潘元璋 趙龍龍

(91388部隊(duì)93分隊(duì) 湛江 524000)

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一種永磁電機(jī)空載氣隙磁場(chǎng)解析計(jì)算方法*

潘元璋 趙龍龍

(91388部隊(duì)93分隊(duì) 湛江 524000)

論文以氣隙中一對(duì)載流線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)為基礎(chǔ),利用等效面電流法推導(dǎo)出了平行充磁永磁電機(jī)空載時(shí)的氣隙磁密的解析計(jì)算公式。在考慮定子開槽的情況下,利用許-克變換構(gòu)造了氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù),給出了定子開槽時(shí)空載氣隙磁密分布的解析計(jì)算方法。并對(duì)比了永磁電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的解析計(jì)算結(jié)果與二維有限元法的計(jì)算結(jié)果,對(duì)比結(jié)果顯示兩者的波形和大小吻合很好,證明了解析計(jì)算方法是準(zhǔn)確可靠的,同時(shí),解析據(jù)算法在計(jì)算機(jī)上容易實(shí)現(xiàn),該方法為永磁電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和性能分析提供了基本的分析手段。

永磁電機(jī); 氣隙磁場(chǎng); 面電流法; 解析計(jì)算

Class Number TM341

1 引言

永磁電機(jī)相對(duì)傳統(tǒng)感應(yīng)電機(jī),以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、重量體積小、效率高、振動(dòng)噪聲低等優(yōu)點(diǎn),得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用,特別是隨著艦艇,UUV、魚雷等水下武器裝備的迅猛發(fā)展,對(duì)電機(jī)的振動(dòng)噪聲和功質(zhì)比(功率質(zhì)量比)等方面提出了非常苛刻的要求,而永磁電機(jī)所表現(xiàn)出來(lái)的明顯優(yōu)勢(shì)必將成為電機(jī)行業(yè)的佼佼者。準(zhǔn)確的計(jì)算永磁電機(jī)氣隙內(nèi)的磁場(chǎng)分布是對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)以及性能分析工作的先決條件,國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)永磁電機(jī),特別是對(duì)磁場(chǎng)分布計(jì)算的各種方法進(jìn)行了較深的研究[1～5]。

有限元數(shù)值計(jì)算方法可以準(zhǔn)確計(jì)算出電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的分布,具有通用性強(qiáng)、適用媒質(zhì)多樣的特點(diǎn)[6]。但因其對(duì)使用者有較高的專業(yè)技術(shù)要求且前處理過(guò)程繁雜、計(jì)算時(shí)間偏長(zhǎng)而不易采用。解析計(jì)算法能夠較為準(zhǔn)確地計(jì)算電機(jī)氣隙磁場(chǎng)分布的同時(shí)又可以直觀反映電機(jī)氣隙磁場(chǎng)分布與其本體結(jié)構(gòu)尺寸之間的關(guān)系[7～8],故該方法的工程實(shí)用價(jià)值較大。本文以表面貼磁式永磁電機(jī)為研究對(duì)象,首先考慮定子無(wú)槽情況下,推導(dǎo)得出其氣隙磁場(chǎng)的解析計(jì)算公式;而后考慮定子開槽情況,構(gòu)造氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)來(lái)擬合因開槽對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響;最后用二維有限元法驗(yàn)證了解析方法是正確可靠的。為永磁電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和性能分析提供了基本的分析手段。

2 定子表面光滑時(shí)氣隙磁場(chǎng)計(jì)算

考慮垂直于電機(jī)軸的平行平面場(chǎng),此時(shí)電流密度以及矢量磁位只在z軸方向有分量。穩(wěn)態(tài)情況下,平面場(chǎng)域Ω上的電磁場(chǎng)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化到了二維空間,可以用直角坐標(biāo)系描述,其矢量磁位滿足泊松方程[9～10]:

(1)

式中μ0=1/ν為磁導(dǎo)率(ν為磁阻率),Az為z軸方向的矢量磁位,J(x,y)為源電流密度,Ht為磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量,S1為第一類邊界條件,S2為第二類邊界條件。

2.1 氣隙中一對(duì)載流線圈的磁場(chǎng)

假設(shè)電機(jī)鐵磁材料的磁導(dǎo)率μFe=∞,一對(duì)線圈放置在氣隙中,由兩條有效邊A和B組成,如圖1所示,把每條邊產(chǎn)生的矢量磁位疊加,即可得出整個(gè)線圈在電機(jī)氣隙中所產(chǎn)生的磁場(chǎng)[5]。

圖1 氣隙中一對(duì)載流線圈

在載流線圈以外的區(qū)域有J(r,θ)=0,考慮邊界條件求解方程(1)可得到電機(jī)氣隙中一對(duì)載流線圈在氣隙中任一點(diǎn)P(r,θ)的矢量磁位為

(2)

通常在表面貼磁式永磁電機(jī)中,定子側(cè)開有若干槽,線圈作為繞組放置在槽內(nèi),經(jīng)過(guò)修正可近似認(rèn)為繞組嵌放在定子內(nèi)表面上(即徑向距離r=Rs),由此可推導(dǎo)出一對(duì)載流線圈在定子內(nèi)表面處的徑向磁密為

(3)

式中,Kym=sinmα為m次諧波的節(jié)距因數(shù)。

圖2 瓦片結(jié)構(gòu)永磁體一個(gè)磁極的結(jié)構(gòu)

2.2 多極永磁體產(chǎn)生的氣隙磁場(chǎng)

在表面貼磁式永磁電機(jī)中,永磁體通常采用瓦片形磁極結(jié)構(gòu),其結(jié)構(gòu)如圖2所示,P為永磁體的極對(duì)數(shù),2β為一塊永磁體的張角,hm為永磁體厚度,Rs為電機(jī)定子內(nèi)半徑,Rr為電機(jī)轉(zhuǎn)子外半徑。

瓦片形磁極有平行和徑向兩種充磁方式,考慮到平行充磁方式永磁體制作工藝簡(jiǎn)單,容易實(shí)現(xiàn),且應(yīng)用廣泛,而徑向充磁方式工藝上難以達(dá)到,因此分析平行充磁永磁體產(chǎn)生的氣隙磁場(chǎng)更有代表性和實(shí)用性。

永磁體平行充磁是指其磁化方向和瓦片形永磁體的中心線相平行,其磁化方向和永磁體等效面電流等效如圖3所示。

圖3 平行充磁時(shí)的永磁體面電流等效

由永磁體的等效面電流法可知,永磁體AB面與CD面的等效面電流大小相同但方向相反,電流密度大小可表示為

J1=Hccosβ

(4)

同樣的,沿AD和BC面面電流密度可表示為

J2=Hccosξ

(5)

式中ξ為AD或BC上任意一點(diǎn)與永磁體中心線的機(jī)械夾角。

考慮同心瓦片形永磁體平行充磁時(shí)AB_CD段等效面電流在電機(jī)氣隙中產(chǎn)生的磁場(chǎng)可表示為

(6)

BC段等效面電流產(chǎn)生的氣隙磁密可表示為

(7)

在Cm中,b=Rr+hm;

AD段面電流產(chǎn)生的氣隙磁密可表示為

(8)

由以上推導(dǎo)可得出單塊永磁體在電機(jī)定子內(nèi)表面產(chǎn)生的磁密B1(θ)可視為AB、CD、BC和AD各段的疊加,即:

B1(θ)=BAB_CD1(θ)+BBC1(θ)+BAD1(θ)

(9)

同理可以推導(dǎo)得出平行充磁時(shí)2P極永磁體的AB、CD、AD、BC各段在電機(jī)定子內(nèi)表面產(chǎn)生的磁密為

BAB_CD2P(θ)=

(10)

式(10)中A、Cm、Kpm和式(6)相同。

(11)

式(11)中A、Cm和式(7)相同。

BAD2P(θ)=

(12)

式(12)中A、Cm和式(8)相同。

于是多極(2p,p>1)瓦片形平行充磁永磁體在電機(jī)定子內(nèi)表面產(chǎn)生的磁密可表示為

B2P(θ)=BAB_CD2P(θ)+BBC2P(θ)+BAD2P(θ)

(13)

3 定子開槽時(shí)電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)計(jì)算

通常在永磁電機(jī)中,定子鐵心內(nèi)表面開有若干放置繞組的槽,轉(zhuǎn)子鐵心外表面可視為光滑。對(duì)于定子開槽的電機(jī),若其槽口寬度與槽距比較小,在分析氣隙中一個(gè)槽距內(nèi)的氣隙磁導(dǎo)變化時(shí),其相鄰槽對(duì)其的影響可忽略不計(jì),反之則不能忽略[5,10]。本文只討論定子開槽的槽口寬度與槽距比較小的情況,因而可采用圖4所示轉(zhuǎn)子鐵心表面光滑、定子鐵心單個(gè)槽時(shí)的物理模型進(jìn)行分析。為簡(jiǎn)化分析作如下假設(shè)[11]:

1) 電機(jī)定子鐵心單面開槽,轉(zhuǎn)子無(wú)槽(光滑);

2) 定子開槽的槽深認(rèn)為是無(wú)限深;

3) 電機(jī)鐵磁材料的磁導(dǎo)率μFe=∞,定子表面、轉(zhuǎn)子表面均為等標(biāo)量磁位面,分別為0和Ω0;

4) 電機(jī)中永磁體材料退磁曲線認(rèn)為是線性;

5) 貼于電機(jī)轉(zhuǎn)子表面的永磁體間的填充材料認(rèn)為與永磁體有相同的磁導(dǎo)率。

圖4 定子側(cè)開槽轉(zhuǎn)子光滑的物理模型

由假設(shè)條件可知電機(jī)定、轉(zhuǎn)子鐵心表面的標(biāo)量磁位差為Ω0,則利用許-克變換法可以得到永磁電機(jī)中氣隙、永磁體以及定子槽內(nèi)區(qū)域任意點(diǎn)的磁密值B,該方法可以求解諸多復(fù)雜的磁場(chǎng)問(wèn)題[5]。

圖5 電機(jī)定子單面開槽時(shí)氣隙磁場(chǎng)的變換

考慮多邊形的邊界面具有兩個(gè)不同的磁位值的情況,此時(shí)通常需要進(jìn)行兩次變換,如圖5所示,第一次變換將z平面上的多邊形區(qū)域和邊界變換為ω平面上的上半平面(包括橫軸),第二次變換是把ω平面上的映射變換到t平面上,進(jìn)而即可得到都是直線的等φm線和等φm線。

圖5(a)中z平面上原點(diǎn)o到z4點(diǎn)之間的線段代表的是平滑表面的一半,在這半段上面,文獻(xiàn)[5]中給出了該平滑面上的磁密函數(shù):

(14)

綜合以上的分析,對(duì)于定子側(cè)單面開槽結(jié)構(gòu)的永磁電機(jī),其氣隙磁密B的曲線可以通過(guò)如下方法繪制來(lái)繪制:以定子無(wú)槽時(shí)的電機(jī)氣隙磁密為基值,在電機(jī)定子開槽處所減少的磁密值可由式(15)所構(gòu)建的氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)擬合得到。忽略定子側(cè)開槽引起的齒槽效應(yīng)影響,則整個(gè)永磁電機(jī)的氣隙比磁導(dǎo)分布為周期為τ的周期函數(shù),表示為λ。

(15)

圖6 b0變化對(duì)氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)的影響

圖7 δ變化對(duì)氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)的影響

圖8 氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)

從上圖中,不難看到,在槽中心線處出現(xiàn)氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)的最小值,隨齒槽開槽寬度的增加,變化幅度變大;隨電機(jī)氣隙長(zhǎng)度的增加,變化幅度減小。圖8為一臺(tái)2極18槽永磁同步電動(dòng)機(jī)定子側(cè)單面開槽時(shí),結(jié)合和許-克變換得到的一個(gè)極下氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)波形圖。

4 解析法和有限元法計(jì)算結(jié)果比較分析

為了驗(yàn)證本文中計(jì)算模型的有效性,利用上述計(jì)算方法,對(duì)一臺(tái)2極18槽永磁同步電動(dòng)機(jī)的空載氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行了解析計(jì)算,該電機(jī)相關(guān)參數(shù)為:轉(zhuǎn)子外半徑Rr=28mm,極對(duì)數(shù)P=1,永磁體厚度hm=6.5mm,永磁體張角2α=180°,矯頑力Hc=935000A/m,定子內(nèi)半徑Rs=36mm,槽距τ=12.56mm,槽口寬b0=2.5mm。同時(shí)利用二維有限元對(duì)其進(jìn)行計(jì)算,兩者結(jié)果比對(duì)如圖9所示。

圖9 永磁同步電動(dòng)機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布

圖9中氣隙磁密分布波形中含有較大的齒波紋,波形上凸處對(duì)應(yīng)定子齒的位置,波形下凹處對(duì)應(yīng)定子槽的位置。從圖中的曲線可看出解析法計(jì)算出的磁密波形和有限元法的磁密波形基本吻合,可以滿足一般性的工程要求,證明了本文提出的解析計(jì)算方法是準(zhǔn)確的、可靠的。

5 結(jié)語(yǔ)

本文基于面電流法推導(dǎo)了表面貼磁式平行充磁永磁電機(jī)定子無(wú)槽時(shí)氣隙磁場(chǎng)的解析計(jì)算公式;并結(jié)合許-克變換提出了考慮定子開槽情況下永磁電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的解析計(jì)算方法,該方法可以簡(jiǎn)捷快速地求解出永磁電機(jī)空載氣隙磁場(chǎng)的分布波形;同時(shí)利用二維有限元的數(shù)值結(jié)果證明了該解析計(jì)算方法的正確性和可靠性。該解析算法可為永磁電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和性能分析提供可靠的手段。

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An Analytical Calculation Method of No-load Air-Gap Magnetic Field of Permanent Magnet Motor

PAN Yuanzhang ZHAO Longlong

(Unit 93, No. 91388 Troops of PLA, Zhanjiang 524000)

Based on the magnetic field which is produced by a pair of windings on the air-gap, the calculating formulas of the unloaded air-gap flux density generated by parallel-magnetized permanent magnet are conducted with surface current method. Considering the slots in stator core,based on the method of the Schwarz-Christoffel transformation, this paper presents an air-gap relative specific permeance function, calculating the results of no-load air-gap magnetic field when take slots in stator core into account. Compared with the result derived from the 2D finite element method, the analytical method proposed is confirmed, at the same time, the analytical method is much easier achieved through computer. The presented work may act as a basic tool for optimizing design and performance analysis of permanent magnet motors.

permanent magnet motor, air-gap magnetic field, surface current method, analytical calculation

2014年10月9日,

2014年11月24日

潘元璋,男,碩士研究生,助理工程師,研究方向:水下靶標(biāo)技術(shù)。趙龍龍,男,碩士,高級(jí)工程師,研究方向:水下靶標(biāo)技術(shù)。

TM341

10.3969/j.issn1672-9730.2015.04.044