張永年， 王 彤， 夏遵平

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室 南京，210016)

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基于傳遞率函數(shù)的運(yùn)行模態(tài)分析方法*

張永年， 王 彤， 夏遵平

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室 南京，210016)

傳統(tǒng)的運(yùn)行模態(tài)分析方法在推導(dǎo)過程中多假設(shè)激勵為白噪聲，造成在應(yīng)用上有一定的局限性。提出了一種基于傳遞率函數(shù)的運(yùn)行模態(tài)分析方法，無需采用白噪聲假設(shè)，利用兩種不同載荷情況下的傳遞率函數(shù)構(gòu)造有理函數(shù)，通過有理分式Forsythe正交多項式法對其進(jìn)行擬合，得到模態(tài)頻率、阻尼和振型參數(shù)。最后，采用機(jī)翼模型仿真算例和懸臂梁實驗，驗證了在非白噪聲激勵情況下該方法的有效性與可靠性。

模態(tài)參數(shù)識別； 運(yùn)行模態(tài)分析； 傳遞率函數(shù)； 有理函數(shù)； 正交多項式

引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在航空航天、車輛、機(jī)械、土木等工程領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題日益突出。模態(tài)分析技術(shù)已成為解決此類問題不可或缺的手段，其中，傳統(tǒng)的實驗?zāi)B(tài)分析方法(experimental modal analysis，簡稱EMA)是在實驗室中完成，實驗結(jié)果準(zhǔn)確，相關(guān)的實驗方法也較為完善[1]。運(yùn)行模態(tài)分析(operational modal analysis，簡稱OMA)是只從振動響應(yīng)信號中提取模態(tài)參數(shù)的一項技術(shù)[2]。這與EMA相比，OMA不需要人工激勵，測試成本低且能在系統(tǒng)正常運(yùn)行情況下進(jìn)行測試，更能反映系統(tǒng)真實的動力學(xué)性能。

近年來發(fā)展了許多運(yùn)行模態(tài)識別方法。其中，時域方法占大多數(shù)并且應(yīng)用更為廣泛，代表性的有隨機(jī)減量(random decrement technique，簡稱RDT)法[3]、基于ARMA模型的時序分析法[4]、自然激勵識別技術(shù)(natural excitation technique，簡稱NExT)[5]和隨機(jī)子空間(stochastic subspace identification，簡稱SSI)法[6]等。與時域方法相比，在頻域方面運(yùn)行模態(tài)識別方法較少。早期主要采用基于響應(yīng)功率譜密度函數(shù)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別的峰值選取法(peak-picking，簡稱PP)。1999年，Brinker等[7]提出了頻域分解(frequency domain decomposition，簡稱FDD)法，該方法在工程領(lǐng)域應(yīng)用較多，但對于阻尼的識別精度不高。王彤等[8-9]提出頻域空間域分解法，該方法通過增強(qiáng)功率譜得到準(zhǔn)確的頻率和阻尼。這些方法都基于環(huán)境激勵為白噪聲的假設(shè)。在實際的工程應(yīng)用中，系統(tǒng)所受的環(huán)境激勵是豐富多樣的，并非是理想的白噪聲類型。若系統(tǒng)所受的環(huán)境激勵不是白噪聲，采用傳統(tǒng)的運(yùn)行模態(tài)分析技術(shù)進(jìn)行測試分析會帶來誤差，甚至得到錯誤的結(jié)果?；趥鬟f率函數(shù)的運(yùn)行模態(tài)分析方法對于環(huán)境激勵力的性質(zhì)要求較低，激勵力可以是白噪聲、脈沖激勵和諧波激勵等。由于它無需“白噪聲激勵”這一前提，因此一方面擴(kuò)大了運(yùn)行模態(tài)分析技術(shù)的使用范圍，另一方面也提高了運(yùn)行模態(tài)參數(shù)識別的可靠度與精度。因此，基于傳遞率的運(yùn)行模態(tài)分析方法[10]的研究具有較大的工程意義。

筆者采用頻響函數(shù)的Hv計算來估計傳遞率函數(shù)。利用有理分式正交多項式法[11]擬合構(gòu)造的有理函數(shù)，得到系統(tǒng)的模態(tài)頻率與阻尼，并通過對傳遞率函數(shù)矩陣奇異值分解得到結(jié)構(gòu)的振型。通過機(jī)翼模型仿真算例和懸臂梁實驗檢驗了該算法在非白噪聲激勵下的有效性和可靠性。

1 理論背景

與頻響函數(shù)的定義類似(運(yùn)動響應(yīng)/激勵力)，傳遞率函數(shù)的定義為(運(yùn)動響應(yīng)/運(yùn)動輸入)。在拉普拉斯域中，輸出自由度i與參考自由度j的傳遞率函數(shù)Tij定義為

Tij(s)=Xi(s)/Xj(s)

(1)

φir/φjr

(2)

其中：φir和φjr為系統(tǒng)第i和j自由度的第r階振型。

φir/φjr

(3)

由式(2)和式(3)可得

(4)

(5)

其倒數(shù)為

(6)

(7)

其中：p，q分別為分子分母多項式的階數(shù)；ak和bk為多項式分子分母多項式系數(shù)向量。

為減少方程求解過程中的病態(tài)性并解耦系統(tǒng)矩陣，采用Forsythe正交多項式有理分式形式

(8)

通過最小二乘擬合獲得系統(tǒng)的模態(tài)頻率與阻尼。

系統(tǒng)振型可通過對構(gòu)造的傳遞率函數(shù)矩陣在系統(tǒng)模態(tài)頻率處奇異值分解得到[12]。

(9)

對式(9)奇異值分解取奇異值向量第一列，即得到結(jié)構(gòu)的振型。

2 仿真算例

彎扭二自由度機(jī)翼模型被廣泛應(yīng)用于飛機(jī)飛行顫振分析的仿真。該模型仿真真實機(jī)翼的截面，模型平動和轉(zhuǎn)動可仿真真實飛機(jī)機(jī)翼的彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)。機(jī)翼物理模型和簡化的力學(xué)模型如圖1,2所示。

圖1 機(jī)翼物理模型Fig.1 The physical model of the wing

圖2 機(jī)翼力學(xué)模型Fig.2 The mechanical model of the wing

機(jī)翼模型物理參數(shù)設(shè)置如表1所示，對模型添加比例阻尼C=0.000 4K。

表1 機(jī)翼的物理參數(shù)

為驗證該算法對非白噪聲激勵情況下模態(tài)參數(shù)的識別效果,激勵信號分別采用兩種典型的非白噪聲信號仿真得到響應(yīng)信號：情況1，粉紅噪聲(Pink noise)；情況2，間歇脈沖激勵。通過改變激勵點，得到兩種載荷情況下的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)。

仿真采樣頻率為64 Hz，數(shù)據(jù)長度為6 400點。仿真得到兩種信號激勵情況下的響應(yīng)信號分別如圖3和圖4所示。對應(yīng)的激勵信號自功率譜(power spectrum density，簡稱PSD)如圖5和圖6所示，為非白噪聲信號。

選取2號點為參考點，根據(jù)兩種載荷下的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)構(gòu)造有理函數(shù)，情況1和情況2下有理函數(shù)及其擬合如圖7和圖8所示。

圖3 模型的仿真時間響應(yīng)(情況1)

圖4 模型的仿真時間響應(yīng)(情況2)

圖5 激勵信號功率譜(情況1)

圖6 激勵信號功率譜(情況2)

圖7 有理函數(shù)及其擬合(情況1)

圖8 有理函數(shù)及其擬合(情況2)

圖9和圖10為采用響應(yīng)譜和傳遞率函數(shù)矩陣奇異值分解得到的模態(tài)指示曲線。該仿真算例中數(shù)據(jù)長度為6 400點，由于激勵信號非白噪聲，且采集得到的響應(yīng)信號數(shù)據(jù)量較少，采用傳統(tǒng)方法得到的模態(tài)指示曲線毛刺較多，不夠清晰。

識別得到情況1和情況2下機(jī)翼的模態(tài)參數(shù)與其理論值對比如表2和表3所示。

圖9 模態(tài)指示曲線(情況1)Fig.9 The curve of mode indicator (case 1)

圖10 模態(tài)指示曲線(情況2)Fig.10 The curve of mode indicator (case 2)

理論頻率/Hz識別頻率/Hz頻率誤差/%理論阻尼/%識別阻尼/%阻尼誤差/%8.978.970.001.131.12-0.8814.5214.51-0.071.821.830.55

表3 結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)及誤差分析(情況2)

由上表可看出，該算法對非白噪聲激勵情況下也適用，且具有較高的識別精度。另外該算法與傳統(tǒng)的方法相比所需數(shù)據(jù)量少，提高了識別效率。經(jīng)測試，在Inter(R) Core(TM) i3-2310M處理器下，參數(shù)識別耗時0.69 s，識別速度較快。

3 實 驗

采用基于傳遞率函數(shù)的運(yùn)行模態(tài)分析方法對懸臂梁進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別。實驗裝置如圖11所示，在一根鐵質(zhì)的懸臂梁上等間距布置4個ICP加速度傳感器，激勵采用螺絲釘人工連續(xù)敲擊(激勵為脈沖激勵)，并且采用分別敲擊1號和3號點得到兩組不同載荷情況下的響應(yīng)信號。

采樣頻率為1 280 Hz，采樣時間設(shè)置為12.8 s，采樣點數(shù)為16 384點。首先敲擊1號點，采集得到第一種載荷情況下的輸出信號，該激勵情況下2號點的輸出信號，如圖12所示。然后再敲擊3號點，采集得到第二種載荷情況下的輸出信號。

因為梁的自由端4號點振幅較大，相對信噪比較高，故選取該點作為參考點。選取3號點分析，構(gòu)造得到基于傳遞率函數(shù)的有理函數(shù)。采用有理分式正交多項式法對構(gòu)造得到的有理多項式函數(shù)進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖13所示。

為驗證該算法識別結(jié)果的精度，作為對比，采用力錘激勵對懸臂梁做EMA實驗。由于采用力錘激勵，人工激勵輸入可測，且測試信噪比高，識別結(jié)果精確可靠，故可視EMA識別結(jié)果為結(jié)構(gòu)真實參數(shù)?；趥鬟f率函數(shù)(transmissibility functions，簡稱TF)法和頻域空間域分解(frequency spatial domain decomposition，簡稱FSDD)法識別結(jié)果與EMA頻率和阻尼參數(shù)識別結(jié)果對比如表4和表5所示。

圖11 實驗裝置圖

圖12 2號點的響應(yīng)

圖13 有理函數(shù)擬合

表4 頻率參數(shù)及誤差分析

表5 阻尼參數(shù)及誤差分析

由表4，5可看出，基于傳遞率函數(shù)法識別得到的頻率和阻尼參數(shù)與EMA識別得到的結(jié)果相對誤差較小，頻率誤差1%以內(nèi)，阻尼誤差10%以內(nèi)，識別結(jié)果可靠。該算法識別得參數(shù)共耗時0.739 s，具有較高的識別效率。

在非白噪聲和短數(shù)據(jù)情況下，采用基于傳遞率函數(shù)法仍能得到較為理想的有理函數(shù)，能清晰的指示出模態(tài)頻率。另外，兩種方法得到的模態(tài)指示曲線如圖14所示，可以看到功率譜法得到的模態(tài)指示曲線毛刺較多，模態(tài)指示不清晰。

圖14 模態(tài)指示曲線Fig.14 The curve of mode indicator

因此基于傳遞率函數(shù)的運(yùn)行模態(tài)識別方法在非白噪聲激勵和短數(shù)據(jù)情況下具有一定的優(yōu)越性。該算法識別得到懸臂梁的振型如圖15所示。

圖15 懸臂梁的4階模態(tài)振型Fig.15 Four mode shapes of simply cantilever beam

4 結(jié) 論

1) 該方法需要至少二種不同載荷情況下的響應(yīng)信號來識別模態(tài)參數(shù)。在實際工程應(yīng)用中，由于環(huán)境激勵的隨機(jī)性，兩種不同載荷情況下的數(shù)據(jù)理論上可通過不同時間段采集的數(shù)據(jù)得到。

2) 仿真和實驗表明，該方法即使在非白噪聲信號激勵和短數(shù)據(jù)情況下也能得到較為理想的識別結(jié)果。因此，該方法有望拓展OMA的應(yīng)用范圍。

3) 適當(dāng)提高擬合階次能得到更好的識別結(jié)果，與此同時帶來的計算模態(tài)可通過判斷阻尼大小、查看有理函數(shù)擬合圖以及振型動畫等方法予以剔除。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.023

*南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室自主研究課題資助項目(0113G01)；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項目

2014-05-27；

2014-09-01

O329； TB123

張永年，男，1990年9月生，碩士。主要研究方向為振動測試與模態(tài)參數(shù)識別。 E-mail：zyn@dytac.com.cn