李美然, 劉新國(guó)(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

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求解極大相關(guān)問(wèn)題的對(duì)偶方法?

李美然, 劉新國(guó)
(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

多組變量間的極大相關(guān)問(wèn)題(MCP)有重要統(tǒng)計(jì)應(yīng)用。目前已有的求解MCP的算法都不能保證獲得MCP的全局解。本文通過(guò)求解MCP的對(duì)偶問(wèn)題，給出了一種改進(jìn)的Lagrange對(duì)偶方法。最后，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明了新方法能提高收斂到全局解的可能性。

極大相關(guān)問(wèn)題；多元特征值問(wèn)題；Lagrange對(duì)偶；強(qiáng)對(duì)偶；全局解；收斂性

0 引言

多組變量的極大相關(guān)問(wèn)題(Maximal correlation problem,MCP)是經(jīng)典的典型相關(guān)分析(Canonical correlation analysis,CCA)[1-2]的自然推廣，已被廣泛用于聚類分析、數(shù)據(jù)分析、模式識(shí)別、主成份分析以及動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析等問(wèn)題中。

這里，Aii∈Rni×ni，求解

(1)

其中

使用Lagrange乘子法可知，x∈Σm為MCP(1)的解的必要條件為：存在實(shí)數(shù)λ1,…,λm，使得：

Ax=Λx；

Λ=diag(λ1In1,…,λmInm)。

(2)

式(2)稱為多元特征值問(wèn)題(MEP)[3]。若(Λ,x)滿足(2)，則稱(Λ,x)為MEP(2)的一個(gè)解。Chu和Watterson[3]。

注意到(1)是一類具約束的非線性最優(yōu)化問(wèn)題。AVM方法是常用的坐標(biāo)下降法[12-13]的自然推廣。自然地,可以考慮應(yīng)用其它的最優(yōu)化方法求解MCP(1)。本文分析求解(1)的對(duì)偶方法。本文以下內(nèi)容組織如下。在第二節(jié)，給出(1)的對(duì)偶形式,并使用對(duì)偶方法求解(1)。由于m≥3時(shí)(1)與其Lagrange對(duì)偶問(wèn)題之間不是強(qiáng)對(duì)偶的，因此，給出了一種改進(jìn)的對(duì)偶方法；最后，關(guān)于對(duì)偶方法做了大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，對(duì)偶方法能有效地獲得MCP的全局解。

1 對(duì)偶方法

首先，將給出MCP(1)的Lagrange對(duì)偶問(wèn)題。注意MCP(1)等價(jià)于下述最優(yōu)化問(wèn)題(見Sun[6])：

(3)

易知，(3)的Lagrange對(duì)偶問(wèn)題為：

(4)

這里，Λ=diag(λ1I1,…,λmIm)，若令Fi=diag(0,…,0,Ini,0,…,0)∈Rn×n，則(4)可以改寫為：

(5)

顯然，(5)是標(biāo)準(zhǔn)的半定規(guī)劃問(wèn)題，可以使用內(nèi)點(diǎn)法求解，且已有較好的軟件包，例如，Sedumi[14]，SDSP[15]。

(Λ*-A)x=0。

(6)

如果(6)存在解x*∈Σm，那么，由Hanafi和Ten Berge[8]的結(jié)果可知，x*就是MCP(1)的一個(gè)全局解，此時(shí)(5)與(3)是強(qiáng)對(duì)偶的，也就是MCP(1)與(5)強(qiáng)對(duì)偶。

命題1Λ*-A是奇異的。

算法1 (Modified Dual Method，MDM)

第二步 計(jì)算Λ*-A的最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量

第三步 如果‖xj‖2≥1-ε0(這里ε0為某一給定的小正數(shù))，j=1,2…,m，則x*為MCP的全局解，停機(jī)，否則執(zhí)行下一步；

對(duì)于上述算法有以下幾點(diǎn)說(shuō)明：

其中vi是Aii對(duì)應(yīng)最大特征值的單位特征向量。

其次，正如引言所指出的，如果m=2或者m≥3且A為正矩陣，那么，Hanafi和Ten Berge[8,Result 5]表明：(3)與(5)是強(qiáng)對(duì)偶的，此時(shí)算法1中的Step(4)理論上是不必要的，即x*是MCP(1)的全局解。

第三，對(duì)于m≥3且A為一般的正定矩陣時(shí)，算法1的本質(zhì)是：若(3)與(5)是強(qiáng)對(duì)偶的，則Step(3)結(jié)束后即可獲得MCP(1)的全局解；若(3)與(5)不是強(qiáng)對(duì)偶的，即(6)沒(méi)有解x*∈Σm，此時(shí)對(duì)偶方法為對(duì)稱G-S或AVM迭代法提供一種初始迭代策略。

(7)

令

(8)

(9)

已知，對(duì)對(duì)稱G-S及AVM方法而言目前已有的理論無(wú)法保證獲得MCP(1)的全局最大點(diǎn)，已有的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明[16-17]，恰當(dāng)?shù)剡x擇初始迭代點(diǎn)不但可以提高Horst方法、G-S方法及P-SOR方法的收斂速度，而且可以提高獲取(1)的最優(yōu)解的可能性。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本文的數(shù)值實(shí)驗(yàn)是在Matlab7.6.0環(huán)境下完的，而且所用的矩陣A按如下2種方式形成：

首先，對(duì)上述2種方式形成的矩陣A做了充分的實(shí)驗(yàn)，分別統(tǒng)計(jì)了MCP與其Lagrange對(duì)偶問(wèn)題強(qiáng)對(duì)偶的概率。結(jié)果表明：矩陣A=DBTBD對(duì)應(yīng)的MCP與其Lagrange對(duì)偶問(wèn)題都是強(qiáng)對(duì)偶的,并且強(qiáng)對(duì)偶性與m和整數(shù)集p的取值無(wú)關(guān)(統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中常出現(xiàn)這類矩陣)；而對(duì)于方式二形成的矩陣并非都是強(qiáng)對(duì)偶的(見表1)，只有當(dāng)m=2時(shí)全是強(qiáng)對(duì)偶的，而且隨著m的增大，強(qiáng)對(duì)偶的概率減??；并且隨著m和n的增大，平均花費(fèi)時(shí)間增加，即，算法收斂速度變慢。

表1 強(qiáng)對(duì)偶的概率

由于MCP的Lagrange對(duì)偶問(wèn)題是半定規(guī)劃，并且已有較好的求解軟件，因此，對(duì)于方式一中形成的矩陣A，可以通過(guò)求解其對(duì)偶問(wèn)題來(lái)獲得MCP的全局解；而對(duì)于方式二中對(duì)應(yīng)的非強(qiáng)對(duì)偶的情形，用改進(jìn)的對(duì)偶方法(MDM)進(jìn)行求解(見表2)，并統(tǒng)計(jì)此時(shí)獲得全局解的可能性。

表2 獲得全局解的可能性

表2中的結(jié)果表明，改進(jìn)的對(duì)偶方法對(duì)于獲得MCP的全局解有改進(jìn)，但對(duì)于困難問(wèn)題仍不保證得全局解。

其次，為了更好的了解對(duì)偶方法對(duì)獲得全局解的改進(jìn)，給出幾個(gè)已知全局解的例子進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。

例1 取自[8]

m=3,p={2,2,2},ρ(x*)=378.9624。

例2 取自Chu和Watterson[3]

m=2,p={2,3},ρ(x*)=14.7302。

例3 取自Xu[17]

m=3,p={3,3,4},ρ(x*)=103.6819。

例4 取自Zhang,Liao and Sun[18]

m=3,p={1,1,1},ρ(x*)=14.000。

對(duì)上述給定的例子，利用Sedumi軟件求解其MCP的對(duì)偶問(wèn)題，比較MCP與其對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)值(Table3)。

表3 最優(yōu)值的比較

根據(jù)上述結(jié)果，可以清楚地看到，例2和3對(duì)應(yīng)的MCP與其對(duì)偶問(wèn)題是強(qiáng)對(duì)偶的，那么我們可以通過(guò)求解其對(duì)偶問(wèn)題得到MCP的全局最優(yōu)解；而例1和4的MCP與其對(duì)偶問(wèn)題是弱對(duì)偶的，并且此時(shí)利用修改的對(duì)偶方法(MDM)可獲得MCP的全局最優(yōu)解和全局最優(yōu)值。

表4 對(duì)偶差

若MCP與其對(duì)偶問(wèn)題是強(qiáng)對(duì)偶的，則此時(shí)μ為零，即對(duì)偶問(wèn)題的解是MCP的解；而當(dāng)非強(qiáng)對(duì)偶時(shí)(表4)，μ的值不大，那么在一定的精度下，可以把對(duì)偶問(wèn)題的解作為MCP的近似解；而此時(shí)若用改進(jìn)的對(duì)偶方法求解MCP，則可以有效地獲得MCP的全局解。

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AMS Subject Classification: 62H20

責(zé)任編輯 陳呈超

A Dual Method for the Maximal Correlation Problem

LI Mei-Ran， LIU Xin-Guo
(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

The maximal correlation problem aiming at assessing the relationship between sets of variables plays a very important role in many areas of statistical application. Currently, several algorithms for the global maximizer of the MCP have been proposed, but they can not guarantee convergence to a global solution. In the present paper,by solving the dual problem of the MCP, a modified Lagrange dual method is proposed. Numerical experiments demonstrate the new algorithm can increase the probability of finding a global maximizer.

maximal correlation problem； multivariate eigenvalue problem； lagrange dual； strong dual； global maximizer； convergence

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11371333)資助

2013-10-12；

2014-05-10

李美然(1988-)，女，碩士生。E-mail：limeiran5211314@126.com

O212.4

A

1672-5174(2015)08-128-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20130323