馮　娟，汪冬亮，范　克，胡　煜

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心,北京 100083)

天平振動(dòng)的研究

馮娟，汪冬亮，范克，胡煜

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心,北京 100083)

摘要：根據(jù)力矩平衡關(guān)系，討論了天平的振動(dòng)規(guī)律. 通過(guò)測(cè)量天平的感度和振動(dòng)周期，考查了天平的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、重心位置等參量，分析了天平感度隨稱(chēng)量量的變化規(guī)律，加深了對(duì)天平的認(rèn)識(shí).

關(guān)鍵詞：天平；感度；周期；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1方法原理

天平是測(cè)量物體質(zhì)量的常用儀器. 在討論天平時(shí)，通常假定3個(gè)刀口(兩側(cè)刀口和中間刀口)在同一水平面上[1-2]，如圖1所示. 設(shè)天平臂長(zhǎng)為l，橫梁的重心C到中間刀口B0的距離為h，L為中間刀口B0到底部標(biāo)尺的距離，橫梁的質(zhì)量為m0，g為重力加速度. 當(dāng)天平兩側(cè)的負(fù)載分別為m和m+Δm時(shí)，指針向負(fù)載m側(cè)偏轉(zhuǎn). 如果Δm不是太大，偏轉(zhuǎn)角為φ時(shí)又達(dá)到新的平衡，有

mglcosφ+m0ghsinφ=(m+Δm)glcosφ,

整理后，可得

實(shí)際上,天平的3個(gè)刀口不可能在同一平面上，如圖2所示[3]. 設(shè)中間刀口B0到兩側(cè)刀口B1和B2平面的距離為λ，∠B0B1B2=θ，兩側(cè)負(fù)載合力的作用點(diǎn)不在B0，這時(shí)又產(chǎn)生新的恢復(fù)力矩2mgλsinφ，即

Δmglcos (θ+φ)=m0ghsinφ+2mgλsinφ,

圖1　理想天平平衡示意圖

由于實(shí)際上θ?φ，cos (θ+φ)≈cosφ，所以

(1)

式中m是秤盤(pán)質(zhì)量m1和砝碼質(zhì)量m2之和. 從(1)式可以看出，天平偏轉(zhuǎn)角φ不僅和差額質(zhì)量Δm有關(guān)，而且也和天平的負(fù)載有關(guān).

圖2　實(shí)際天平平衡示意圖

設(shè)指針偏轉(zhuǎn)角度φ時(shí)，指針在底部標(biāo)尺上移過(guò)的距離為s有

(2)

將(2)式代入(1)式，可得

(3)

(4)

天平振動(dòng)時(shí)近似為復(fù)擺(嚴(yán)格講，托盤(pán)與橫梁間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，不能看成剛體)，振動(dòng)周期T應(yīng)當(dāng)?shù)扔?/p>

(5)

式中,I為天平對(duì)支點(diǎn)B0的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，I由2部分組成，即天平梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0、秤盤(pán)和砝碼的等效近似轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 現(xiàn)將秤盤(pán)和砝碼均簡(jiǎn)化為橫梁一端的質(zhì)點(diǎn)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫(xiě)為2(m1+m2)l2+λ2，λ遠(yuǎn)小于l，取近似式則有

I=I0+2(m1+m2)l2.

又設(shè)I01=I0+2m1l2，它是梁和秤盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，因而

I=I01+2m2l2,

(6)

綜合(4)~(6)式可得

(7)

(8)

制造天平時(shí)總希望R與m2無(wú)關(guān)，即盡量使λ(來(lái)源于制造誤差)最小.RT2和R與砝碼質(zhì)量m2均呈線(xiàn)性關(guān)系：

(9)

由(9)式可知，測(cè)量出不同砝碼質(zhì)量m2對(duì)應(yīng)的感度R及振動(dòng)周期T，則可解方程組(9)，求出參量A,B,A1,B1；再根據(jù)(7)式和(8)式以及測(cè)出的L,l,m0和m1，就可求出：

1) 空載感度R0，即A1;

2實(shí)驗(yàn)方案

實(shí)驗(yàn)裝置圖如圖3所示[2].

圖3　測(cè)量天平振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置圖

2.1　測(cè)量常量

中間刀口到標(biāo)尺距離L,力臂長(zhǎng)度l,梁的質(zhì)量m0,秤盤(pán)的質(zhì)量m1,指針標(biāo)尺的長(zhǎng)度20a(a為1 div寬度).

2.2　測(cè)量振動(dòng)周期T和感度R

測(cè)出當(dāng)m2(兩側(cè)盤(pán)上加同樣砝碼)等于0時(shí)的振動(dòng)周期T和感度R，然后在左盤(pán)加入Δm=10 mg的砝碼，測(cè)出此時(shí)的振動(dòng)周期T和感度R，記錄數(shù)據(jù). 改變m2分別為20,40,60,80,100 g，重復(fù)上述操作.

3數(shù)據(jù)分析

測(cè)出梁的質(zhì)量m0=131.40 g；臂長(zhǎng)l=11.83 cm；秤盤(pán)的質(zhì)量m1=119.80 g；中間刀口到標(biāo)尺的距離L=24.11 cm. 周期和感度的測(cè)量數(shù)據(jù)如表1 和表2所示.

表1　周期和感度的測(cè)量

R，RT2與砝碼質(zhì)量m2的關(guān)系如圖4~5所示. 由圖可以看出，除部分點(diǎn)偏差較大以外，R,RT2與m2呈線(xiàn)性相關(guān). 引起誤差的原因主要是周期和停點(diǎn)測(cè)量不準(zhǔn)確. 通過(guò)直線(xiàn)擬和可求出：

A=1.354 6 g·s2/cm，B=0.002 4 s2/cm,

A1=0.011 9 g/cm，B1=8.9×10-6cm-1.

最后求出：

R0= 0.011 9 g/cm,

I01=1.60×105g·cm2,

λ=0.001 3 cm,h= 0.023 5 cm.

由R-m2曲線(xiàn)圖可知，隨著m2增加，感度近似呈線(xiàn)性緩慢增加， 故靈敏度隨著質(zhì)量的增加而減小. 空載感度最大，R0= 0.011 9 g/cm. 天平的感度還與重心位置有關(guān)，本文所用天平的重心位置在中間刀口B0下方h=0.023 5 cm處. 調(diào)節(jié)重心螺絲(感量砣)，可以改變和校準(zhǔn)感度. 一般負(fù)載越輕，橫梁越輕，重心越高，靈敏度越高. 中間刀口B0到兩側(cè)刀口B1和B2平面有一微小的距離λ=0.001 3 cm，λ來(lái)源于制造誤差，是儀器本身的固有缺陷.

圖5　RT2-m2圖

4結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)力矩平衡關(guān)系，分析了天平的機(jī)械振動(dòng)規(guī)律. 通過(guò)測(cè)量天平的感度和振動(dòng)周期，考查了天平的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、重心位置等參量，分析了天平感度隨稱(chēng)量量的變化規(guī)律，加深了對(duì)天平的認(rèn)識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]周惟公. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M]. 北京: 高等教育出版社,2009.

[2]華中工學(xué)院,天津大學(xué),上海交通大學(xué). 物理實(shí)驗(yàn)[M]. 北京:高等教育出版社,1981.

[3]楊述武. 普通物理實(shí)驗(yàn)[M]. 北京：高等教育出版社，2002.

[責(zé)任編輯：郭偉]

Research on vibration of balance

FENG Juan, WANG Dong-liang, FAN Ke, HU Yu

(Demonstration Center of Physics Experiment， China University of Geosciences， Beijing 100083， China)

Abstract:According to the torque balance equation, the vibration of balance was discussed. By measuring the sensitivity of the balance and the period of the vibration, the moment of inertia and the center of gravity were examined. The dependence of the sensitivity on weigh was analyzed and the understanding about balance was deepened.

Key words:balance; sensitivity; vibration period; moment of inertia

中圖分類(lèi)號(hào)：O312.2;TH715.11

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-4642(2015)04-0025-03

作者簡(jiǎn)介：馮娟(1976-)，女，山東德州人，中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心講師，博士研究生，主要從事實(shí)驗(yàn)物理教學(xué)和應(yīng)用地球物理學(xué)領(lǐng)域的研究.

收稿日期：2014-06-20；修改日期：2014-09-14

“第8屆全國(guó)高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)”論文

資助項(xiàng)目：2012年中國(guó)地質(zhì)大學(xué)教學(xué)研究與教學(xué)改革項(xiàng)目資助(No.JGYB-201233)