在直線AB上取一點C，得到平角∠ACB，再作角平分線．

圖1

圖2

追問1：此時CM與AB有怎樣的位置關系？（MC⊥AB）

追問2：有一種基本作圖，“過直線上一點作已知直線的垂線”，你會操作嗎？（本質上就和作平角的角平分線類似）

【新知探索】

教師示范：尺規(guī)作圖，作線段的垂直平分線（如圖3）．

預設：安排學生模仿操作后，追問學生上述作圖的理由是什么.（要求學生標出字母，方便表達操作的理由，主要是從全等的角度說出理由）

定義（板書）：經(jīng)過線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）．

性質探究：如圖4，直線CD垂直平分線段AB，垂足為M．在直線CD上任取兩點P1、P2，度量P1、P2到點A與點B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖3

圖4

預設：學生會發(fā)現(xiàn)點P1（P2）到點A與點B的距離相等，于是可以得出一個猜想（板書）：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．

追問：通過度量、猜想發(fā)現(xiàn)到的性質，需要思考如何證明，你們會證明嗎？（安排學生用全等方法證明）學生證明之后，在黑板上把“猜想”改寫為“性質定理”，并板書符號語言．

逆向思考：在之前學習角平分線的性質之后，我們還“反過來”思考了角平分線的判定．同樣，得出線段的垂直平分線的性質定理之后，我們是不是也可“反過來”思考呢？（安排學生獨立思考、小組內交流）

猜想發(fā)現(xiàn)（板書）：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．

預設：安排學生證明垂直平分線的判定，并板書符號語言．

【應用新知】

尺規(guī)作圖：已知銳角三角形（如圖5，△ABC）、直角三角形（如圖6，△ABC，∠C=90°）．

圖5

圖6

（1）在圖5、6中，分別作出邊AC的垂直平分線，交AB于點D；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，在圖5中，連接CD，若BC=3，AB=5，求△BCD的周長；

（3）在（1）的條件下，在圖6中，小成同學經(jīng)過進一步的探究發(fā)現(xiàn)：點D也在邊BC的垂直平分線上！你覺得小成的發(fā)現(xiàn)有道理嗎？

意圖：（1）主要訓練線段垂直平分線的尺規(guī)作圖；（2）訓練線段垂直平分線的性質定理，并利用定理轉化問題；（3）既訓練線段的垂直平分線的判定，又將問題設計在直角三角形這一載體上，隱含著直角三角形三邊的垂直平分線的交點恰在斜邊的中點處，同時也為后續(xù)學習等腰三角形的性質與判定作鋪墊．

【課堂小結】

（1）類比角平分線學習線段的垂直平分線，注意它們的同與不同.

（2）我們知道：點動成線，即線是點動而成的．而前面的學習中，角平分線可以看作是到角的兩邊距離相等的點的集合，那么對于線段的垂直平分線，是不是也可以從點的集合角度來理解呢？（預設學生總結出：線段的垂直平分線可以看成是到線段兩端點距離相等的點的集合，并板書“再定義”）

【布置作業(yè)】

題1：已知：如圖7，∠AOB，點M、N．求作：點P，使點P在∠AOB的平分線上，且PM＝PN．（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

題2：如圖8，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，猜想AD、EF的關系，并說明理由．

圖7

圖8

意圖：題1主要訓練角平分線、線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖；題2主要訓練利用線段的垂直平分線的判定方法來簡化證明過程．

（四）板書設計

二、教學立意的進一步闡釋

1.從角平分線出發(fā)，貼近學生“最近發(fā)展區(qū)”開展教學

我們知道，不少版本的教材在引入線段的垂直平分線時，通常都是從軸對稱圖形入手，從對稱軸的角度發(fā)現(xiàn)線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，這樣的安排固然有其合理性，然而從幾何知識前后一致、邏輯連貫的高觀點來看，從角平分線的尺規(guī)作圖出發(fā)似乎更有“幾何味道”，既有全等三角形判定的復習，又是從一般的角平分線中特殊化，研究特殊的角——平角的角平分線的作法，而恰恰又得到了“過直線上一點作已知直線的垂線”這一基本作圖，為日后學習“過一點作已知直線的垂線”提供了一個知識生長點．這種開課引入的方式，既貼近了學生的“最近發(fā)展區(qū)”，又反映了數(shù)學中“一般與特殊”之間的研究視角．

2.經(jīng)營教學的關聯(lián)，向學生傳遞幾何“基本套路”意識

文2中總結了優(yōu)秀教學設計的一種表征：經(jīng)營“轉場”，讓教學環(huán)節(jié)過渡自然．筆者深受啟發(fā)，在上面的各個教學環(huán)節(jié)，努力構思前后教學活動之間的關聯(lián)，既有知識體系上的前后一致，又有研究方法上的“基本套路”的強化.如例題教學，我們沒有安排多道例題進行習題拼湊式的講評，而是從兩種不同形狀的三角形出發(fā)，安排尺規(guī)作圖，并在作圖的基礎上變式生長出一些訓練題，既圍繞本課的教學重點進行訓練，又暗藏著未來要學習的等腰三角形的性質、直角三角形“外心”的性質等內容．

1.馬公仕．靠近“最近發(fā)展區(qū)”，聚焦初中幾何特點——以七年級“直線、射線、線段”教學為例［J］．中學數(shù)學（下），2015（3）．

2.張誠，張成品．經(jīng)營“轉場”：讓教學環(huán)節(jié)過渡自然——《中學數(shù)學》（下）2015年1～3月讀刊隨筆［J］．中學數(shù)學（下），2015（5）.Z