徐建中，周宗福

(1．亳州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系，安徽 亳州　236800；2．安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥　230601)

一類分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)共振邊值問題的可解性

徐建中1，周宗福2

(1．亳州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系，安徽 亳州236800；2．安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230601)

摘要:利用重合度理論，研究了一類分?jǐn)?shù)階微分方程共振邊值問題解的存在性，得到了其解存在的一個(gè)充分條件，并舉例驗(yàn)證結(jié)果的有效性。

關(guān)鍵詞:共振邊值問題；分?jǐn)?shù)階積分；分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程發(fā)展迅速，引起許多專家學(xué)者的高度關(guān)注，這不僅是自身理論發(fā)展的需要也是其廣泛應(yīng)用的結(jié)果。分?jǐn)?shù)階微分方程除在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用外，還在生物數(shù)學(xué)、流體力學(xué)、粘彈性理論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)控制器等領(lǐng)域有許多重要而廣泛的應(yīng)用。而分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題，尤其是共振邊值問題，一直以來受到大家的廣泛關(guān)注[1-5]。但是目前所研究的基本上都是低階的情形，對(duì)于高階(n-1<α

為了方便，本文作下面假設(shè):

(H1)0<ξ1<ξ2<…ξM1<1,

0<η1<η2<…<ηM2<1,

0<ζ1<ζ2<…<ζM3<1,

1預(yù)備知識(shí)

設(shè)X和Y是實(shí)Banach空間，L:dom(L) ?X→Y為指標(biāo)為零的Fredholm映射，投影算子P:X→X,Q:Y→Y,滿足lmP=KerL,KerQ=lmL,X=KerL⊕KerP, Y=lmL⊕lmQ，則L|domL∩Ker P :domL∩KerP→ImL是可逆的，記其逆算子為Kp。

定義2[7]設(shè)α>0,n=[α]+1，y(t)∈L1(0,T),T>0，稱

(1)?(x,λ)∈[(domLKerL)∩?Ω]×[0,1],Lx≠Nx；

(2)?x∈KerL∩?Ω,Nx?lmL;

引理3[7]設(shè)α>0,β>0，則

(4)設(shè)n是大于或等于α的最小整數(shù)，則：

引理4X是Banach空間。

ui(t)+d1tα-2+d2tα-3+…+dn-1tα-n

(3)

(4)

由(3)式，(4)式得

(5)

2主要結(jié)果

定義線性泛函T1,T2,T3,Q1,Q2,Q3:Y→R,

定義線性算子P:X→X,Q:Y→Y

Qy(t)=(Q1y)+(Q2y)t+(Q3y)t2,

即

引理5若 (H1),(H2)成立，則：

(1)P,Q為投影算子;

(2)KerQ=lmL;lmP=KerL,X=KerL⊕KerP,Y=lmL⊕lmP，L為指標(biāo)為零的 Fredholm算子，L|dom L∩Ker P是可逆的，設(shè)其逆算子為Kp，則Kp可表為

證明(1)要證P,Q為投影算子，只要證明P,Q為冪等算子。由引理2易證P2=P。

(6)

(2)下證KerQ=lmL

設(shè)y∈lmL，則?x∈domL∩X，使得y=Lx，由引理2(4)得

由x(0)=x′(0)=…x(n-4)=0，得d4=…=dn-1=dn=0。

由邊界條件(2)式, (H1)及引理2推出：

即T1y=T2y=T3y=0，故y∈KerQ，lmL?KerQ。

所以x∈domL,y∈lmL，因此KerQ?lmL，故KerQ=lmL。

(3)證明lmP=KerL，X=KerL⊕KerP,Y=lmL⊕lmQ及L為指標(biāo)為零的Fredholm映射。由(6)式及(H2)知KerQ={y∈Y|T1y=T2y=T3y=0}。

由(2)知lmL={y∈Y|T1y=T2y=T3y=0}。

由引理2(4)和(2)式得：

KerL={d1tα-1+d2tα-2+d3tα-3|d1,d2,d3∈R}

(7)

由P的定義與性質(zhì)及引理2,容易推出lmP=KerL。

由P的冪等性，?u∈X,P(x-Px)=Px-Px=0,x-Px∈KerP，

由x=(x-Px)+Px知X=KerP+lmP。設(shè)v∈KerP∩lmP，則?u∈X,Pu=v,故v=Pu=P2u=P(Pu)=Pv=θ,KerP∩lmP={θ}。 故X=KerP⊕lmP,從而X=KerP⊕KerL。由Q的冪等性，同理可證Y=KerQ⊕lmQ，由(2)得

Y=lmL⊕lmQ

(8)

由(7)式知，dimKerL=3，由Q的定義Qy(t)=(Q1y)+(Q2y)t+(Q3y)t2,知

lmQ={d1+d2t+d3t2|d1,d2,d3∈R}，所以dimlmQ=3。又由(8)式知codimlmL=dimlmQ=3，故dimKerL=codimlmL=3。因此L為指標(biāo)為零的Fredholm算子。

另一方面，?x∈domL∩KerP，由引理2(4)知

(9)

由KpLx∈domL，x∈domL可得KpLx(0)=x(0)=0,(KpLx)′(0)=x′(0)=0,……，

(KpLx)(n-4)(0)=x(n-4)(0)=0,再由(9)式得dn=0，dn-1=0，……，d4=0

知KpLx(t)=x(t)+d1tα-1+d2tα-2+d3tα-3

(10)

由x∈KerP,KpLx∈KerP得：

(11)

由(10)式，(11)式及引理2(1)(2)得d1=d2=d3=0，故KpLx=x,?x∈domL∩KerP，所以Kp確為L|dom L∩Ker P的逆算子。

≤M(t2-t1)。

為了得到本文主要結(jié)果,現(xiàn)作出如下假設(shè)：

(H4)存在函數(shù)ψ,g,h∈L1[0,1]，使得

d‖g‖1+2‖h‖1<1，

(H5)存在l>0,?x∈domL, 若

(H6)?m>0,?x∈domL,若

(H7)?r>0,?x∈domL,若

引理7設(shè)(H1)-(H7)成立，則：

(1)Ω1={x|x∈domLKerL,Lx=λNx,λ∈(0,1)}有界；

(2)Ω2={x|x∈KerL,Nx∈lmL}有界。

證明(1)?x∈Ω1,Nx∈lmL，由lmL={y∈Y|T1y=T2y=T3y=0}，得

T1Nx=T2Nx=T3Nx=0

由Lx=λNx,x(0)=x′(0)=…=x(n-4)(0)=0得

d1tα-1+d2tα-2+d3tα-3

(12)

(13)

(14)

由上式和(13)式，(14)式及Γ(α)>Γ(α-1)，可推出：

b=d‖g‖1,c=d‖h‖1，

(2)設(shè)x∈Ω2,則x(t)=d1tα-1+d2tα-2+d3tα-3,d1,d2,d3∈R，

故Ω2有界。

引理8設(shè)(H1)-(H3)及(H5)，(H6)，(H7)的前半部分成立，則

Ω3={x|x∈KerL,λJx+(1-λ)QNx=0,λ∈[0,1]}有界，其中

(15)

證明設(shè)x∈Ω3，則?d1,d2,d3∈R及λ∈[0,1]使得x(t)=d1tα-1+d2tα-2+d3tα-3且λJx+(1-λ)QNx=0即

利用(6)式，(15)式，(H2)知

λd1+(1-λ)T1Nx=0

(16)

λd2+(1-λ)T2Nx=0

(17)

λd3+(1-λ)T3Nx=0

(18)

故(H6)中假設(shè)不成立，即?t2∈[0,1]，

-λJx+(1-λ)QNx=0,λ∈[0,1]}有界。

定理1若(H1)-(H4)成立及(H5)，(H6), (H7)的前半部分或后半部分成立，則邊值問題(1)式、(2)式在X中至少有一解。

由引理1知，只需證明

deg(QN|Ker L,Ω∩KerL,0)≠0。

令H(x,λ)=±Jx+(1-λ)QNx，由引理8知，

?x∈?Ω∩KerL,H(x,λ)≠0。由Brouwer度的同倫不變性，

deg(QN|Ker L,Ω∩KerL,0)=deg(H(·,0),

Ω∩KerL,0)=deg(H(·,1),

Ω∩KerL,0)=deg(±J,Ω∩KerL,0)=1≠0

3應(yīng)用舉例

考慮分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題:

(19)

(20)

其中

即在分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1)式(2)式中

令r=216,l=125,可推出(H1)-(H4)成立及(H5)，(H6)的前半部分成立，由定理1知，方程(19)、(20)至少有一解。

參考文獻(xiàn)：

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[7]Kilbas A A,Srivastava H M,Trujillo J J,Theory and Applications of Fractional Differendial Equations[M].Elsevier,2006.

Solvability of a class of fractional order differential equation of

multi-point boundary value problems of resonance

XU Jian-zhong1，ZHOU Zong-fu2

(1.DepartmentofMathematics,BozhouTeachersCollege,BozhouAnhui236800,China；

2.SchoolofMathematicalSciences,AnhuiUniversity,HefeiAnhui230601,China)

Abstract:By using the coincidence degree theory， the existence of solutions for boundary value problems at resonance of fractional differential equations was studied, and a sufficient condition of the existence of the solutions was gotten. An example was given to illustrate the result.

Key words:boundary value problems at resonance; fractional integral; fractional derivative

作者簡介：徐建中(1979-)，男，碩士，講師。研究方向：泛函微分方程。其中n-1<α

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10771001);安徽省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(KJ2013B153,KJ2013Z258);亳州師?？蒲许?xiàng)目(BZSZKYXM201302,2012yc02,2012yc13,2012yc24)專項(xiàng)資金資助。

收稿日期：2014-12-08

中圖分類號(hào):O175.8

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào)：1004-4329(2015)02-001-06