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        美式期權定價的一種蒙特卡洛方法

        2015-03-13 03:58:50張麗虹
        經(jīng)濟研究導刊 2015年27期
        關鍵詞:蒙特卡洛美式標的

        張麗虹

        (云南財經(jīng)大學馬克思主義學院,昆明 650221)

        引言

        在最近的幾十年里,金融衍生市場的發(fā)展已經(jīng)成為影響經(jīng)濟的重要現(xiàn)象,衍生市場是相對于基礎市場而言的。金融衍生物是一種風險管理工具,它的價值依賴于基本的原生資產(chǎn)(或稱標的資產(chǎn))的價格變化。在金融市場,商品市場有很多形式的金融衍生工具,其中遠期合約、期貨和期權是三種最基本的金融衍生工具。如果把原生資產(chǎn)設定為股票、債券、匯率或商品等,那么為了對這些原生資產(chǎn)進行風險管理,相應的有:股票期貨(期權)、債券期貨(期權)、貨幣期貨(期權)以及商品期貨(期權)等[3,7]。

        在市場經(jīng)濟發(fā)達的國家,期權市場已是構成其證券市場的一個重要組成部分。近二十年來,國際金融界對期權理論的研究和應用投入了巨大的關注。特別是在西方發(fā)達國家,期權理論的發(fā)展日新月異,期權應用研究也緊隨其后[3,7]。從金融期權研究得出的原理、方法和結論不僅僅應用于期權投資領域,還可以廣泛應用于宏觀、微觀經(jīng)濟和管理問題的分析與決策[8]。瑞典皇家科學院將1997年度的諾貝爾經(jīng)濟學獎授予兩位對現(xiàn)代期權理論研究有突出貢獻的經(jīng)濟學家:美國斯坦福大學教授梅隆·舒爾斯(Myron Scholes)和哈佛大學教授羅伯特·莫(Robert C.Merton),這表明全世界對期權理論研究和實際應用重要性的認可[5,7]。由于歷史、體制、學科建設等方面因素的影響制約,期權理論在我國的研究才剛剛開始,其應用也幾乎呈空白狀態(tài)。但我國政府、金融學術界和實務界已經(jīng)越來越重視這一理論的研究和應用。國務院曾多次指示要加快金融科學的設立,國家自然科學基金會對金融數(shù)學、金融工程的研究項目支持力度也較大?,F(xiàn)在已有相當一部分學者正活躍在這一領域,許多大學相繼成立了金融數(shù)學系和金融工程中心,并開始了相應的學術研究和人才培養(yǎng)工作,這將對中國的金融改革,特別是金融數(shù)學、金融工程的發(fā)展做出有益的嘗試和貢獻。期權理論作為金融數(shù)學的一個重要研究內容也將得到迅速的發(fā)展。隨著中國經(jīng)濟市場化進程的發(fā)展和各方面條件的成熟,期權市場在中國的發(fā)育和發(fā)展是中國市場體系,特別是金融市場發(fā)展與完善過程中的一項重要內容,是大勢所趨[1]。

        期權是最重要的金融衍生工具之一,合理定價則是期權發(fā)揮其功能的基礎。對于歐式期權,已經(jīng)有了經(jīng)典的Black-Scholes公式,但由于美式期權具有可提前執(zhí)行的特性,Black-Scholes公式并不適用[7]。

        期權作為一種衍生金融產(chǎn)品,它的價格決定于標的資產(chǎn)價格的變化。標的資產(chǎn)的價格變化是不確定以及隨機的,所以由此產(chǎn)生的期權價格變化也是隨機的。但是一旦標的資產(chǎn)的價格確定下來,那么作為其衍生物的期權的價格也將隨之確定,即存在函數(shù)Vt=V(St,t)。它表示若在t時刻原生資產(chǎn)的價格為 St,則期權的價格為 Vt=V(St,t)。這里的期權價格V(St,t)是一個確定的二元函數(shù)。通常在期權的到期日那天,期權的價值(或成為期權的收益、期權的價格)V(St,t)是確定的。但是期權生效日t=0那天的期權價格即期權金是未知的。因為他是期權購買者為了取得這個未定權益所要付出的代價。我們的計算目的就是求出期權金的值[1]。

        通常計算美式期權的方法有有限差分法、二叉樹法及蒙特卡洛法[2,6,9]。本文將討論如何利用蒙特卡洛方法來計算美式期權的價格。國內學者在考慮美式期權定價問題的蒙特卡洛方法時,比較少詳細討論方法的具體設計過程[6,9-12],并且由于美式期權一般不具有封閉解,所以人們通常依靠數(shù)值解法來解決這一問題。本文將詳細討論方法的設計過程,并用Matlab程序在計算機上數(shù)值實現(xiàn)該過程。本文將按照下面的方式來組織:(1)簡單介紹美式期權的定義、美式期權的特性及分類等基本概念,幫助人們更好地理解美式期權;(2)詳細討論美式期權定價的蒙特卡洛方法設計與數(shù)值計算過程;(3)得出計算結果并與傳統(tǒng)的有限差分法計算得到的結果相比較。

        一、美式期權的基本概念

        美式期權是指可以在成交后有效期內任何一天被執(zhí)行的期權。也就是指期權持有者可以在期權到期日以前的任何一個工作日,選擇執(zhí)行或不執(zhí)行期權合約。它通常分為美式看漲期權與美式看跌期權。

        美式看漲期權在行權期內,如果標的資產(chǎn)S高于敲定價格K,則持有者隨時可以以敲定價格K買進標的資產(chǎn)。此時持有者以價格K買入標的資產(chǎn),在市場中又可以以即時價格S賣出,獲得利潤S-K;若在行權期內,標的資產(chǎn)的價格始終低于敲定價格K,則持有者可以選擇不買進任何標的資產(chǎn),此時獲得的利潤為0,所以看漲期權的最終價格是確定的:V(S,t)=max(S-K;0)。

        美式看跌期權在行權期內,如果標的資產(chǎn)價格S低于敲定價格K,則持有者隨時可以以敲定價格K賣出標的資產(chǎn),獲得利潤K-S;若在行權期內,標的資產(chǎn)的價格始終高于敲定價格K,則持有者可以選擇不賣出任何標的資產(chǎn),此時獲得的利潤為0,所以看跌期權的最終價格是確定的:V(S,t)=max(K-S;0)。

        二、美式期權定價的蒙特卡洛方法

        首先假定美式期權標的資產(chǎn)的價格,也就是S=S(t)服從下面的隨機過程:

        對于任意的t>0都成立,這里z是服從標準正態(tài)分布隨機變量(均值0,方差1)。在下面的蒙特卡洛方法計算中,我們就是利用公式(1)來模擬標的資產(chǎn)在任意t時刻的價格。

        下面討論蒙特卡洛方法計算在t=0時刻美式期權的價格。設t=T是美式期權交割日時間,t=0是美式期權開始生效的那一時刻,S(t)表示美式期權標的資產(chǎn)在t時刻的價格。假定 t0,t1,t2,…,tm滿足:

        且記Si=S(ti),i=0,1,2,…,m;這里的m是一個給定的正整數(shù)。同時假定美式期權只可能在t1,t2,…,tm這m個有限時刻行權。下面,可以記Vi(s)表示在t=ti時刻且標的資產(chǎn)的價格Si=s時美式期權的價格。并且記hi(s)=h(Si=s),這里規(guī)定:

        如果r(t)是一個常函數(shù),例如r(t)=r不變,則Di-1,i=e-r(ti-ti-1),若進一步規(guī)定 ti=iΔt,i=0,1,2,…m則:

        本文首要的計算目的是求出V0(s)的值,也即在t=0時刻且標的資產(chǎn)價格S0=s時美式期權的價格。關于它的計算,可以用下面的公式來計算:

        如果對所有的 i=1,2,…m,有 Di-1,i=e-rΔt,則:

        這里的E(e-rΔtVi(Si)|Si-1=s)代表一條件數(shù)學期望。

        為了便于(4)的計算,我們引入新的變量:

        通過計算,(4)可變化為:

        為了順利進行下一步的計算,首先要求出(5)中的條件期望E(i(Si)|Si-1=s)。為此,我們假定:

        這里,φ1(s),φ2(s),…,φM(s)是一些形式已知的基函數(shù)。在后面的計算之中,本文選取以下基函數(shù):φr(s)=sr,r=0,1,2,…,M。由(6)可得:

        蒙特卡洛方法主要利用(5)式計算V0(s),該方法通過以下步驟分步進行:

        1.給定 S(0)=s的值。

        2.根據(jù)式(1),先模擬 n條標的資產(chǎn)價格 S(t)變化的曲線,每條曲線上都有m個值,也即t1,t2,…,tm時刻的值為{S1j,S2j,…,Smj},j=1,2,…,n。

        4.對于 i=m-1,…3,2,1,0按照下列步驟進行循環(huán)計算:

        三、計算結果

        我們假定用有限差分法計算出來的結果為“準確解”(該方法詳細內容見[13]之中的介紹),然后將其與蒙特卡洛方法得出的結果進行比較分析。

        在具體的計算過程中,本文設標的資產(chǎn)的平均收益率r=0.1,標的資產(chǎn)波動率σ=0.4,到期日T=1(年),合約執(zhí)行價格K=10。

        關于美式看跌期權,t=0時的價格V0(s)對不同的s計算結果(見下頁表1)。

        關于美式看漲期權,t=0時的價格V0(s)對不同的s計算結果(見下頁表2)。

        從表2中不難看出,模擬次數(shù)越多時,得到的數(shù)值解越接近“準確解”。

        表1

        表2

        結論

        本文討論了美式期權定價的蒙特卡洛方法,我們根據(jù)美式期權的特點詳細地制定了相應的數(shù)學模型和Matlab程序。本文比較了蒙特卡洛方法與有限差分法得到的數(shù)值結果,發(fā)現(xiàn)它們非常接近。相對于傳統(tǒng)二項式、有限差分(隱式和顯式)等方法,蒙特卡洛方法具備了更好的普適性,可推廣用于各式期權價格的計算中,在實際應用中也就更能大顯身手。但蒙特卡洛方法也有自己的缺點,那就是仿真結果不太精確,具有較大波動性,尤其是在在模擬次數(shù)較小的時候。為了提高精度,我們可以增加模擬次數(shù)。但是,蒙特卡洛方法具有一般性,相信本文的研究方法可以較好地解決其他各式期權價格的計算問題,同時,也可以將之推廣應用于其他類型的金融衍生品的定價問題中。

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