曹玉騰 倪少波

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京100854

再入機(jī)動(dòng)飛行器往往飛行馬赫數(shù)高、機(jī)動(dòng)范圍大，造成俯仰、偏航和滾動(dòng)三通道耦合強(qiáng)烈，此類控制對(duì)象本質(zhì)上為MIMO系統(tǒng)，采用基于多變量控制的相關(guān)理論和方法是解決這類飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的有效方法，且多變量系統(tǒng)穩(wěn)定裕度統(tǒng)計(jì)方法較傳統(tǒng)的基于單通道穩(wěn)定裕度計(jì)算方法更能反映這類飛行器控制系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。

傳統(tǒng)穩(wěn)定裕度分析方法主要基于SISO系統(tǒng)，不能分析通道間耦合引起的不確定性。隨著控制理論的發(fā)展，目前MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定裕度分析方法大致有以下幾種:回差矩陣奇異值方法、基于結(jié)構(gòu)奇異值的μ分析方法、實(shí)多回路穩(wěn)定分析法、Gershgorin圓盤法和穩(wěn)定超球面法等。其中回差矩陣奇異值法引入傳統(tǒng)基于SISO系統(tǒng)幅值裕度和相位裕度的概念，解決了MIMO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，因此在工程上得到了較廣泛的應(yīng)用［1］。該方法優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)現(xiàn)，缺點(diǎn)是計(jì)算保守性較大，為此Doyle提出采用結(jié)構(gòu)奇異值分析不確定系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的μ方法［2］，該方法在改善計(jì)算保守性方面有一定的優(yōu)勢(shì)，并在國(guó)內(nèi)飛行控制領(lǐng)域得到了一定的應(yīng)用［3］。

本文在回差矩陣奇異值法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了攝動(dòng)矩陣迭代法，由計(jì)算結(jié)果與回差矩陣奇異值法相比，攝動(dòng)矩陣迭代法大大改善了計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的保守性，且計(jì)算結(jié)果較為可靠。

1 回差矩陣奇異值法［4］

通過圖1討論采用回差矩陣奇異值計(jì)算多變量系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。圖1(a)中，G(s)為多變量控制對(duì)象，F(xiàn)(s)為反饋控制器，圖1(b)中，矩陣 L=diag(l1，l2，…，ln)為附加的攝動(dòng)矩陣，其中 li(i=1，2，…，n)是可變的復(fù)數(shù)，用來檢測(cè)系統(tǒng)在發(fā)生攝動(dòng)情況下的魯棒性。

圖1 多變量控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

在圖1所示的系統(tǒng)中，所加入的攝動(dòng)矩陣L形式為

其中，Ki，φi分別為攝動(dòng)矩陣某一通道的增益和相位。如果系統(tǒng)正常工作，無攝動(dòng)發(fā)生，則Ki=1，φi=0，即L矩陣為單位陣。

如圖1(b)所示系統(tǒng)，若加入攝動(dòng)系統(tǒng)L(s)后閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定，這意味著系統(tǒng)的回差陣是非奇異的，有以下關(guān)系成立

以及攝動(dòng)增益不變，允許攝動(dòng)相位的變化范圍，即多變量系統(tǒng)的相位裕度

由此可得，所有回路的增益或相位可以在由式(4)和(5)計(jì)算得到的幅值或相位裕度范圍內(nèi)變化，不會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。但由于式(3)是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，故通過該方法計(jì)算多變量系統(tǒng)穩(wěn)定裕度存在保守性。

2 攝動(dòng)矩陣迭代法

針對(duì)回差矩陣奇異值法計(jì)算保守性較大的問題，本文研究了攝動(dòng)矩陣迭代法，該方法以回差矩陣奇異值法為基礎(chǔ)，通過回差矩陣奇異值法計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，并構(gòu)造系統(tǒng)的攝動(dòng)矩陣，通過不斷增加攝動(dòng)矩陣的增益和相位，使攝動(dòng)后的系統(tǒng)逐漸逼近臨界穩(wěn)定狀態(tài)，從而得到多變量系統(tǒng)真正的穩(wěn)定裕度。

2.1 設(shè)計(jì)思路

攝動(dòng)矩陣迭代法的設(shè)計(jì)思路如圖2所示，首先應(yīng)用回差矩陣奇異值法計(jì)算多變量控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，根據(jù)穩(wěn)定裕度計(jì)算結(jié)果構(gòu)成攝動(dòng)矩陣L1，將L1串入多變量系統(tǒng)，再次應(yīng)用回差矩陣奇異值法計(jì)算穩(wěn)定裕度，并得到 L2，再將L2串入系統(tǒng)，計(jì)算L3，如此不斷循環(huán)。每一步的迭代需首先判斷當(dāng)前系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，若閉環(huán)特征根全部為負(fù)，則繼續(xù)迭代，否則跳出迭代。最終得到系統(tǒng)幅值裕度和相位裕度為L(zhǎng)=L1L2…Ln的增益和相位。

圖2 攝動(dòng)矩陣迭代法原理框圖

2.2 設(shè)計(jì)步驟

以飛行器某一特定飛行狀態(tài)對(duì)應(yīng)的相位裕度為例來具體說明攝動(dòng)矩陣迭代法的計(jì)算步驟:

1)應(yīng)用回差矩陣奇異值法初步計(jì)算多變量系統(tǒng)相位裕度，有以下關(guān)系成立

計(jì)算可得ω∈(0，+∞)范圍內(nèi)，系統(tǒng)回差矩陣最小奇異值為0.531，對(duì)應(yīng)頻率值為113rad/s，最小奇異值隨頻率的變化關(guān)系見圖3。

多變量系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度分別為

3)將攝動(dòng)矩陣L1串入系統(tǒng)，計(jì)算此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)特征根位于復(fù)平面右邊平面的個(gè)數(shù)p0，若p0=0，則返回步驟2);若p0≠0，則停止計(jì)算，若迭代超過10次，則停止運(yùn)算。

圖3 最小奇異值隨頻率變化關(guān)系曲線

經(jīng)攝動(dòng)矩陣迭代法計(jì)算得到系統(tǒng)最終的相位裕度為50.22，同理也可應(yīng)用攝動(dòng)矩陣迭代法計(jì)算系統(tǒng)幅值裕度，該方法的算法流程如圖4所示。

將攝動(dòng)矩陣迭代法和回差矩陣奇異值法計(jì)算的多變量系統(tǒng)穩(wěn)定裕度進(jìn)行對(duì)比，如表1所示。

表1 多變量控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度

圖4 攝動(dòng)矩陣迭代法流程圖

應(yīng)用改進(jìn)的穩(wěn)定裕度計(jì)算方法，系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度均有了明顯改善，大大減小了穩(wěn)定裕度計(jì)算的保守性。和單通道穩(wěn)定裕度相比，攝動(dòng)矩陣迭代法計(jì)算的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度從多變量的角度更真實(shí)的反映了多變量控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

3 仿真驗(yàn)證

根據(jù)多變量系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度確定攝動(dòng)矩陣L，代入控制系統(tǒng)定點(diǎn)仿真模型中進(jìn)行仿真。其中攝動(dòng)矩陣L分別為:

圖5 仿真狀態(tài)1

由以上仿真結(jié)果中可以得出:仿真狀態(tài)1中，系統(tǒng)出現(xiàn)高頻振蕩，但最終趨于穩(wěn)定，說明此時(shí)系統(tǒng)接近發(fā)散;仿真狀態(tài)2中，相較于仿真狀態(tài)1，系統(tǒng)的高頻振蕩較小，說明gmax還有進(jìn)一步提高的空間;仿真狀態(tài)3中，系統(tǒng)出現(xiàn)低頻振蕩并且臨近發(fā)散，此時(shí)gmin的保守性也很小。綜合比較起來，PM，gmax，gmin三項(xiàng)穩(wěn)定指標(biāo)的保守性均很小，其中PM與gmin最接近系統(tǒng)真實(shí)的裕度。

4 結(jié)論

應(yīng)用多變量控制理論，通過計(jì)算多變量系統(tǒng)回差矩陣的最小奇異值，得到多變量系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度。針對(duì)該方法在計(jì)算穩(wěn)定裕度時(shí)的保守性，采用攝動(dòng)矩陣迭代法大大改善了其保守性，且效果較佳。并通過仿真證明了攝動(dòng)矩陣迭代法計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度保守性小，且可靠性較高。

圖6 仿真狀態(tài)2

圖7 仿真狀態(tài)3

［1］ 李帆.不確定性系統(tǒng)的解耦控制與穩(wěn)定裕度分析［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)2001.(LI Fan.The Decoupling Control Study and Stability Margin Evaluation of Multivariable Uncertain Systems［D］.Xi'an:A Dissertation Submitted for the Degree of Ph.D of Northwestern Polytechnical University，2001.)

［2］ Doyle J C.Analysis of feedback systems with structured uncertainties［J］.IEEE Proceedings，Part D，1982，129(6):242-250.

［3］ 李洪超，史忠科.多變量飛控系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的μ分析方法研究［J］.飛行力學(xué)，2006，24(2):31-34.(Li Hongchao，Shi Zhongke.Study of μ analysis method for evaluation of stability margin of a multivariable flight control system［J］.Flight Dynamics，2006，24(2):31-34.)

［4］ 吳斌，程鵬.多變量飛控系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度分析［J］.航空學(xué)報(bào)，1998，19(6):657-661.(Wu Bin，Cheng Peng.Stability margin analysis of the multiloop flight control systems［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，1998，19(6):657-661.)

［5］ 周克敏.魯棒與最優(yōu)控制［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2001.(Zhou Kemin.Robust and Optimal Control［M］.Beijing:National Defend Industry Press，2001.)