高　珊

(阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽　236037)

Bernoulli 機制下具有不耐煩顧客和多重休假的排隊系統(tǒng)

高珊

(阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽236037)

摘要:考慮Bernoulli機制下具有兩類窮盡多重休假的M/M/1排隊系統(tǒng)。當(dāng)正規(guī)服務(wù)結(jié)束且系統(tǒng)變空時，服務(wù)臺總是進行經(jīng)典多重休假或多重工作休假。在經(jīng)典休假期內(nèi)，由于得不到服務(wù)，顧客會選擇幾何放棄的方式離開系統(tǒng)。對于該系統(tǒng)，首先得到了平穩(wěn)概率分布和一些性能測度；其次討論了系統(tǒng)隊長的隨機分解性；第三分析了在正規(guī)忙期開始時刻系統(tǒng)隊長分布和忙循環(huán)。

關(guān)鍵詞:多重休假；Bernoulli 機制；不耐煩顧客； 性能分析

最近，服務(wù)臺休假的排隊系統(tǒng)得到了越來越多的研究，這是因為該類排隊系統(tǒng)在計算機和通訊系統(tǒng)，生產(chǎn)管理中具有廣泛的應(yīng)用。常見的服務(wù)臺休假的方式有兩種：經(jīng)典休假和工作休假。在經(jīng)典休假期中服務(wù)臺是完全停止服務(wù)的，而在工作休假期中服務(wù)臺是以低于正規(guī)服務(wù)率的低服務(wù)率為顧客進行服務(wù)[1-7]。

在大多數(shù)文獻(xiàn)中，進入系統(tǒng)后的顧客往往被假設(shè)為是具有耐煩性的，即等待隊列的顧客直到其服務(wù)完成途才離開系統(tǒng)，中途是不會選擇離開的。然而，在現(xiàn)實生活中這種假設(shè)是不實際的。在實際的排隊系統(tǒng)中，由于各種原因可能導(dǎo)致等待服務(wù)的顧客不耐煩而放棄接受服務(wù)。比如，醫(yī)院急診室的危重患者，銀行中急需辦理業(yè)務(wù)的顧客等，這些顧客往往會由于等待過長或服務(wù)臺不可用而變得不耐煩，從而會選擇不接受服務(wù)而放棄離開系統(tǒng)。顧客本文考慮一類具有不耐煩顧客和兩類休假排隊系統(tǒng)，其中顧客不耐煩是由于服務(wù)臺的低服務(wù)率引起的，該類排隊推廣了文獻(xiàn)[6,7,10]的研究。

1模型介紹

本文研究Bernoulli機制下具有不耐煩顧客和兩類休假策略的單個服務(wù)臺的排隊系統(tǒng)，具體假設(shè)如下：

顧客按照強度為的Poisson過程到達(dá)系統(tǒng)且先到先服務(wù)。在正規(guī)忙期和工作休假期內(nèi)的服務(wù)時間分別服從參數(shù)為υ和μ (υ<μ)的指數(shù)分布。 如果在一個正規(guī)服務(wù)完成之后系統(tǒng)變空，服務(wù)員在Bernoulli機制下開始進行休假: 以概率進行一次經(jīng)典休假，在此休假期內(nèi)服務(wù)臺完全停止服務(wù), 或者以概率β(=1-α)進行一次工作休假，在此假期內(nèi)服務(wù)臺以服務(wù)率給顧客提供服務(wù)。 當(dāng)經(jīng)典休假(或工作休假) 結(jié)束如果系統(tǒng)中有顧客，服務(wù)臺恢復(fù)到正常工作水平。否則, 他將繼續(xù)下一次的經(jīng)典休假 (或工作休假)。 假設(shè)經(jīng)典休假和工作休假時間分別服從參數(shù)為γ和θ的指數(shù)分布。

在服務(wù)臺經(jīng)典休假期內(nèi)，由于得不到服務(wù)，顧客可能不耐煩而放棄等待接受服務(wù)以致離開系統(tǒng)。 假設(shè)放棄機會按照參數(shù)為ξ的Poisson過程發(fā)生。 在放棄時刻，系統(tǒng)中的每一顧客按照參數(shù)為的幾何分布離開系統(tǒng): 每一顧客按順序依次以概率p離開系統(tǒng)，當(dāng)某個顧客首次以概率q(=1-p)選擇留在系統(tǒng)時，那么到此顧客為止系統(tǒng)中的顧客數(shù)不再減少。這種退出系統(tǒng)的方式我們稱為幾何退出。關(guān)于幾何退出的應(yīng)用, 可參閱文獻(xiàn)[2]。

圖1　馬爾科夫過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

假設(shè)所有隨機變量相互獨立。根據(jù)模型描述，在時刻t, 系統(tǒng)的狀態(tài)可以由馬爾科夫過程X(t)={N(t),J(t)}描述, 其中N(t)表示系統(tǒng)中的顧客數(shù)，J(t)表示服務(wù)臺的狀態(tài),

馬爾科夫過程的轉(zhuǎn)移率圖見圖1。

j=0,2;n≥1,j=1。

下節(jié)中我們利用母函數(shù)方法來討論平穩(wěn)分布{πn,j,n≥0,j=0,2;n≥1,j=1}的表達(dá)式。

2平穩(wěn)分布

對于平穩(wěn)分布πn,j,n≥0,j=0,2;n≥1,j=1, 定義母函數(shù):

則有下列結(jié)果。

定理1母函數(shù)Πj(z)，j=0，1，2滿足以下各式：

(1)

(2)

(3)

其中

r1,r2,r3和r4分別由下面的(13),(14),(19) 和(20)給出。

證明根據(jù)模型假設(shè)，我們有以下平穩(wěn)方程

(4)

(5)

(λ+μ)π1,1=γπ1,0+θπ1,0+θπ1,2+μπ1,2

(6)

(λ+μ)πn,1=

γπn,0+θπn,0+θπn+1,1+λπn-1,1,n≥1

(7)

λπ0,2=βμπ1,1+υπ1,2

(8)

(λ+υ+θ)πn,1=λπn-1,2+υπn+1,2,n≥1

(9)

由方程(4)得

(10)

方程(5)兩邊同乘以zn且關(guān)于n從1到∞求和可得

(λ+γ+ξ)(0(z)-π0,0)=

(11)

(λ+γ+ξ-λz)(z-p)0(z)=

(λ+γ+ξ)(z-p)π0,0+ξqz(0(z)-0(p)),

將 (11)代入上式并經(jīng)計算可得

(12)

比較(10)和(12)，我們發(fā)現(xiàn)(12)對于任意的|z|≤1都成立。

記D0(z)=(λ+γ+ξ-λz)(z-p)-ξqz，則易證明(12)的分母有兩個根r1和r2:

(13)

(14)

其中0

((λ+γ+ξ)(z-p)-q(λ+ξ)z)π0,0+

αμqzπ1,1=C(z-r1)

(15)

(16)

另一方面，由(15)可得((λ+γ+ξ)(r1-p)-q(λ+ξ)r1)π0,0+αμqr1π1,1=0，且利用r1r2=p(λ+γ+ξ)/λ,r1+r2=(λ(1+p)+γ+pξ)/λ，λ(1-r1)(r2-1)=qγ，經(jīng)計算我們有

(17)

類似地，由方程(1)和(7)可得

(18)

由方程(8)和(9)可得

(19)

(20)

其中0

(21)

且r3是方程((θ+υ)z-v)π0,2+βμzπ1,1=0的根，且λ(1-r3)(r4-1)=θ。于是我們有

(22)

(23)

利用(16-17), (21-22)可得

(24)

進一步利用r3r4=ν/λ,r3+r4=(λ+ν+θ)/λ，可得

(25)

其中

因而可得

由此定理1得證。

注 1(1) 若α=1, 所討論的模型變?yōu)槲墨I(xiàn)[10]中的模型,0(z)和1(z)的表達(dá)式與[10]中的方程(3.16)和(3.20)是相同的。

(2) 若β=1,所討論的模型為具有工作休假的M/M/1排隊，見文獻(xiàn)[6]。

推論 1平穩(wěn)分布πn,j,n≥0,j=0,2;n≥1,j=1的表達(dá)式為:

在下面的推論2，我們給出一些重要的性能指標(biāo)。

推論2(1) 令P0,P1和P2分別表示服務(wù)臺處于經(jīng)典休假期、正規(guī)忙期和工作休假期的概率，則

(2)令Ls表示系統(tǒng)中的顧客數(shù), 則

3隨機分解

隨機分解性是休假排隊系統(tǒng)的一個特性，即系統(tǒng)隊長可以分解成兩個相互獨立隨機變量之和，其中一個隨機變量為無休假的普通排隊系統(tǒng)的隊長，另一個為由休假引起的延遲隊長。本節(jié)證明隨機分解性對于我們所討論的Bernoulli機制下具有不耐煩顧客的隨機排隊系統(tǒng)仍然成立。

定理2若p<1, 則系統(tǒng)隊長Ls可以分解為獨立隨機變量L0和Ld的和，其中L0是經(jīng)典M/M/1排隊系統(tǒng)的系統(tǒng)隊長且服從參數(shù)為1-ρ的幾何分布,Ld是附加隊長，其分布為

P(Ld=n)=

證明由定理1,Ls的母函數(shù)Ls(z)可表示為

Ls(z)=0(z)+1(z)+2(z)=

其中

由上述表達(dá)式容易求得Ld的分布的表達(dá)式。定理得證。

4正規(guī)忙期開始時刻系統(tǒng)隊長分布和忙循環(huán)

(26)

對正規(guī)忙期開始時刻之前服務(wù)臺的狀態(tài)取條件，我們有

P(Nb=n)=K1[γπn,0+θπn,2],n≥1

(27)

于是可得

Nb(z)=K1(γ0(z)+θ2(z)-γπ0,0-θπ0,2)

利用正則性條件Nb(1)=1, 我們有

由定理1，

于是

因此

(28)

利用交替更新定理，得

由推論2和(29)容易求得

p0=1-ρ,P1=ρ,P2=0，

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On a queue with impatient customers and multiple

vacations under Bernoulli schedule

GAO Shan

(SchoolofMathematicsandStatistics,FuyangNormalCollege,FuyangAnhui236037,China)

Abstract:This paper treats an M/M/1 queue with two types of exhaustive multiple vacations under Bernoulli schedule. The server always takes classical multiple vacations or multiple working vacations when the system becomes empty after a normal service completion. Moreover, during classical vacation period, customers may choose to leave the system according to geometric abandonments because of no service available. For this model, we firstly obtain the stationary probability distribution and some performance measures of interest. Secondly, we discuss the stochastic decomposition of the system size. Thirdly, we analyze the system size distribution at the initial epoch of a regular busy period and busy cycle.

Key words:multiple vacations; bernoulli schedule; impatient customers; performance analysis

作者簡介：高珊(1975-)，女，博士，副教授。研究方向：排隊論和風(fēng)險理論。放棄離開系統(tǒng)對系統(tǒng)的平穩(wěn)性和性能測度有重要的影響[8,9]。

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11171179)；安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究項目(KJ2014ZD21，2014KJ017)；阜陽師范學(xué)院質(zhì)量工程項目(2013ZYSD05，2014JXTD01)資助。

收稿日期：2015-01-15

中圖分類號:Q211.6

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號：1004-4329(2015)02-012-05