褚東升,李興國(guó),張 玲(中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東高校海洋機(jī)電裝備與儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 山東 青島 266100)

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一類(lèi)帶乘性噪聲系統(tǒng)的參數(shù)故障檢測(cè)方法?

褚東升,李興國(guó),張 玲
(中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東高校海洋機(jī)電裝備與儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 山東 青島 266100)

為提高系統(tǒng)運(yùn)行的可靠性以及安全性，故障檢測(cè)技術(shù)已經(jīng)成為很多技術(shù)流程中必不可少的部分。在系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中，故障可分為加性故障和參數(shù)故障，參數(shù)故障是較加性故障更為復(fù)雜的一種故障類(lèi)型。本文針對(duì)一類(lèi)帶乘性噪聲的復(fù)雜系統(tǒng)，建立了其參數(shù)故障模型。并在傳統(tǒng)最優(yōu)濾波的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出該系統(tǒng)的常增益最優(yōu)濾波公式，研究了參數(shù)故障在新息中的表現(xiàn)形式并給出了相關(guān)證明?；诠收习l(fā)生前后新息序列的變化規(guī)律，本文設(shè)計(jì)了一類(lèi)參數(shù)故障檢測(cè)方法。仿真結(jié)果表明該方法能夠及時(shí)有效的識(shí)別出故障的發(fā)生點(diǎn)。

故障檢測(cè)；乘性噪聲；最優(yōu)濾波；常增益

隨著現(xiàn)代工程系統(tǒng)復(fù)雜性的不斷提高，故障檢測(cè)技術(shù)的重要性也逐漸凸現(xiàn)出來(lái)，并成為了一個(gè)研究熱點(diǎn)。根據(jù)故障發(fā)生在系統(tǒng)中的位置，可以將故障分為3種類(lèi)型：傳感器故障[1]、執(zhí)行器故障[2]和參數(shù)故障[3]；表現(xiàn)在系統(tǒng)模型中，則可以劃分為兩類(lèi)[4]：加性故障(傳感器故障、執(zhí)行器故障)和乘性故障(參數(shù)故障)。

目前國(guó)內(nèi)外針對(duì)參數(shù)故障的檢測(cè)主要是基于參數(shù)估計(jì)的方法[5]。該方法認(rèn)為故障會(huì)引起系統(tǒng)過(guò)程參數(shù)的變化，而過(guò)程參數(shù)的變化會(huì)進(jìn)一步導(dǎo)致模型參數(shù)的變化，因此可以通過(guò)檢測(cè)模型中的參數(shù)變化來(lái)進(jìn)行故障診斷。

R Doraiswami與L Cheded在文獻(xiàn)[3-6]中提出了基于狀態(tài)估計(jì)的參數(shù)故障診斷方法，但其系統(tǒng)模型沒(méi)考慮到信道的傳輸過(guò)程中存在線(xiàn)性與非線(xiàn)性畸變、能量衰減等復(fù)雜的不確定性因素，無(wú)法刻畫(huà)更復(fù)雜的隨機(jī)系統(tǒng)?；诖瞬蛔悖疚倪M(jìn)一步研究帶乘性噪聲系統(tǒng)[7]的參數(shù)故障檢測(cè)方法。針對(duì)帶乘性噪聲系統(tǒng)模型，基于常增益最優(yōu)濾波方法[8]，研究了參數(shù)故障發(fā)生前后新息序列變化的規(guī)律，由此設(shè)計(jì)了一類(lèi)參數(shù)故障檢測(cè)方法，并進(jìn)行了仿真研究。

1 帶乘性噪聲系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及參數(shù)故障描述

帶乘性噪聲系統(tǒng)的模型將被表示成2種形式：(1)狀態(tài)空間模型；(2)傳遞函數(shù)模型。

1.1 狀態(tài)空間模型

一類(lèi)帶乘性噪聲系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以表達(dá)為：

xk+1=Axk+Brk+Ewk；

(1)

yk=mkCxk+vk。

(2)

其中：xk為系統(tǒng)的n×1維狀態(tài)向量；yk為系統(tǒng)的輸出；rk為系統(tǒng)的確定性一維輸入；wk與vk分別為系統(tǒng)的n維動(dòng)態(tài)噪聲與一維觀測(cè)噪聲；A為n×n維矩陣；B為n×1維向量；C為1×n維向量；E為n×n矩陣；mk為系統(tǒng)的一維乘性噪聲。并滿(mǎn)足以下假設(shè)條件：對(duì)任意整數(shù)k≥0和j≥0。

D3：E{vk}=0，E{vkvj}=Rδkj，R為vk的方差；

D5：隨機(jī)序列{mk}、{wk}、{vk}及初始狀態(tài)x0統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

其中δkj是克羅內(nèi)克函數(shù)：

1.2 傳遞函數(shù)模型

引入單位滯后算子q-1，q-1xk+1=xk。同理可得單位超前算子q，xk+1=qxk。因此，可將系統(tǒng)(1)、(2)中所描述的狀態(tài)空間模型變形為以下傳遞函數(shù)模型：

yk=G(q)rk+Uk

(3)

Uk=mkC(qI-A)-1Ewk+vk；

1.3 參數(shù)故障描述

若系統(tǒng)發(fā)生參數(shù)故障，則引起(3)式中所用來(lái)描述傳遞函數(shù)G(q)的{ai}和{bi}序列發(fā)生變化，即

{ai}≠{ai0}或{bi}≠{bi0}。

其中{ai0}和{bi0}為系統(tǒng)未發(fā)生故障時(shí)的參數(shù)。

2 帶乘性噪聲系統(tǒng)的常增益最優(yōu)濾波

若系統(tǒng)滿(mǎn)足1.1中所描述的D1～D5，則有

引理1[9]對(duì)于完全能控能觀的定常系統(tǒng)(1)、(2)，若系統(tǒng)矩陣A漸近穩(wěn)定及確定性輸入為0，則存在唯一正定矩陣Pe，當(dāng)k→∞，恒有Pk/k-1→Pe。

引理2[9]對(duì)于任意穩(wěn)定定常系統(tǒng)(1)、(2)，若確定性輸入為0必存在唯一正定矩陣S，當(dāng)k→∞，恒有Sk→S。

由引理1、2可得如下定理：

定理1 若(1)、(2)所描述的定常系統(tǒng)完全能控能觀且穩(wěn)定，則可為其設(shè)計(jì)如下的常增益最優(yōu)濾波器：

(4)

證明 由文獻(xiàn)[7]得，若(1)、(2)所描述的定常系統(tǒng)滿(mǎn)足1.1中的條件D1～D5以及確定性輸入為0，則有如下線(xiàn)性最小方差狀態(tài)濾波遞推算法：

因?yàn)樵撓到y(tǒng)完全能控能觀且穩(wěn)定，由引理1和2，當(dāng)k→∞時(shí)：

Pk+1/k=Pk/k-1=P，Sk+1=Sk=S，Kk+1=Kk=K。

根據(jù)常增益濾波理論，即用穩(wěn)態(tài)增益來(lái)代替瞬時(shí)增益，則有

3 濾波新息的變化及檢測(cè)方法

在實(shí)際系統(tǒng)中，狀態(tài)的真實(shí)值往往是未知的。根據(jù)濾波理論，新息

(5)

是反映當(dāng)前系統(tǒng)最為有力的信息，為此可以從新息出發(fā)，構(gòu)建出一套參數(shù)故障檢測(cè)的算法。

3.1 故障發(fā)生前后濾波新息的變化

(1)、(2)和(3)式所描述系統(tǒng)中的A、B和C為實(shí)際運(yùn)行中的參數(shù)，而常增益濾波中的參數(shù)A0、B0和C0為系統(tǒng)未發(fā)生故障時(shí)的參數(shù)。

定理2 若系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與常增益濾波滿(mǎn)足(1)～(5)式，則k時(shí)刻的新息為

證明 引入單位超前算子q，使得xk+1=qxk。由(4)式變形可得

將上式代入(5)式，可得

(6)

其中

因?yàn)榘丫仃嚨哪骋恍械膠倍加到另一行不會(huì)改變矩陣行列式的值，故可將上式的第二行乘以K與第一行相減，可得

(7)

(8)

由(6)、(7)和(8)式得

(9)

由(3)式得

將上式代入(9)式得

3.2 參數(shù)故障檢測(cè)方法

由定理2得，在故障發(fā)生之前，ΔG(q)在0附近波動(dòng)，新息序列可以看成只包含單純?cè)肼曧?xiàng)；在故障發(fā)生之后，ΔG(q)發(fā)生突變，新息序列由單純的噪聲項(xiàng)轉(zhuǎn)變?yōu)閰?shù)變化部分與噪聲項(xiàng)之和。因此可以使用能量檢測(cè)器[10]來(lái)進(jìn)行參數(shù)故障的診斷，檢測(cè)函數(shù)如下：

其中:k為當(dāng)前時(shí)刻；j為數(shù)值長(zhǎng)度，一般4

假設(shè)H0表示系統(tǒng)參數(shù)無(wú)故障，H1表示發(fā)生故障，則故障檢測(cè)器可以表示為

其中Testth是人為選定的閾值。

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

對(duì)所提出的參數(shù)故障診斷算法進(jìn)行了大量的仿真研究，下面本文給出2個(gè)仿真實(shí)例。

由上文知，針對(duì)上述系統(tǒng)，若參數(shù)故障發(fā)生，則表現(xiàn)為α1、α2、α3、α4的值發(fā)生變化。

實(shí)例1 在t=500時(shí)產(chǎn)生故障，在t=750時(shí)故障消失；產(chǎn)生故障時(shí)，將α1的值突變?yōu)?.5，其余參數(shù)不變。

圖1中曲線(xiàn)代表檢測(cè)函數(shù)的變化規(guī)律。根據(jù)未發(fā)生故障時(shí)的指標(biāo)波動(dòng)，將閾值取為0.2。從圖中可以看出，在t=500故障出現(xiàn)時(shí)，檢測(cè)函數(shù)數(shù)值迅速增加到故障閾值以上；在t=750故障消失時(shí)，檢測(cè)函數(shù)數(shù)值能夠迅速降到故障閾值以下。

圖1 參數(shù)故障檢測(cè)指示圖

實(shí)例2 在t=300時(shí)產(chǎn)生故障，在t=600時(shí)故障消失；產(chǎn)生故障時(shí)，將α4的值突變?yōu)?.8，其余參數(shù)不變。

圖2 參數(shù)故障檢測(cè)指示圖

圖2中曲線(xiàn)代表檢測(cè)函數(shù)的變化規(guī)律。根據(jù)未發(fā)生故障時(shí)的指標(biāo)波動(dòng)，將閾值取為0.2。從圖中可以看出，在t=300故障出現(xiàn)時(shí)，檢測(cè)函數(shù)數(shù)值迅速增加到故障閾值以上；在t=600故障消失時(shí)，檢測(cè)函數(shù)數(shù)值能夠迅速降到故障閾值以下。

由實(shí)例1和2可以看出，故障閾值是按照未發(fā)生故障時(shí)的指標(biāo)波動(dòng)人為選定的。在故障發(fā)生后，本文設(shè)計(jì)的檢測(cè)指標(biāo)能夠在4～5個(gè)時(shí)刻內(nèi)迅速增加到閾值以上，響應(yīng)靈敏；在故障消失后的4～5個(gè)時(shí)刻內(nèi)，指標(biāo)能夠迅速回落到閾值以下。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)一類(lèi)完全能控能觀且穩(wěn)定的帶乘性噪聲系統(tǒng)，根據(jù)常增益最優(yōu)濾波理論，研究了在參數(shù)故障發(fā)生之后濾波新息的變化規(guī)律，即由故障發(fā)生前的單純?cè)肼曧?xiàng)轉(zhuǎn)變成參數(shù)變化部分與噪聲項(xiàng)之和，并設(shè)計(jì)了故障檢測(cè)器。大量的仿真結(jié)果表明，該故障檢測(cè)器能夠快速準(zhǔn)確的檢測(cè)出故障的發(fā)生及消失。

[1] 褚東升, 董琦, 張玲. 帶乘性噪聲系統(tǒng)的傳感器故障檢測(cè)方法 [J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 43(4): 112-116.

[2] 褚東升, 滕梓潔, 張玲. 基于濾波器的一類(lèi)帶乘性噪聲系統(tǒng)的執(zhí)行器故障檢測(cè)與估計(jì)方法 [J]. 中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 43(6): 093-097.

[3] Rajamani Doraiswami, Lahouari Cheded. A unified approach to detection and isolation of parametric faults using a Kalman filter residual-based approach [J]. Journal of the Franklin Institute, 2013, 350(5): 938-965.

[4] Rolf Isermann. Model-based fault-detection and diagnosis-status and applications [J]. Annual Reviews in Control, 2005, 29(1): 71-85.

[5] 周東華, 胡艷艷. 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的故障診斷技術(shù) [J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2009, 35(6): 748-758.

[6] Doraiswami R, Cheded L. Kalman filter for parametric fault detection: an internal model principle-based approach [J]. IET Control Theory and Applications, 2012, 6(5): 715-725.

[7] Zhang Ling, Zhang Xian-Da. An optimal filtering algorithm for systems with multiplicative/additive noises [J]. IEEE Signal Processing Letters, 2007,14(7): 469-472.

[8] Dionisio Bernal. Kalman filter damage detection in the presence of changing process and measurement noise [J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2013, 39(1-2): 361-371.

[9] 褚東升, 寧云磊, 張玲. 帶乘性噪聲系統(tǒng)狀態(tài)濾波的自適應(yīng)算法 [J]. 中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2011, 41(12): 109-113.

[10] Steven M， Kay， 羅鵬飛, 張文明, 等. 統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理基礎(chǔ)——估計(jì)與檢測(cè)理論 [M]. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2011: 563-590.

責(zé)任編輯 陳呈超

Study of Parametric Fault Detection Method Based on Systems with Multiplicative Noise

CHU Dong-Sheng, LI Xing-Guo, ZHANG Ling
(College of Engineering, Ocean University of China, The Key Laboratory of Marine Mechanical and Electrical Equipment
& Instruments of Shandong Provincial Universities, Qingdao 266100, China)

In order to improve the reliability and security of the system operation, fault detection (FD) technology has become an indispensable part of the technical process. All faults can be classified as either additive faults or multiplicative faults. Additive faults appear, e.g., as offsets of sensors, whereas multiplicative faults are parameter changes within a process. In this paper, a new parametric fault model based on systems with multiplicative noise is proposed. Based on the constant gain filter, the authors study the relation between parametric fault and the residual. Based on the change rule of the residual before and after the fault happens, a new FD method is proposed. Simulation results show that the method can efficiently identify the fault point.

fault detection; multiplicative noise; optimal filter; constant gain

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51279185；61132005)資助

2013-11-12；

2014-03-10

褚東升(1956-)，男，博士，教授，主要研究方向：智能控制與智能信息處理。E-mail：122650112@qq.com

TP227

A

1672-5174(2015)08-103-04

10.16441/j.cnki.hdxb.20130459