胡靜波

(合肥通用職業(yè)技術學院，安徽 合肥 230031)

中美經典微積分教材比較研究

胡靜波

(合肥通用職業(yè)技術學院，安徽 合肥 230031)

文章通過闡述美國最具代表性的兩本微積分教材具有的特點，與國內教材進行比較分析，指出美國教材中值得我們學習和借鑒的地方，給我國高等數(shù)學教材改革提供一些啟示。

微積分；教材；比較分析

一、研究背景

高等數(shù)學(微積分)作為我國理工類、財經類學生的一門基礎課程，其教學改革在許多大學開展的如火如荼。在教學改革中，教材改革是重要的一環(huán)。教材直接面向學生，又是教師教學的基本依據，其成功與否自然引人關注。我國現(xiàn)有的大學高等數(shù)學教材大多沿襲原蘇聯(lián)的高等數(shù)學體系，內容嚴謹，編排緊湊，邏輯清晰，敘述簡練。雖然國內微積分教材種類眾多，但理論體系大體相同，例題、習題也重復甚多。其中盡管不乏同濟大學數(shù)學教研室編的高等數(shù)學[1]精品教材,但大多數(shù)教材嚴肅有余，活潑不足，缺乏知識的實際應用，缺少時代氣息。

James Stewart所著的Calculus[2]和Thomas、Weir等人所著的Thomas’Calculus[3]這兩本教材在美國高校中捶打多年、備受推崇。Calculus教材[2]目前更新到第7版，在美國占到了65%的微積分教材市場[4]。Thomas’Calculus教材自1951年誕生以來已經是第13版。以這兩本教材為代表的美國經典微積分教材,采用直觀易懂的方式，由淺入深的介紹微積分的知識，通過豐富有趣的實例提高學生的學習積極性；通過讓學生運用所學知識和方法解決實際問題，培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力；通過在內容中滲透現(xiàn)代數(shù)學思想、數(shù)學方法，培養(yǎng)學生的科學和創(chuàng)新精神；通過不斷更新富含時代氣息的題目以達到教材的應用性和現(xiàn)代化。隨著2014年6月教育部等六部門《現(xiàn)代職業(yè)教育體系建設規(guī)劃(2014-2020年)》的下發(fā),應用技術類型本科高校及高等職業(yè)院校的發(fā)展進入新的階段。 在這樣的背景下，放眼世界，借鑒更優(yōu)秀的微積分教材進行教材改革不僅必要，也是大有裨益的。

二、國外教材特色

(一)入門容易

國外教材在正式的章節(jié)內容前面會安排預備知識以及難度不大的例題、習題進行鋪墊，讓初學者覺得很容易入手。如Calculus在序言后面設置了常用數(shù)學公式、微積分概述以及診斷測試的內容，幫助初學者了解自己的現(xiàn)有數(shù)學水平。

而國內教材大多從函數(shù)與極限開始微積分的學習，缺乏與初等數(shù)學的銜接與過渡。如教材第1章一開始就采用ε語言介紹函數(shù)與極限。雖然敘述簡練，邏輯性強，但對于數(shù)學基礎不好的學生來說，理解起來較為困難。

(二)閱讀性強

國外教材在介紹定義、定理的時候，往往先鋪墊一些有實際數(shù)據支撐的相關實例，引導學生在一定的情境中對該定義、定理產生初步的印象，再給出嚴謹敘述。如運用微元法求所圍圖形的面積，國內教材一般是鋪墊兩個簡單例子后直接給出求解方法。

再比如微積分學概述部分，Calculus教材用淺顯的語言告訴讀者微積分不僅可以用于解決較為復雜的面積、切線、速度問題以及理解芝諾悖論，還可以回答一些有趣問題，比如為什么彩虹的最高點角度總是向上42度，這樣可以幫助讀者建立微積分“實用”、“有趣”的良好印象。

(三)結合實際應用

國內微積分教材大多停留在純數(shù)學理論知識的講授上，實際應用較為缺乏。雖然能很好的培養(yǎng)學生知識的系統(tǒng)性，但題目和解題過程都過于枯燥、刻板，最終給學生造成微積分抽象難學，沒有實用價值的印象。

國外教材大量選取緊密結合最新實際的應用題，賦予現(xiàn)實背景，用問題驅動學生的學習。大量真實數(shù)據的引入和插圖的使用，有助于學生識記和鞏固知識點，有助于學生直觀形象的理解問題的產生和演變，推導出一般性結果，最終理解和深化定義、定理的本質。

一個典型的例子：在介紹導數(shù)的定義時，教材先是分別從物理、化學、生物、經濟等方面舉了8個圖文并茂的例子進行描述，再從地質學家、工程師、城市地理學家、氣象學家的角度描寫了他們心目中的導數(shù)，最后從心理學、社會學的角度進行切入舉例說明?？赐旰笞屓舜蠛暨^癮，直道導數(shù)原來有這么廣泛的用途。反觀國內教材，大多只有兩個經典的例題：變速直線運動的瞬時速度、平面曲線的切線斜率，少數(shù)教材再加上邊際成本模型、化學反應速度模型。

(四)內容模塊化

許多經典的美國微積分教材將內容劃分為若干個獨立的模塊，如基礎模塊、應用模塊、提高模塊、專題模塊。另外教材根據專業(yè)的不同設置若干專業(yè)選修模塊，如金融模塊、工業(yè)工程模塊等。這些模塊由少則一章多則幾章的內容組成，模塊間的聯(lián)系不像國內教材那樣緊密，其更加強調能力的培養(yǎng)。應用模塊及專業(yè)選修模塊中的微積分內容十分強調理論與實踐相結合，提供許多與專業(yè)相結合的例題與習題，為學生學習專業(yè)知識和可持續(xù)發(fā)展打下堅實的數(shù)學基礎。教師可以根據各專業(yè)對數(shù)學的不同要求進行模塊的靈活組合，從而在培養(yǎng)學生扎實的數(shù)學基礎之上，有針對性的培養(yǎng)學生專業(yè)課程及職業(yè)崗位學習能力。

(五)題目豐富而精巧

1.題目數(shù)量、質量兼具，難度分層

國外優(yōu)秀微積分教材普遍題量大、內容豐富、覆蓋面廣。以練習題為例，國內教材的練習題量一般在1000-2000題之間。而國外教材的題量普遍高于5000題。但這也隨之帶來內容過多的問題。第7版有1381頁，第11版有1564頁，Thomas’Calculus如此多的內容讓人容易產生畏難情緒。

國外教材的題目來源廣泛，經濟、金融、幾何、建筑、物理、生物、軍事、社會等方面都有所涉及。題目難度漸進，一般包括初級的概念題、常規(guī)計算題，中等難度的證明題、應用題，還有難度較大的CAS題、探索求解題、數(shù)學建模題。這樣的題目分層既有深度也有廣度，考慮了學生的各個層次，便于教師教學活動的開展和因材施教。此外為了便于使用，教材在每一個應用題前面標示題目的名稱。如：粒子的運動、一艘帆船的位移、溫度和鐘擺的周期。

國內教材近幾年也意識到題量較少，缺乏典型應用和探索性習題?，F(xiàn)在將題量增大的同時把例題、習題層次化，采用一題多問、一題多變、跨章節(jié)追問等方式，增添了來源于生活和科技的題目，增加了循序漸進的題目，增強了內容具有伸縮性的題目。

2.融入數(shù)學建模思想，重在能力培養(yǎng)

凡是需要運用數(shù)學解決的問題，總是離不開數(shù)學建模。國外教材提供了許多設計新穎、風格各異的實際應用題。通過對這些題目進行建模和求解，鼓勵學生對實際事物進行數(shù)學簡化，理性的思考解決方法；通過題目的具體解析，將問題函數(shù)化、數(shù)值化，潛移默化的影響學生的思維方式，形成數(shù)學建模精神。各種類型和風格的題目，旨在幫助學生建立微積分作為理解現(xiàn)實世界，解決現(xiàn)實問題的工具的理念，也可以滿足不同能力培養(yǎng)的需要。

3.內容不斷更新

20世紀后半葉到本世紀初，科技和社會日新月異的發(fā)展為數(shù)學提供前所未有的廣闊應用前景。數(shù)學的應用已經影響和滲透到絕大多數(shù)的領域。雖然微積分的框架早已搭建完畢，但相關的應用卻是越來越廣泛。國外教材在保留經典微積分知識的同時不斷更新教材的內容，增添新鮮有趣的例題、習題，指導學生使用新的數(shù)學軟件解決實際問題或繪制賞心悅目的圖形。如Calculus在改版中加入了1998年艾奧瓦州的氣壓水平曲線，悉尼地區(qū)的溫度、阿根廷近五十年農村地區(qū)人口百分比等素材，Thomas’Calculus在改版的電子書中加入了動態(tài)的圖形和相關視頻。

(六)善于運用現(xiàn)代化教學手段

國內的高等數(shù)學課堂，許多老師已能夠熟練使用Word、Excel、PPT等軟件進行輔助教學，使用Matlab、Mathematica、Maple等軟件進行計算機作圖及運算。國外教材則進入了運用現(xiàn)代化教學手段的2.0版，開始提供立體化、網絡化教材支持：通過開辟專門的網站，提供授課視頻、教學課件、常用數(shù)學網站鏈接、2D/3D在線繪圖軟件，讓學生自主學習及探索數(shù)學實踐活動；通過給學生提供網上交互式在線輔導和電話輔導，延伸教學課堂。

三、啟示與建議

(一)加強實際應用的內容

隨著科學技術的迅速發(fā)展，數(shù)學的應用正在向一切已知甚至未知的領域進行滲透。微積分教材建設，在內容選擇上，要擴大素材的選取范圍，通過分析專業(yè)課程的教學內容與微積分課程的聯(lián)系，尋找內容的契合點， 加強教材的適用性、實用性和應用性；要緊密結合生產和生活實際，貼近時代發(fā)展步伐；要強調應用能力的培養(yǎng)，服務于專業(yè)培養(yǎng)和素質教育培養(yǎng)的需要。在例題的設計上，要盡量避免直接套用公式解題，弱化高難度解題技巧的訓練；要將數(shù)學知識點用實際問題驅動，定性與定量相結合的介紹知識，引導學生積極思考，將實際問題數(shù)值化、圖像化，幫助學生直觀的理解抽象的數(shù)學內容。同時“推動教學方法改革，通過真實案例、真實項目激發(fā)學習者的學習興趣、探究興趣和職業(yè)興趣”。

(二)開展模塊化教學和分層教學

美國高校在模塊化教學和分層教學方面開展較早且較為成功。通過學習美國經典微積分教材在模塊化分解知識點、教學分層等方面取得的成功經驗，高等數(shù)學的教學內容可以更加貼近專業(yè)需要，調動學生學習的積極性和主動性，有助于課堂教學活動的開展，滿足不同層次學生的學習需要和不同專業(yè)學生的培養(yǎng)需要。這既有利于增強高等數(shù)學的基礎課程地位，也有利于教師模塊化教學和分層教學等活動的開展。

(三)融入數(shù)學建模思想

數(shù)學建模作為一種創(chuàng)造性活動，不僅是高等數(shù)學的實踐延伸，而且是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的有力工具。在教材建設中，要將數(shù)學建模的思想適當引入教學內容之中，將知識點的導入和應用設置于一個具體建模環(huán)境，指導學生通過數(shù)學建模的過程思考問題、分析問題、解決問題，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和能力，把微積分這一純理論課逐步變成理論與實踐相結合的課程，提高教學質量。

(四)進行教材的立體化、網絡化、持久化建設

國內許多高校的高等數(shù)學既是精品教材，也是精品課程，同時將配套的電子教材、PPT教案、在線課堂、網絡輔導系統(tǒng)等各種教學資源有效地整合并在網上共享。但應看到，這其中有新意、有亮點的不多，真正不斷豐富教材內容，堅持更新的不多。因此在教材建設中，我們需要緊密結合當前最新的科學發(fā)展的新應用，不斷完善更新教材內容，采用網絡技術、多媒體技術等現(xiàn)代化教學手段豐富教學內容，持之以恒的進行現(xiàn)代化教材建設。

四、結語

微積分教材作為教師和學生之間的核心紐帶，在課程教學中發(fā)揮著無可比擬的重要作用?！八街?，可以攻玉”，隨著越來越多的國外優(yōu)秀微積分原版教材及雙語教材[5]逐漸引入國內高校課堂，我們通過國內外經典微積分教材比較研究的交流互補、融合提高，有利于數(shù)學教學與國際接軌，有利于學生創(chuàng)造性思維和科學精神的培養(yǎng)，有利于因材施教和素質教育的開展，有利于更好的實現(xiàn)人才培養(yǎng)目標，最終打造屬于我們自己的經典微積分教材。

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(第六版)[M]．北京：高等教育出版社,2007.

[2]James Stewart．Calculus(Fifth Edition)(影印版)[M]．北京：高等教育出版社,2004．

[3]Finney，Weir，Giordano.Thomas’CALCULUS(Tenth Edition)(影印版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[4]中國教育電視臺《大學書苑》欄目.暢銷背后的奧秘——訪《微積分》教材作者James Stewart[J].中國大學教學,2003,(10):36.

[5]James Stewart．Calculus(6th Edition)(雙語版)[M].張乃岳,譯.北京：中國人民大學出版社,2009．

2095-4654(2015)06-0013-03

2015-03-20

安徽省質量工程教學研究項目(2013jyxm406)

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