張永年， 王 彤， 夏遵平

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)

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基于傳遞率函數(shù)的運(yùn)行模態(tài)分析方法*

張永年， 王 彤， 夏遵平

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)

傳統(tǒng)的運(yùn)行模態(tài)分析方法在推導(dǎo)過程中多假設(shè)激勵(lì)為白噪聲，造成在應(yīng)用上有一定的局限性。提出了一種基于傳遞率函數(shù)的運(yùn)行模態(tài)分析方法，無需采用白噪聲假設(shè)，利用兩種不同載荷情況下的傳遞率函數(shù)構(gòu)造有理函數(shù)，通過有理分式Forsythe正交多項(xiàng)式法對(duì)其進(jìn)行擬合，得到模態(tài)頻率、阻尼和振型參數(shù)。最后，采用機(jī)翼模型仿真算例和懸臂梁實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了在非白噪聲激勵(lì)情況下該方法的有效性與可靠性。

模態(tài)參數(shù)識(shí)別； 運(yùn)行模態(tài)分析； 傳遞率函數(shù)； 有理函數(shù)； 正交多項(xiàng)式

引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在航空航天、車輛、機(jī)械、土木等工程領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題日益突出。模態(tài)分析技術(shù)已成為解決此類問題不可或缺的手段，其中，傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法(experimental modal analysis，簡(jiǎn)稱EMA)是在實(shí)驗(yàn)室中完成，實(shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確，相關(guān)的實(shí)驗(yàn)方法也較為完善[1]。運(yùn)行模態(tài)分析(operational modal analysis，簡(jiǎn)稱OMA)是只從振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)中提取模態(tài)參數(shù)的一項(xiàng)技術(shù)[2]。這與EMA相比，OMA不需要人工激勵(lì)，測(cè)試成本低且能在系統(tǒng)正常運(yùn)行情況下進(jìn)行測(cè)試，更能反映系統(tǒng)真實(shí)的動(dòng)力學(xué)性能。

近年來發(fā)展了許多運(yùn)行模態(tài)識(shí)別方法。其中，時(shí)域方法占大多數(shù)并且應(yīng)用更為廣泛，代表性的有隨機(jī)減量(random decrement technique，簡(jiǎn)稱RDT)法[3]、基于ARMA模型的時(shí)序分析法[4]、自然激勵(lì)識(shí)別技術(shù)(natural excitation technique，簡(jiǎn)稱NExT)[5]和隨機(jī)子空間(stochastic subspace identification，簡(jiǎn)稱SSI)法[6]等。與時(shí)域方法相比，在頻域方面運(yùn)行模態(tài)識(shí)別方法較少。早期主要采用基于響應(yīng)功率譜密度函數(shù)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別的峰值選取法(peak-picking，簡(jiǎn)稱PP)。1999年，Brinker等[7]提出了頻域分解(frequency domain decomposition，簡(jiǎn)稱FDD)法，該方法在工程領(lǐng)域應(yīng)用較多，但對(duì)于阻尼的識(shí)別精度不高。王彤等[8-9]提出頻域空間域分解法，該方法通過增強(qiáng)功率譜得到準(zhǔn)確的頻率和阻尼。這些方法都基于環(huán)境激勵(lì)為白噪聲的假設(shè)。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，系統(tǒng)所受的環(huán)境激勵(lì)是豐富多樣的，并非是理想的白噪聲類型。若系統(tǒng)所受的環(huán)境激勵(lì)不是白噪聲，采用傳統(tǒng)的運(yùn)行模態(tài)分析技術(shù)進(jìn)行測(cè)試分析會(huì)帶來誤差，甚至得到錯(cuò)誤的結(jié)果?；趥鬟f率函數(shù)的運(yùn)行模態(tài)分析方法對(duì)于環(huán)境激勵(lì)力的性質(zhì)要求較低，激勵(lì)力可以是白噪聲、脈沖激勵(lì)和諧波激勵(lì)等。由于它無需“白噪聲激勵(lì)”這一前提，因此一方面擴(kuò)大了運(yùn)行模態(tài)分析技術(shù)的使用范圍，另一方面也提高了運(yùn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別的可靠度與精度。因此，基于傳遞率的運(yùn)行模態(tài)分析方法[10]的研究具有較大的工程意義。

筆者采用頻響函數(shù)的Hv計(jì)算來估計(jì)傳遞率函數(shù)。利用有理分式正交多項(xiàng)式法[11]擬合構(gòu)造的有理函數(shù)，得到系統(tǒng)的模態(tài)頻率與阻尼，并通過對(duì)傳遞率函數(shù)矩陣奇異值分解得到結(jié)構(gòu)的振型。通過機(jī)翼模型仿真算例和懸臂梁實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了該算法在非白噪聲激勵(lì)下的有效性和可靠性。

1 理論背景

與頻響函數(shù)的定義類似(運(yùn)動(dòng)響應(yīng)/激勵(lì)力)，傳遞率函數(shù)的定義為(運(yùn)動(dòng)響應(yīng)/運(yùn)動(dòng)輸入)。在拉普拉斯域中，輸出自由度i與參考自由度j的傳遞率函數(shù)Tij定義為

Tij(s)=Xi(s)/Xj(s)

(1)

φir/φjr

(2)

其中：φir和φjr為系統(tǒng)第i和j自由度的第r階振型。

φir/φjr

(3)

由式(2)和式(3)可得

(4)

(5)

其倒數(shù)為

(6)

(7)

其中：p，q分別為分子分母多項(xiàng)式的階數(shù)；ak和bk為多項(xiàng)式分子分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。

為減少方程求解過程中的病態(tài)性并解耦系統(tǒng)矩陣，采用Forsythe正交多項(xiàng)式有理分式形式

(8)

通過最小二乘擬合獲得系統(tǒng)的模態(tài)頻率與阻尼。

系統(tǒng)振型可通過對(duì)構(gòu)造的傳遞率函數(shù)矩陣在系統(tǒng)模態(tài)頻率處奇異值分解得到[12]。

(9)

對(duì)式(9)奇異值分解取奇異值向量第一列，即得到結(jié)構(gòu)的振型。

2 仿真算例

彎扭二自由度機(jī)翼模型被廣泛應(yīng)用于飛機(jī)飛行顫振分析的仿真。該模型仿真真實(shí)機(jī)翼的截面，模型平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)可仿真真實(shí)飛機(jī)機(jī)翼的彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)。機(jī)翼物理模型和簡(jiǎn)化的力學(xué)模型如圖1,2所示。

圖1 機(jī)翼物理模型Fig.1 The physical model of the wing

圖2 機(jī)翼力學(xué)模型Fig.2 The mechanical model of the wing

機(jī)翼模型物理參數(shù)設(shè)置如表1所示，對(duì)模型添加比例阻尼C=0.000 4K。

表1 機(jī)翼的物理參數(shù)

為驗(yàn)證該算法對(duì)非白噪聲激勵(lì)情況下模態(tài)參數(shù)的識(shí)別效果,激勵(lì)信號(hào)分別采用兩種典型的非白噪聲信號(hào)仿真得到響應(yīng)信號(hào)：情況1，粉紅噪聲(Pink noise)；情況2，間歇脈沖激勵(lì)。通過改變激勵(lì)點(diǎn)，得到兩種載荷情況下的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)。

仿真采樣頻率為64 Hz，數(shù)據(jù)長度為6 400點(diǎn)。仿真得到兩種信號(hào)激勵(lì)情況下的響應(yīng)信號(hào)分別如圖3和圖4所示。對(duì)應(yīng)的激勵(lì)信號(hào)自功率譜(power spectrum density，簡(jiǎn)稱PSD)如圖5和圖6所示，為非白噪聲信號(hào)。

選取2號(hào)點(diǎn)為參考點(diǎn)，根據(jù)兩種載荷下的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)構(gòu)造有理函數(shù)，情況1和情況2下有理函數(shù)及其擬合如圖7和圖8所示。

圖3 模型的仿真時(shí)間響應(yīng)(情況1)

圖4 模型的仿真時(shí)間響應(yīng)(情況2)

圖5 激勵(lì)信號(hào)功率譜(情況1)

圖6 激勵(lì)信號(hào)功率譜(情況2)

圖7 有理函數(shù)及其擬合(情況1)

圖8 有理函數(shù)及其擬合(情況2)

圖9和圖10為采用響應(yīng)譜和傳遞率函數(shù)矩陣奇異值分解得到的模態(tài)指示曲線。該仿真算例中數(shù)據(jù)長度為6 400點(diǎn)，由于激勵(lì)信號(hào)非白噪聲，且采集得到的響應(yīng)信號(hào)數(shù)據(jù)量較少，采用傳統(tǒng)方法得到的模態(tài)指示曲線毛刺較多，不夠清晰。

識(shí)別得到情況1和情況2下機(jī)翼的模態(tài)參數(shù)與其理論值對(duì)比如表2和表3所示。

圖9 模態(tài)指示曲線(情況1)Fig.9 The curve of mode indicator (case 1)

圖10 模態(tài)指示曲線(情況2)Fig.10 The curve of mode indicator (case 2)

理論頻率/Hz識(shí)別頻率/Hz頻率誤差/%理論阻尼/%識(shí)別阻尼/%阻尼誤差/%8.978.970.001.131.12-0.8814.5214.51-0.071.821.830.55

表3 結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)及誤差分析(情況2)

由上表可看出，該算法對(duì)非白噪聲激勵(lì)情況下也適用，且具有較高的識(shí)別精度。另外該算法與傳統(tǒng)的方法相比所需數(shù)據(jù)量少，提高了識(shí)別效率。經(jīng)測(cè)試，在Inter(R) Core(TM) i3-2310M處理器下，參數(shù)識(shí)別耗時(shí)0.69 s，識(shí)別速度較快。

3 實(shí) 驗(yàn)

采用基于傳遞率函數(shù)的運(yùn)行模態(tài)分析方法對(duì)懸臂梁進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。實(shí)驗(yàn)裝置如圖11所示，在一根鐵質(zhì)的懸臂梁上等間距布置4個(gè)ICP加速度傳感器，激勵(lì)采用螺絲釘人工連續(xù)敲擊(激勵(lì)為脈沖激勵(lì))，并且采用分別敲擊1號(hào)和3號(hào)點(diǎn)得到兩組不同載荷情況下的響應(yīng)信號(hào)。

采樣頻率為1 280 Hz，采樣時(shí)間設(shè)置為12.8 s，采樣點(diǎn)數(shù)為16 384點(diǎn)。首先敲擊1號(hào)點(diǎn)，采集得到第一種載荷情況下的輸出信號(hào)，該激勵(lì)情況下2號(hào)點(diǎn)的輸出信號(hào)，如圖12所示。然后再敲擊3號(hào)點(diǎn)，采集得到第二種載荷情況下的輸出信號(hào)。

因?yàn)榱旱淖杂啥?號(hào)點(diǎn)振幅較大，相對(duì)信噪比較高，故選取該點(diǎn)作為參考點(diǎn)。選取3號(hào)點(diǎn)分析，構(gòu)造得到基于傳遞率函數(shù)的有理函數(shù)。采用有理分式正交多項(xiàng)式法對(duì)構(gòu)造得到的有理多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖13所示。

為驗(yàn)證該算法識(shí)別結(jié)果的精度，作為對(duì)比，采用力錘激勵(lì)對(duì)懸臂梁做EMA實(shí)驗(yàn)。由于采用力錘激勵(lì)，人工激勵(lì)輸入可測(cè)，且測(cè)試信噪比高，識(shí)別結(jié)果精確可靠，故可視EMA識(shí)別結(jié)果為結(jié)構(gòu)真實(shí)參數(shù)。基于傳遞率函數(shù)(transmissibility functions，簡(jiǎn)稱TF)法和頻域空間域分解(frequency spatial domain decomposition，簡(jiǎn)稱FSDD)法識(shí)別結(jié)果與EMA頻率和阻尼參數(shù)識(shí)別結(jié)果對(duì)比如表4和表5所示。

圖11 實(shí)驗(yàn)裝置圖

圖12 2號(hào)點(diǎn)的響應(yīng)

圖13 有理函數(shù)擬合

表4 頻率參數(shù)及誤差分析

表5 阻尼參數(shù)及誤差分析

由表4，5可看出，基于傳遞率函數(shù)法識(shí)別得到的頻率和阻尼參數(shù)與EMA識(shí)別得到的結(jié)果相對(duì)誤差較小，頻率誤差1%以內(nèi)，阻尼誤差10%以內(nèi)，識(shí)別結(jié)果可靠。該算法識(shí)別得參數(shù)共耗時(shí)0.739 s，具有較高的識(shí)別效率。

在非白噪聲和短數(shù)據(jù)情況下，采用基于傳遞率函數(shù)法仍能得到較為理想的有理函數(shù)，能清晰的指示出模態(tài)頻率。另外，兩種方法得到的模態(tài)指示曲線如圖14所示，可以看到功率譜法得到的模態(tài)指示曲線毛刺較多，模態(tài)指示不清晰。

圖14 模態(tài)指示曲線Fig.14 The curve of mode indicator

因此基于傳遞率函數(shù)的運(yùn)行模態(tài)識(shí)別方法在非白噪聲激勵(lì)和短數(shù)據(jù)情況下具有一定的優(yōu)越性。該算法識(shí)別得到懸臂梁的振型如圖15所示。

圖15 懸臂梁的4階模態(tài)振型Fig.15 Four mode shapes of simply cantilever beam

4 結(jié) 論

1) 該方法需要至少二種不同載荷情況下的響應(yīng)信號(hào)來識(shí)別模態(tài)參數(shù)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于環(huán)境激勵(lì)的隨機(jī)性，兩種不同載荷情況下的數(shù)據(jù)理論上可通過不同時(shí)間段采集的數(shù)據(jù)得到。

2) 仿真和實(shí)驗(yàn)表明，該方法即使在非白噪聲信號(hào)激勵(lì)和短數(shù)據(jù)情況下也能得到較為理想的識(shí)別結(jié)果。因此，該方法有望拓展OMA的應(yīng)用范圍。

3) 適當(dāng)提高擬合階次能得到更好的識(shí)別結(jié)果，與此同時(shí)帶來的計(jì)算模態(tài)可通過判斷阻尼大小、查看有理函數(shù)擬合圖以及振型動(dòng)畫等方法予以剔除。

[1] 王彤, 張令彌.多頻段擬合的正交多項(xiàng)式方法及其Matlab工具箱[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2004,25(6):560-564.

Wang Tong, Zhang Lingmi. A multiple frequency band fitting method using orthogonal polynomials and corresponding Matlab toolbox[J]. Journal of Vibration Engineering, 2004,25(6):560-564. (in Chinese)

[2] 張義民,張守元,李鶴,等.運(yùn)行模態(tài)分析中諧波模態(tài)識(shí)別方法研究及應(yīng)用[J].振動(dòng)、測(cè)試與診斷,2008,28(3):197-200.

Zhang Yimin, Zhang Shouyuan, Li He, et al. Harmonic mode identification in the operational modal analysis and its application[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2008,28(3):197-200. (in Chinese)

[3] Ibrahim S R. Random decrement technique for modal identification of structures[J]. AIAA Journal of Spacecraft and Rockets, 1977,14(11):696-700.

[4] Bonnecase D, Provosto M. Application of a multidimensional ARMA model to modal analysis under natural excitation[C]∥Proceeding of the 8th International Modal Analysis Conference (IMAC). Kissemee, Florida, USA: Society for Experimental Mechanics, 1990:382-388.

[5] James G H, Carne T G, Lauffer J P. The natural excitation technique (NExT) for modal parameter extraction from operating structures[J]. Journal of Analytical and Experimental Modal Analysis, 1995,10(4):260-277.

[6] Overschee P V, Moor B D. Identification for linear systems: theory, implementation, application[M]. UK: Kluwer Academic Publishers, 1996:57-89.

[7] Brincker R, Zhang L M, Anderson P. Modal identification from ambient response using frequency domain decomposition[C]∥Proceeding of the 18th International Modal Analysis Conference (IMAC). San Antonio, USA: Society for Experimental Mechanics, 2000:628-630.

[8] Wang Tong, Zhang Lingmi, Tamura Yukio. An operational modal analysis method in frequency and spatial domain[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2005,4(2):295-300.

[9] 王彤,張令彌.運(yùn)行模態(tài)分析的頻域空間域分解法及其應(yīng)用[J].航空學(xué)報(bào),2006,27(1):62-66.

Wang Tong, Zhang Lingmi. Frequency and spatial domain decomposition for operational modal analysis and its application[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2006,27(1):62-66. (in Chinese)

[10]Devriendt C, Guillaume P. The use of transmissibility measurements in output-only modal analysis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2007,21(7):2689-2696.

[11]王彤,張令彌.有理分式正交多項(xiàng)式頻響函數(shù)模態(tài)參數(shù)識(shí)別[J].航空學(xué)報(bào),2003,24(2):140-143.

Wang Tong, Zhang Lingmi. Modal identification with frequency response function based on rational fraction orthogonal polynomials[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2003,24(2):140-143. (in Chinese)

[12]Araujo I G, Laier J E. Operational modal analysis using SVD of power spectral density transmissibility matrices[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2014,46(1):129-145.

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.023

*南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研究課題資助項(xiàng)目(0113G01)；江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

2014-05-27；

2014-09-01

O329； TB123

張永年，男，1990年9月生，碩士。主要研究方向?yàn)檎駝?dòng)測(cè)試與模態(tài)參數(shù)識(shí)別。 E-mail：zyn@dytac.com.cn