劉習(xí)軍， 相林杰， 張素俠

(1. 天津大學(xué)機械工程學(xué)院 天津， 300072)(2. 天津市非線性動力學(xué)與混沌控制重點實驗室 天津, 300072)

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基于小波分析的簡支梁橋損傷識別*

劉習(xí)軍1,2， 相林杰1,2， 張素俠1,2

(1. 天津大學(xué)機械工程學(xué)院 天津， 300072)(2. 天津市非線性動力學(xué)與混沌控制重點實驗室 天津, 300072)

提出了基于小波子帶信號能量曲率變化的損傷識別方法。分別對完好和損傷狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)進行二進離散小波變換，通過信號子帶分解與重構(gòu)將響應(yīng)分解到不同頻帶，使疊加的模態(tài)響應(yīng)分離。定義了信號相對能量曲率差損傷指標(biāo)，利用該指標(biāo)對結(jié)構(gòu)的損傷進行識別定位。應(yīng)用此方法對一簡支梁橋進行損傷數(shù)值分析，結(jié)果表明：二進離散小波變換可以對結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)中疊加的多階模態(tài)信息進行有效分離；信號相對能量曲率差指標(biāo)可以對損傷進行有效識別，且不受激勵位置及荷載大小影響。最后通過模型實驗驗證了該方法的正確性及可行性。

簡支梁橋; 損傷識別; 小波變換; 能量曲率

引 言

橋梁結(jié)構(gòu)損傷識別是進行橋梁承載力評估以及制定維修、養(yǎng)護策略的重要前提。近年來，隨著小波分析理論的發(fā)展及其在機械、航空等領(lǐng)域的應(yīng)用，基于小波分析的橋梁結(jié)構(gòu)損傷識別方法得到了廣泛的研究。目前，國內(nèi)外相關(guān)研究的主要內(nèi)容有：a.將結(jié)構(gòu)位移模態(tài)、曲率模態(tài)等與小波變換相結(jié)合的損傷識別方法[1-3]； b.將小波變換與信息熵、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法相結(jié)合的損傷識別方法[4-6]； c.將結(jié)構(gòu)響應(yīng)進行小波包分解，利用分解后各頻段能量變化構(gòu)造損傷指標(biāo)。大量研究結(jié)果表明，小波包能量的變化對損傷非常敏感[7-11]。

通過分析結(jié)構(gòu)在沖擊激勵下振動響應(yīng)頻率成分及二進小波分解頻帶劃分規(guī)律，筆者采用二進離散小波變換對結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)進行子帶分解與重構(gòu)，定義信號相對能量曲率差損傷指標(biāo)，并對損傷進行識別定位。通過數(shù)值算例及模型實驗對該損傷識別方法的正確性和可行性進行了驗證。

1 基于小波分析的損傷識別理論及過程

1.1 小波分析理論簡介

小波分析是在傅里葉變換的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的

信號處理手段，在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力[12]。以3層分解為例，利用小波分析進行信號分解的樹形結(jié)構(gòu)及各子帶信號頻帶范圍如圖1所示。

圖1 信號的3層小波分解及頻帶劃分規(guī)律Fig.1 Wavelet decomposition and its frequency band partition theory

圖1中，F(xiàn)s為原始信號的采樣頻率?？梢娎眯〔▽π盘栠M行分解，是將信號分解成低頻和高頻各占一半帶寬的頻帶，但每次分解均只對低頻部分進行更深層次的分解，因此小波分解高頻部分分辨率較差。各子帶信號與原始信號具有如下關(guān)系

f(t)=an+dn+dn-1+…+d2+d1

(1)

其中：f(t)為原信號；a為低頻近似部分；d為高頻細(xì)節(jié)部分；n代表分解層次。

通過以上分析可知，對于一個給定的信號可以確定合適的分解層次，使所關(guān)心的頻率成分落入某一頻帶，從而進行提取作進一步分析。

1.2 小波分析的結(jié)構(gòu)損傷識別過程

1.2.1 小波分解的相對能量向量的構(gòu)造

結(jié)構(gòu)在瞬態(tài)沖擊激勵下，其振動響應(yīng)為多個模態(tài)響應(yīng)的疊加。應(yīng)用小波對響應(yīng)信號進行分解。在分解過程中，若出現(xiàn)某頻率接近對半分解的中間區(qū)域，此時可改變采樣頻率或分解層次，重新劃分頻帶，使響應(yīng)中所包含的各階信號成分分解到不同頻帶。假設(shè)在結(jié)構(gòu)上布設(shè)的傳感器數(shù)目為n，則各個測點的響應(yīng)信號經(jīng)過小波分解之后可得到信號向量X為

(2)

向量X包含了結(jié)構(gòu)各個測點以第k階固有振型振動的信息。

(3)

其中：T為信號采樣時間。

于是可得到信號能量向量E為

(4)

將各測點同階振動信號能量關(guān)于所有測點該階振動信號能量總和歸一化，得

(5)

得到信號相對能量向量e為

(6)

信號相對能量向量e反映了結(jié)構(gòu)各測點以某階振型振動時的相對強弱狀態(tài)。通過式(5)的歸一化處理，消除了激振力大小的影響，即結(jié)構(gòu)損傷前后激勵大小不必保持一致，只需保持荷載形式相同即可。

1.2.2 相對能量曲率差的計算

通過計算分析發(fā)現(xiàn)，由某一階振動信號計算得到的相對能量向量與同階振型向量分布有相似的特點，即結(jié)構(gòu)損傷前后相對能量在損傷位置具有局部奇異性。由差分法得

(7)

由此得到相對能量曲率向量e″為

(8)

相對能量曲率差Δe″為

Δe″=e″dk-e″uk

(9)

其中：e″dk，e″uk分別為結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)與完好狀態(tài)第k階振動信號的相對能量曲率。

信號相對能量曲率差即為筆者進行結(jié)構(gòu)損傷識別的指標(biāo)。當(dāng)結(jié)構(gòu)存在損傷時，結(jié)構(gòu)上各點信號相對能量曲率均發(fā)生變化，但在損傷位置變化最大，因此可根據(jù)相對能量曲率差變化最大值識別結(jié)構(gòu)損傷位置。

2 數(shù)值分析

以圖2所示的簡支梁為例，梁長為0.7 m，寬為0.17 m，厚為0.006 m，材料彈性模量為5 GPa，密度為1 210 kg/m3。單元劃分及節(jié)點編號如圖2所示。激振點位于8號點位置，距離左支座0.28 m。損傷的模擬采用主梁對稱切口，切口寬為0.002 m，深為0.02 m，設(shè)定兩種損傷狀態(tài)，分別為測點4和測點10對應(yīng)位置的梁體分別發(fā)生損傷。沖擊激勵的模擬如圖3所示，采樣頻率為500 Hz，采樣時長為2.048 s。采用有限元程序進行瞬態(tài)分析提取橋面板中線上19個節(jié)點的加速度響應(yīng)。

圖2 簡支梁示意圖(單位:cm)Fig.2 Diagram of the simply supported beam (unit: cm)

圖3 荷載形式Fig.3 Load form

2.1 結(jié)構(gòu)完好狀態(tài)下各階振動信號相對能量分布特征

結(jié)構(gòu)在完好狀態(tài)下，激振力大小分別取50, 70和100 N，計算各節(jié)點處的振動加速度響應(yīng)。圖4(a), (b)分別為結(jié)構(gòu)在100 N激勵下4號點的加速度時程曲線及頻譜圖?？梢姡擖c的振動響應(yīng)為前幾階模態(tài)響應(yīng)的疊加。

圖4 結(jié)構(gòu)完好狀態(tài)4號點加速度信號時間歷程及其頻譜圖Fig.4 Acceleration and frequency spectrum of point 4 under the intact condition

采用db4小波對該信號進行3層小波分解并重構(gòu)，各子帶重構(gòu)信號及頻譜分析結(jié)果如圖5所示，得到a3,d3,d2和d1,共4個頻帶信號成分。其中a3,d3和d2部分均對應(yīng)結(jié)構(gòu)某一階固有頻率；d1部分則為4階及噪音成分。

對各點信號均作上述小波子帶分解與重構(gòu)，依次選取a3，d3和d2部分信號代入式(5)和式(6)計算信號相對能量。表1為完好結(jié)構(gòu)在激振力大小不同時a3部分的振動信號各點相對能量分布。由表1可知，信號各點的相對能量分布與荷載大小無關(guān)。圖6(a～c)分別為a3，d3和d23個頻帶振動信號沿各點的相對能量分布?？梢?，3個頻帶的振動信號沿節(jié)點的相對能量分布同前3階固有振型有相似之處。a3部分振動信號各點相對能量由跨中向兩側(cè)遞減，d3部分振動信號相對能量在跨中位置出現(xiàn)零點，對應(yīng)第2階固有振型的節(jié)點，而d2部分振動信號在點7和點13附近均接近零點，對應(yīng)3階振型的兩個節(jié)點?？梢园l(fā)現(xiàn)，采用筆者的分解方式可使疊加在響應(yīng)中的前幾階模態(tài)響應(yīng)有效分離，而分離出的“純模態(tài)”[14]其振動信號相對能量分布同結(jié)構(gòu)振型一樣能夠反映結(jié)構(gòu)的固有特性，且對結(jié)構(gòu)局部變化較為敏感，由其變化可以反映結(jié)構(gòu)局部特性的變化。

圖5 各子帶重構(gòu)信號及其頻譜圖Fig.5 Sub-band signals and frequency spectrums under the intact condition

荷載測 點 編 號1234567891011121314151617181950N0.240.932.003.354.856.367.738.849.619.949.799.178.136.775.213.632.181.010.2670N0.240.932.003.354.856.367.738.849.619.949.799.178.136.775.213.632.181.010.26100N0.240.932.003.354.856.367.738.849.619.949.799.178.136.775.213.632.181.010.26

圖6 各子帶振動信號相對能量分布Fig.6 The relative energy distribution of different sub-band signals

2.2 基于振動信號相對能量曲率差的損傷識別

對結(jié)構(gòu)完好狀態(tài)與損傷狀態(tài)下各階振動信號的相對能量分布向量由式(8)計算相對能量曲率并按式(9)計算曲率差。圖7為結(jié)構(gòu)在4號點處發(fā)生損傷時相對能量曲率差計算結(jié)果。由圖7可見，損傷使所有點的相對能量曲率差均發(fā)生了變化，但各階振動信號均是在4號點損傷位置變化最大，即由變化最大值處可以識別損傷位置。從識別效果來看，由1, 2階振動信號相對能量曲率差識別效果較好，3階振動信號識別效果較差。

圖7 4號點處發(fā)生損傷時各階振動信號相對能量曲率差Fig.7 Damage position-point 4: the relative energy curvature differences of different band signals

圖8為結(jié)構(gòu)在10號點(跨中)發(fā)生損傷時信號相對能量曲率差計算結(jié)果。可見，1， 3階振動信號相對能量曲率差指標(biāo)均能很好地指示出損傷位置，而2階振動信號未能正確指示出損傷位置，原因在于損傷位于跨中位置，對應(yīng)結(jié)構(gòu)豎向2階振型的節(jié)點，無論損傷與否，該位置振動響應(yīng)中2階振動信號能量均為零。

由以上結(jié)果不難理解當(dāng)結(jié)構(gòu)損傷位于某階振型節(jié)點時，通過該階振動信號進行損傷識別失效。同樣，當(dāng)激振點位于某階振型節(jié)點時，由于不能激出該階模態(tài)響應(yīng)，該階振動信號亦不能正確識別損傷。

圖8 10號點處發(fā)生損傷時各階振動信號相對能量曲率差Fig.8 Damage position-point 10: the relative energy curvature differences of different band signals

綜合以上分析，在實際應(yīng)用中建議選取第一階振動信號構(gòu)造指標(biāo)進行損傷識別。

在以曲率模態(tài)為基礎(chǔ)的損傷識別中，測點布置稀疏往往會造成計算結(jié)果具有較大誤差，重則造成指標(biāo)失效[15]。為考察文中提出的方法在測點布置稀疏時的識別結(jié)果，僅選取點4, 6, 8, 10, 12, 14和16共7個點的加速度信號計算損傷指標(biāo)。圖9為激振點位于8號點跨中損傷時的1階振動信號識別結(jié)果?？梢姡瑴y點布置稀疏時由第1階振動信號相對能量曲率差仍然可以很好的識別出損傷位置。

圖9 測點布置稀疏10號點處發(fā)生損傷時1階振動信號識別結(jié)果Fig.9 Damage position-point 10: relative energy curvature differences of the first order signal under sparse measuring points

3 實驗驗證

在數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上，采用硬質(zhì)PVC板材制作了簡支梁模型進行實驗驗證。結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)、幾何屬性均與數(shù)值算例相同。實驗中僅對簡支梁較容易損壞的跨中部分進行了切口損傷以模擬損傷狀態(tài)2。測點布置采用稀疏布置方式，激振位置選擇10號點即跨中位置，采樣頻率及采樣時間的設(shè)定均與數(shù)值模擬相同。實驗現(xiàn)場照片如圖10所示。

圖10 實驗現(xiàn)場照片F(xiàn)ig.10 Photo of experiment site

圖11(a)，(b)分別為實驗測得的梁跨中損傷時4號點的加速度時程曲線及其頻譜圖。由于激振點位于跨中，是第2， 4階振型的節(jié)點，因此響應(yīng)中沒有這兩階振動信號。

圖11 損傷梁4號點的加速度信號時間歷程及其頻譜圖Fig.11 Acceleration signal and frequency spectrum of point 4 under the second damage condition

采用db4小波對該信號進行3層小波分解并重構(gòu)，各子帶重構(gòu)信號及頻譜分析結(jié)果如圖12(a)，(b)所示。分解后得到a3,d3,d2和d14個頻帶，但d3和d1兩個頻帶信號成分幅值幾乎為零，故圖中只給出a3和d2兩個子帶信號。在時間歷程上，a3和d2兩個頻帶信號成分為指數(shù)衰減形式，在頻率上分別對應(yīng)結(jié)構(gòu)第1階和第3階模態(tài)響應(yīng)。

將結(jié)構(gòu)損傷前后7個測點測得的振動加速度響應(yīng)進行小波子帶分解與重構(gòu)，選擇第1階振動信號計算相對能量曲率差，結(jié)果如圖13所示。將圖13與圖9對比發(fā)現(xiàn)，雖然數(shù)值模擬和實驗中選擇的激振位置不同，但其識別結(jié)果基本吻合。無論是數(shù)值模擬還是實驗結(jié)果，信號相對能量曲率差在6， 8， 12及14測點位置均為正，在10號測點處為負(fù)，且在10號點變化最大，正確指示出了損傷位置。

圖13 1階振動信號相對能量曲率差實驗結(jié)果Fig.13 The relative energy curvature differences of the first order signal (experiment result)

需要指出，以上僅采用簡支梁橋?qū)Ψ椒ㄟM行了驗證。對于更復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)，模態(tài)較為復(fù)雜，尚有待于進一步研究。

4 結(jié)束語

通過對一簡支梁橋進行損傷數(shù)值分析及實驗驗證，結(jié)果表明采用二進離散小波變換可以對結(jié)構(gòu)在沖擊激勵下振動響應(yīng)中疊加的多階模態(tài)信息進行有效分離，在此基礎(chǔ)上定義的信號相對能量曲率差指標(biāo)可以對損傷進行有效識別。同時，筆者提出的損傷識別方法具有以下優(yōu)點：a.具有信號分解層次易于確定、分解得到的各子帶信號物理意義較為明確等優(yōu)點；b.該方法避免了模態(tài)分析的復(fù)雜過程，分析過程較為簡潔，同時又達(dá)到了與曲率模態(tài)差類似的效果。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.010

*國家自然科學(xué)基金資助項目(51009107)；天津市基礎(chǔ)重點基金資助項目(13JCZDJC27100)；天津市青年基金資助項目(13JCQNJC04200)

2013-09-03；

2013-10-28

U446; TN911.6

劉習(xí)軍,男，1956年2月生，教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向為非線性振動理論及應(yīng)用、橋梁振動力學(xué)及損傷動力檢測等。曾發(fā)表《MR-TMD減振系統(tǒng)對連續(xù)箱梁橋振動控制研究》(《振動與沖擊》2012年第31卷第20期)等論文。 E-mail：lxijun@tju.edu.cn