郝家芹 ，閔　杰 ， 蘆　偉

(1. 宿州學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 宿州　234000； 2. 安徽建筑大學 數(shù)理學院，安徽 合肥　230601)

部分延期付款且考慮非瞬間變質(zhì)物品的庫存模型

郝家芹1，閔杰2， 蘆偉1

(1. 宿州學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 宿州234000； 2. 安徽建筑大學 數(shù)理學院，安徽 合肥230601)

摘要:針對具有一定保鮮期的物品，在零售商享有供應(yīng)商提供的全額信用期而僅提供給其顧客部分信用期的假設(shè)條件下，建立非瞬間變質(zhì)物品的庫存模型。通過分析，給出了描述模型最優(yōu)解的存在性和唯一性的三個定理，數(shù)值例子驗證了模型的理論結(jié)果，重要參數(shù)的靈敏度分析給零售商決策訂貨策略提供理論建議。

關(guān)鍵詞:部分延期付款；二層信用支付；非瞬間變質(zhì)物品；庫存模型

在激烈的市場競爭中，供應(yīng)商為了增加銷售量、減少庫存積壓，常允許零售商延期一段時間支付貨款(此銷售策略稱為信用支付策略，延期付款的時間稱為信用期)；同樣，零售商為了刺激消費，也常在銷售過程中采用延期付款的銷售策略。本文將供應(yīng)商和零售商在銷售過程中同時采用延期付款的銷售策略定義為二層信用支付策略。自2003年，二層信用支付策略被Huang[1]引入EOQ(經(jīng)濟訂購批量)模型以后，此問題受到越來越多的學者的關(guān)注。Liao[2]和Chang等[3]把Huang[1]的研究成果擴展到考慮易變質(zhì)物品的庫存模型。姚云飛等[4]在二層信用支付策略的條件下研究了零售商根據(jù)顧客的需求量不同給予不同信用期的庫存問題。為了探討需求受庫存水平變化的影響，Min等[5]建立了二層信用策略下需求量依賴零售商的在庫庫存量且考慮變質(zhì)物品的庫存模型。Kreng和Tan[6]以及Ouyang等[7]在供應(yīng)商和零售商是否采用信用策略受到零售商訂購量影響的假設(shè)條件下，研究了信用期依賴訂購量的最優(yōu)訂貨問題；而在Teng等[8]的文章中不僅研究了零售商的信用期依賴其訂購量而且將常數(shù)需求擴展到需求是時間的非負函數(shù)的情形。Mahata[9]在零售商享有供應(yīng)商提供信用期的同時提供給其顧客部分信用期(即顧客在購買物品時支付部分貨款，其余貨款在信用期結(jié)束時支付)的條件下，討論了易變質(zhì)物品的經(jīng)濟生產(chǎn)批量的庫存問題。隨后，杜文意等[10]在零售商和顧客都存在部分延期支付的假設(shè)條件下，討論了易損商品三階段經(jīng)濟批量訂貨策略。為了探討零售商的自有貨棧有限情形下的庫存問題，Liao[11]在二層信用支付策略的條件下研究了庫存容量有限的變質(zhì)物品的最優(yōu)訂貨策略。Hardik[12]在展臺容量有限且?guī)齑孀罱K剩余量非零的假設(shè)前提下，建立了二層信用支付下變質(zhì)物品的庫存模型。

1模型描述

本文在建立數(shù)學模型時，引入下列符號和假設(shè)：

(1) 供貨率無限大，不考慮提前期，不允許缺貨，計劃期長度無限；

(2) Tθ為物品的保鮮期，當T≤Tθ時物品不發(fā)生變質(zhì)；當T>Tθ時物品以常數(shù)θ(0<θ<1)的速率發(fā)生變質(zhì)，物品一旦變質(zhì)立即離開庫存系統(tǒng)且殘值為零；

(3) A為每次的訂購費；c為單位物品的購買成本；p為單位銷售價格；h為單位物品單位時間的庫存維持費(不含利息支出)；M為供應(yīng)商提供給零售商信用期；N為零售商提供給顧客信用期(0≤N≤M)；Ie為年收益利率；Ip為年支付利率；α(0≤α≤1)為顧客在訂貨時支付給零售商貨款的比例；D為單位時間的需求量；Q為每次訂購量；T為一個訂貨周期(決策變量)； Π(T)表示零售商的單位時間的平均利潤。

(4) I(t)為t∈(0,T]內(nèi)t時刻的庫存水平；當T>Tθ時，I1(t)記為(0,Tθ]內(nèi)t時刻的庫存水平；I2(t)記為(Tθ,T]內(nèi)時刻的庫存水平。

根據(jù)上述符號和假設(shè)，本文的庫存系統(tǒng)的運行過程可以表述為：在每個供貨周期開始時有Q個單位的物品進入庫存系統(tǒng)。當T≤Tθ時，庫存物品由于需求而減少，在T時刻下降為零。此時，庫存水平I(t)的狀態(tài)方程為，I′(t)=-D， 0≤t≤T且T≤Tθ， I(T)=0。

解上述微分方程，得

I(t)=D(T-t)，0≤t≤T且T≤Tθ

(1)

此時期初的訂購量Q=I(0)=DT。

利用邊界條件I1(0)=Q，上述微分方程的解為

I1(t)=Q-Dt， 0≤t≤Tθ

(2)

解上述微分方程，得

(3)

故而求得T>Tθ情形下，初始訂購量Q為

(4)

下面考慮一個訂貨周期內(nèi)，與零售商的收入和支出相關(guān)的因素。

(1) 零售商的收入包括：

(a) 銷售收入E=pDT；

(b) 零售商的利息收入

當0

當N

當M

(2) 零售商需支出的費用包括：

(a) 訂購費 A；

(b) 購買成本

當T≤Tθ時， C=cDT；

(c) 庫存維持費

當T≤Tθ時，

當T>Tθ時，

(d) 零售商的利息支出

當M≤T≤Tθ時，

當M≤Tθ≤T時，

一個供貨周期內(nèi)零售商的利潤為E+IE-A-C-H-IP。零售商的平均利潤

由于Tθ、N和M的大小關(guān)系不同，本文的目標函數(shù)分以下三種情形：0

其中

2模型求解

其中

(2)、(3)、(4)類似可得證。

其中

證明過程類似定理1。

其中

證明過程類似定理1。

3數(shù)值例子

為了說明本模型，下面列舉本模型有關(guān)應(yīng)用的例子。

例1設(shè)某零售商面臨的年需求量D=5 000，單位時間單位產(chǎn)品庫存維持費h=2，該產(chǎn)品采購價格c=36，產(chǎn)品銷售價格p=45，年支付利率Ip=0.13，年收益利率Ie=0.09，物品的變質(zhì)率θ=0.1，顧客在購買物品時支付的比例α=0.3，其余貨款在信用期結(jié)束時支付。下列表格1-3說明了本模型的三個定理

；；

；；

；；

；

；

；

由表4-表6可以看出：

4結(jié)束語

在實際的生產(chǎn)和銷售中，很多物品都有一定的保鮮期。在保鮮期內(nèi)物品完好無損，過了保鮮期物品才開始發(fā)生變質(zhì)。本文研究了具有一定保鮮期的物品的庫存問題，在零售商享有供應(yīng)商提供的信用期的同時提供給其顧客部分信用期的假設(shè)條件下建立數(shù)學模型，通過分析和求解給出本模型最優(yōu)解的存在性和唯一性的理論結(jié)果。最后，通過數(shù)值例子對模型的三個理論結(jié)果進行驗證，重要參數(shù)保鮮期Tθ、供應(yīng)商提供給零售商的信用期M以及零售商提供給顧客的信用期N的靈敏度分析為零售商進行訂貨策略提供如下建議：當其他參數(shù)保持不變時(1)零售商為了獲得較大的平均利潤，應(yīng)盡可能縮短提供給顧客的信用期N；如果零售商為了獲得較長的訂貨周期，那么可以適當延長提供個顧客的信用期N；(2)零售商為了增加自身的平均銷售利潤，盡可能與供應(yīng)商談判， 獲得較長的信用期M；(3)零售商可以通過改變物品的存放環(huán)境，延長物品保鮮期，從而提高自身的平均銷售利潤。

本模型忽略了需求的變化、貨幣的時間價值及供應(yīng)鏈企業(yè)競爭等因素，我們可在本模型的基礎(chǔ)上進一步研究這些因素對供應(yīng)鏈系統(tǒng)的影響。

參考文獻：

[1]Huang Y F. Optimal retailer's ordering policies in the EOQ model under trade credit financing[J]. Journal of the Operational Research Society, 2003, 54(9): 1011-1015.

[2]Liao J J. An EOQ model with noninstantaneous receipt and exponentially deteriorating items under two-level trade credit[J]. International Journal of Production Economics, 2008, 113(2): 852-861.

[3]Chang Chuntao, Teng J T, Chern M S. Optimal manufacturer’s replenishment policies for deteriorating items in a supply chain with up-stream and down-stream trade credits[J]. International Journal of Production Economics, 2010, 127(1): 197-202.

[4]姚云飛，郝家芹，張亞東．二層信用支付下顧客細分的庫存模型[J]．應(yīng)用數(shù)學，2013，26(4)：791-797．

[5]Min J, Zhou Y W, Zhao J.An inventory model for deteriorating items under stock-dependent demand and two-level trade credit[J]. Applied Mathematical Modelling, 2010, 34(11): 3273-3285.

[6]Kreng V B, Tan S J. The optimal replenishment decisions under two levels of trade credit policy depending on the order quantity[J]. Expert Systems With Applications, 2010, 37(7): 5514-5522.

[7]Ouyang L Y, Yang C T, Chan Y L, et al. A comprehensive extension of the optimal replenishment decisions under two levels of trade credit policy depending on the order quantity[J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 224: 268-277.

[8] Teng J T, Yang H L, Chern M S. An inventory model for increasing demand under two levels of trade credit linked to order quantity [J]. Applied Mathematical Modelling, 2013, 37: 7624-7632.

[9]Mahata G C. An EPQ-based inventory model for exponentially deteriorating items under retailer partial trade credit policy in supply chain[J]. Expert Systems With Applications, 2012, 39(3): 3537-3550.

[10]杜文意，艾興政，劉曉婧，等．基于部分延遲支付期限的易損品經(jīng)濟批量訂貨模型研究[J]．管理工程學報，2014，28(3)：209-217．

[11]Liao J J, Huang K N, Ting P S. Optimal strategy of deteriorating items with capacity constraints under two-levels of trade credit policy[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 233: 647-658.

[12]Soni H N. Optimal replenishment policies for deteriorating items with stock sensitive demand under two-level trade credit and limited capacity[J]. Applied Mathematical Modelling, 2013, 37(8): 5887-5895.

An inventory model for non-instantaneous deteriorating items with

partial permissible delay in payments

HAO Jia-qin1, MIN Jie2, LU Wei1

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,SuzhouUniversity,SuzhouAnhui, 234000China;

2.SchoolofMathematicsandPhysics,AnhuiJianzhuUniversity,Hefei,Anhui230601China)

Abstract:Based on the items with some freshness-keeping period, an inventory model for non-instantaneous deteriorating items will be established under the conditions of the assumption that the retailer can obtain a full credit period offered from the supplier, and offers a partial trade credit to his/her customer. By analysis, three theorems are established to describe the optimal solution which is not only existence but also uniqueness. The numerical examples are given to illustrate all these theorems, and sensitive analysis of the major parameters is provided for the theoretical suggestions of the retailer ordering strategy.

Key words:partial permissible delay in payments; two-level trade credit; non-instantaneous deteriorating items; inventory model

作者簡介:郝家芹(1983-), 女, 碩士, 助教。研究方向:供應(yīng)鏈管理。上述關(guān)于變質(zhì)物品的文獻均假設(shè)物品進入庫存系統(tǒng)立即發(fā)生變質(zhì)，但在實際經(jīng)濟生產(chǎn)中很多產(chǎn)品都具有一定的保鮮期，保鮮期過后才會發(fā)生變質(zhì)，例蔬菜、水果等。為了使庫存模型更貼近現(xiàn)實，本文將研究具有一定保鮮期物品的庫存問題。文章首先假設(shè)零售商享有供應(yīng)商提供的信用期，而其顧客在購買物品時需要支付一定比例的費用，其余的費用可以延期一段時間支付(此付款方式稱為部分延期付款)；其次，根據(jù)假設(shè)條件建立相應(yīng)的數(shù)學模型，然后對模型進行求解，得出最優(yōu)解的存在性和唯一性的理論結(jié)果；最后，通過數(shù)值例子對模型的理論結(jié)果進行驗證和說明，重要參數(shù)的靈敏度分析為零售商進行訂貨策略提供建議。

基金項目:國家自然科學基金資助項目(71101002); 安徽省重大教學改革研究項目(2013zdjy151); 宿州學院科研項目(2013yyb05); 國家級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目(201310379006)資助。

收稿日期：2014-12-29

中圖分類號:O227；F224

文獻標識碼:A

文章編號：1004-4329(2015)02-107-08