劉偉杰 諶 穎

北京控制工程研究所，北京100190

近年來，故障診斷與容錯(cuò)控制集成技術(shù)得到了廣泛的關(guān)注［1］，與非集成的故障診斷與容錯(cuò)控制相比，集成設(shè)計(jì)可以降低故障診斷單元與容錯(cuò)控制單元的相互影響，并同時(shí)考慮故障診斷的性能與容錯(cuò)控制器的魯棒性能，使系統(tǒng)具有更好的容錯(cuò)能力和故障觀測(cè)能力。在一些需要高可靠性的自動(dòng)化領(lǐng)域如載人飛機(jī)［2］、化工設(shè)備等，故障診斷與容錯(cuò)控制的集成技術(shù)已經(jīng)得到了應(yīng)用。

1986 年，Nett［3］首先提出這一思想，并設(shè)計(jì)了一個(gè)四參數(shù)集成控制器。近年來，針對(duì)線性系統(tǒng)的故障診斷與容錯(cuò)控制集成技術(shù)得到了極大的發(fā)展。文獻(xiàn)［4］針對(duì)考慮干擾的線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了未知輸入觀測(cè)器，并根據(jù)估計(jì)得到的故障參數(shù)在H∞框架下設(shè)計(jì)自適應(yīng)容錯(cuò)控制器，從而實(shí)現(xiàn)集成設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)［5］針對(duì)線性定常(LTI)系統(tǒng)，考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和的情況下，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)觀測(cè)器估計(jì)故障，并通過不變集理論證明了集成設(shè)計(jì)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［6］根據(jù)定量反饋理論，設(shè)計(jì)了考慮外部擾動(dòng)LTI系統(tǒng)的集成設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)［7-8］針對(duì)線性變參數(shù)系統(tǒng)以及帶有不確定性的線性離散系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了故障診斷與容錯(cuò)控制集成方法，但這2種設(shè)計(jì)方法只能針對(duì)低頻故障，并且對(duì)于高頻干擾也缺乏魯棒性，對(duì)于快變故障難以達(dá)到診斷與容錯(cuò)目的。文獻(xiàn)［9］針對(duì)線性切換系統(tǒng)，在H∞/H2框架下設(shè)計(jì)了故障診斷與容錯(cuò)控制的集成設(shè)計(jì)，并通過求解線性矩陣不等式得到系統(tǒng)參數(shù)。

與線性系統(tǒng)中取得的顯著成果相比，非線性系統(tǒng)故障診斷與容錯(cuò)控制的研究相對(duì)緩慢。Du等［10］研究了一類非線性系統(tǒng)的故障診斷與容錯(cuò)控制集成方法，通過比較執(zhí)行機(jī)構(gòu)的實(shí)際輸出和理論輸出獲取故障信息，進(jìn)而使用模型方法對(duì)故障進(jìn)行診斷，通過故障診斷信息選擇一個(gè)能保證系統(tǒng)暫時(shí)安全運(yùn)行的工作點(diǎn)，然后設(shè)計(jì)魯棒容錯(cuò)控制器。文獻(xiàn)［11］研究了非線性電動(dòng)液壓系統(tǒng)的故障診斷與容錯(cuò)控制集成方法，利用微分幾何方法設(shè)計(jì)了魯棒故障診斷子系統(tǒng)，然后結(jié)合自適應(yīng)Backstepping方法設(shè)計(jì)了容錯(cuò)控制系統(tǒng)。文獻(xiàn)［12］針對(duì)一類非線性系統(tǒng)研究了一種故障診斷與容錯(cuò)控制的集成方法，容錯(cuò)控制器分成兩大部分，標(biāo)稱部分用于無故障時(shí)的容錯(cuò)控制并且在故障發(fā)生后，保證閉環(huán)系統(tǒng)的基本穩(wěn)定性，附加部分則在診斷器將故障診斷出來后調(diào)節(jié)控制器實(shí)現(xiàn)故障容錯(cuò)。文獻(xiàn)［13］采用一致終極有界理論研究了非線性系統(tǒng)的故障診斷與容錯(cuò)控制集成設(shè)計(jì)，但該方法要求系統(tǒng)狀態(tài)滿足一定的假設(shè)條件，從而降低了實(shí)用性。

本文針對(duì)一類非線性系統(tǒng)，完成了故障診斷與容錯(cuò)控制的集成設(shè)計(jì)。結(jié)合反饋線性化理論和不變集的證明設(shè)計(jì)了故障觀測(cè)器，結(jié)合反饋線性化理論和魯棒H∞理論，設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制器。為了提高閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，完成了控制器的D穩(wěn)定性分析，從而實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)區(qū)域部署。最后給出了該設(shè)計(jì)的仿真分析。

1 問題提出

式中，x為系統(tǒng)狀態(tài)變量;B為控制輸入矩陣;G為非線性項(xiàng)的系數(shù)陣;E為故障輸入矩陣;f(t)為系統(tǒng)故障;F(x)為系統(tǒng)的非線性項(xiàng)。

假設(shè)1故障矢量f(t)及其導(dǎo)數(shù)f·(t)都是范數(shù)有界的，并且滿足‖f(t)‖≤f0，‖f·(t)‖≤f1。f0＞0，f1＞0，‖·‖表示歐幾里德范數(shù)。

假設(shè)2 F(x)是滿足Lipschit條件的非線性函數(shù)，則存在一個(gè)正的 Lipschit常數(shù) γ1，使得‖F(xiàn)(x)-F(y)‖ ≤ γ1‖x-y‖ 。

假設(shè) 3矩陣 B和 G滿足 rank(B，G)=rank(B)。

2 故障觀測(cè)器設(shè)計(jì)

對(duì)于系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)故障觀測(cè)器

定理1對(duì)于觀測(cè)器的誤差動(dòng)力學(xué)方程(6)，如果存在正定對(duì)稱矩陣P＞0和給定參數(shù)μ＞0滿足下列矩陣不等式，則Ω(P)是系統(tǒng)(6)的一個(gè)不變集。

再由舒爾正交補(bǔ)定理［14］，由式(12)可以直接得到式(7)。再由定理1可以得知，Ω(P)是系統(tǒng)(6)的一個(gè)不變集。

3 容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)及D穩(wěn)定性分析

對(duì)于非線性系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制律

在前文中證明了觀測(cè)器系統(tǒng)的觀測(cè)誤差是全局穩(wěn)定的，也是范數(shù)有界的。因此可以通過魯棒控制理論設(shè)計(jì)控制器，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的容錯(cuò)控制。對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(17)，設(shè)計(jì)成廣義線性系統(tǒng)的形式

式(26)就等價(jià)于式(19)，由定理3可以得知，閉環(huán)系統(tǒng)(18)是漸近穩(wěn)定的，并且‖Tzcxe(s)‖∞＜γ2。

為了優(yōu)化閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，引入魯棒D穩(wěn)定性分析進(jìn)行極點(diǎn)配置。

定義1對(duì)復(fù)平面的區(qū)域D，如果存在對(duì)稱陣L ∈ Rm×m和矩陣 MT∈ Rm×m，使得

引理2［15］對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(18)，給定由式(27)描述的LMI區(qū)域D，則矩陣Ac∈Rn×n是D穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣X2∈Rn×n，使得

式中，MD(Ac，X2)=L?X2+M?(AcX2)+MT?(AcX2)T;?為Kronecker積。

定理5 如果存在正定矩陣X1和合適維數(shù)的矩陣W0，滿足下列矩陣不等式，則閉環(huán)系統(tǒng)(18)的極點(diǎn)在給定區(qū)域D內(nèi)。

證明 取X2=X1，很明顯，AcX1=AX1+BW0，由引理2可以直接得證。

4 仿真驗(yàn)證

三軸衛(wèi)星運(yùn)行在400km的近圓軌道上，采用推力器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)。其姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為［16］:

圖1描述了無故障發(fā)生時(shí)的衛(wèi)星姿態(tài)角控制曲線。圖2描述了無故障發(fā)生時(shí)的衛(wèi)星姿態(tài)角速度控制曲線。從圖中可以看出，本文設(shè)計(jì)的控制器可以很好的實(shí)現(xiàn)三軸衛(wèi)星姿態(tài)控制，控制精度比較高。

假設(shè)衛(wèi)星偏航軸推力器在35～60s期間發(fā)生故障，故障為fy=-(0.05+0.05sin(0.4t))rad·s-2，此時(shí)衛(wèi)星姿態(tài)角和姿態(tài)角速度的控制曲線如圖4～5所示。

圖4和5中的子圖分別是30～70s之間衛(wèi)星姿態(tài)角和姿態(tài)角速度的變化曲線。從圖中可以看出，在發(fā)生故障后，衛(wèi)星控制系統(tǒng)也發(fā)生了輕微的波動(dòng)，但控制性能仍然在可接受的范圍內(nèi)，說明本文所設(shè)計(jì)的控制器容錯(cuò)性能良好。

圖1 無故障情況下的姿態(tài)角

圖2 無故障情況下的姿態(tài)角速度

圖3和6分別為衛(wèi)星是否發(fā)生推力器故障的故障估計(jì)，從圖中可以看出，故障估計(jì)器迅速準(zhǔn)確地診斷并隔離出故障，并較好地完成了故障重構(gòu)，有助于控制器的容錯(cuò)輸出。

圖3 無故障情況下的故障估計(jì)

圖4 故障情況下的姿態(tài)角度

圖5 故障情況下的姿態(tài)角速度

圖6 故障情況下的故障估計(jì)

5 結(jié)論

研究了三軸衛(wèi)星姿態(tài)控制的IFDFC設(shè)計(jì)問題。從容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)過程可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能不依賴于故障觀測(cè)器對(duì)故障的估計(jì)效果，只要保證估計(jì)誤差是范數(shù)有界的，則閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性和容錯(cuò)性能。該IFDFC設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，仿真證明了該方法的有效性。

［1］ Ding S X.Integrated design of feedback controllers and fault detectors［J］.Annual Reviews in Control，2009，33:124-135.

［2］ Marcos A，Balas G J，Bokor J.Integrated FDI and Control for Transport Aircraft［C］//AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit.California，USA，August 15-18，2005.

［3］ Nett C N.Aspects of linear control system stability［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1986，31(10):941-949.

［4］ Li L J，Shen Y.Integrated adaptive fault-tolerant H∞output feedback control with adaptive fault identification［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35(3):881-889.

［5］ Fan J H，Zhang Y M，Zheng Z Q.Adaptive observerbased integrated fault-tolerant control systems against actuator faults and saturation［J］.Journal of Dynamics Systems， Measurement， andControl， 2013， 135/041008-1.

［6］ Alavi S M，Saif M.A Decentralized Technique for Robust Simultaneous Fault Detection and Control of Uncertain Systems［C］//American Control Conference.Baltimore，USA，June 30-July 02，2010.

［7］ Wang H，Yang G H.Integrated fault detection and control for LPV systems［J］.Journal of Robust Nonlinear Control，2009，19:341-363.

［8］ Wang H，Yang G H.Simultaneous fault detection and control for uncertain linear discrete-time systems［J］.IET Control Theory and Applications，2009 3(5):583-594.

［9］ Davoodi M R，Golabi A，Talebi H A.Simultaneous fault detection and control design for switched linear systems:a linear matrix inequality approach［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement and Control，2012，134(6):10-17.

［10］ Du M，Nease J，Mhaskar P.An integrated fault diagnosis and safe-parking frame-work for fault tolerant control of nonlinear systems［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2012，22(1):105-122.

［11］ Chen L，Liu S.Fault Diagnosis Integrated Fault-Tolerant Control for a Nonlinear Electro-Hydraulic System［C］//IEEE International Conference on Control Applications，Part of IEEE Multi-Conference on Systems and Control Yokohama，Japan，Setember8-10，2010，1039-1044.

［12］ Zhang X D，Parisini T，Polycarpou M M.Adaptive fault-tolerant control of nonlinear uncertainty system:an information-based diagnostic approach ［J］. IEEE Transactions on Automatic Control，2004，49(8):1259-1274.

［13］ Zhang K.Observer-Based Fault Estimation and Accommodation［M］.Springer-Verlag，Berlin，Heidelberg，2013.

［14］ 俞立.魯棒控制-線性矩陣不等式處理方法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2002:23-27.

［15］ Chilali M，Gahinet P，Apkarian P.Robust pole placement in LMI regions［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44(12):2257-2270.

［16］ 閆鑫.基于滑模的航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障診斷與容錯(cuò)控制研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2012.(Yan Xin.Study on Fault Diagnosis and Fault-Tolerant Control for Spacecraft Actuators Based on Sliding Mode Observer［D］.Harbin:Harbin Institute of Technology，2012.)