吳丹丹朱家明

（安徽財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院　安徽蚌埠　233030）

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平板折疊桌的動態(tài)過程分析與參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計

吳丹丹朱家明

（安徽財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院安徽蚌埠233030）

摘要：針對平板折疊桌動態(tài)變化過程中各參數(shù)，使用軌跡方程分析、非線性規(guī)劃以及對比分析等方法，構(gòu)建折疊桌動態(tài)變化和基于非線性規(guī)劃的優(yōu)化設(shè)計模型，使用Lingo、Matlab等軟件編程，分別研究了：定量描述已知平板尺寸折疊桌的動態(tài)變化，桌角邊緣線形狀并求得每根木板的空槽長度；對于指定部分尺寸的平板桌確定最優(yōu)加工參數(shù)和平板大小，使得產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便并且用材最少。

關(guān)鍵詞：平板折疊桌；優(yōu)化模型；非線性規(guī)劃；Lingo；matlab7

創(chuàng)意平板折疊桌（RisingSideTable）是Rising系列的最新作品（立體結(jié)構(gòu)變化過程[1]見圖1），此款折疊桌的平板尺寸為120cm×50cm×3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。經(jīng)過之前的設(shè)計實驗，這件作品更注重于表達木制品的優(yōu)雅和設(shè)計師所想要強調(diào)的自動化與功能性[2]。為了增大有效使用面積，設(shè)計師以長方形木板的寬為直徑截取了一個圓形作為桌面，又將模板剩余的面積切割成了若干個長短不一的木梁，每個木梁的長度為寬到圓上一點的距離，分別用兩根金屬棒貫穿兩側(cè)的木條，使用者只需提起木板兩側(cè)，便可以在重力的作用下達到自動升起的效果。

一、平板折疊桌動態(tài)變化的定量分析

（一）桌腿端點運動軌跡。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，運用勾股定理，可求得木板尺寸表，如表1所示。

表1　木板尺寸表

圖1　折疊桌立體結(jié)構(gòu)變化圖

簡化結(jié)構(gòu)以其中某一根木條BD為例探究其與最外側(cè)木條的動態(tài)變化關(guān)系，在折疊過程中，當(dāng)BD與水平面的夾角θ小于90度時運動狀態(tài)主視圖見圖2。其中最外邊木條記為OA,B為BD的轉(zhuǎn)軸位置，C為鋼筋與OA固定處。則BD的運動狀態(tài)與最外側(cè)木條由如下關(guān)系:

圖2　折疊桌木板主視圖

圖3　折疊桌木板主視圖

當(dāng)BD與水平面的夾角大于90度時運動結(jié)構(gòu)見圖3，由（1）（2）式知，MB，NB小于0，即（3）式恰好也符合夾角α是鈍角時的計算方向，故當(dāng)0≤θ≤θmax，y有統(tǒng)一的計算公式。

由于整個桌子關(guān)于桌面中心點完全對稱，所以，只考慮左下角部分的十根木條端點的坐標(biāo)與θ的關(guān)系即可描述該動態(tài)折疊過程。為最外側(cè)木板的長度,

運用matlab軟件[3]做在此區(qū)間做每根木條劃過的軌跡見圖4。

圖4　每根木條劃過軌跡圖

（二）相關(guān)參數(shù)的求解。

當(dāng)θ=θmax時，即平板桌站立時：

2.木條端點坐標(biāo)。結(jié)合（4）式計算該狀態(tài)下桌腳邊緣的坐標(biāo)，10根木條的底端坐標(biāo)與空槽長度(w)，如表2所示。

表2　木條端點坐標(biāo)與卡槽長度值表

二、平板折疊桌的優(yōu)化設(shè)計

（一）設(shè)計思路。根據(jù)上述對平板折疊桌動態(tài)變化過程的分析，對于桌高70cm，桌面直徑80cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。并滿足折疊桌的設(shè)計應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少的條件。

（二）平板折疊桌設(shè)計模型。

1.參數(shù)設(shè)置。做出片板折疊桌的簡圖，如圖5、圖6所示。

圖5　折疊桌俯視圖

圖6　折疊桌側(cè)面示意圖

圖5表示，設(shè)計參數(shù)包括平板尺寸：a（長）×b（寬），此處不考慮平板的厚度。每根木條的寬度為d，所截木板個數(shù)為n，鋼筋的位置表示為鋼筋與最長邊轉(zhuǎn)軸的距離x，桌面兩側(cè)直線面的距離為s，開槽長度為w。

由圖5,圖6中關(guān)系可知：

2.條件分析。

(1)產(chǎn)品穩(wěn)固性要求。由模型的準(zhǔn)備，假設(shè)桌子的質(zhì)量的分布是均勻的，故若要使桌面能承重，假設(shè)在桌面的邊緣放置重力為G的物體，若此時的重心也偏移到桌面邊緣，要使得桌面不發(fā)生傾翻，支撐面至少包含桌子的邊緣。由力矩平衡，可知，

而且桌面兩側(cè)直線面的距離為s不能為0，因為桌腳對桌面有向上的支撐力，而且s在滿足支撐面與穩(wěn)定性的關(guān)系的條件下，s值越大越好。由第一題的近似，2d可作為s的下限，設(shè)定S0為s的上限。即滿足S0叟s叟2d，

(2)加工方便要求。若要滿足加工方便，則使木條的個數(shù)n盡量小，但是為了體現(xiàn)美觀，要使桌面呈現(xiàn)一個類似的圓形，此時n滿足一定的條件，即n大于一定的量，此處設(shè)為N0，即n≥NO。另開槽長度越小則加工越方便，即w越小越好。

在后續(xù)的分析中可以設(shè)N0=5,10,20,30,40，并對最終的結(jié)果進行比較。

(3)用料要求。用料最少即minab。根據(jù)(1)(2)(3)，可建立非線性規(guī)劃模型[4]:minab

非線性參數(shù)方程中沒有約束的條件，故設(shè)置來計算分析

由表4可知，當(dāng)設(shè)置不同的N0時，可見w隨N0的變化增大而增大，minab隨N0的變化的增大而減小，但是為了加工方便，w越小越好，而minab也越小越好，故對于不同的N0無法同時滿足兩個條件，根據(jù)實際情況，選取N0為20時有最優(yōu)的參數(shù)。

表5　S0,N0固定時部分參數(shù)表（單位/厘米）

綜上所述，最優(yōu)的平板尺寸為長a=165.3974cm，寬b=79.60299cm，每根木條的寬度為d=4cm，所截木板個數(shù)為n=20，鋼筋的位置表示為鋼筋與最長邊轉(zhuǎn)軸的距離x=39.3593cm，桌面兩側(cè)直線面的距離為s=7.960299cm，開槽長度為w=31.79611cm。

三、總結(jié)

本文首先對給定平板折疊桌進行參數(shù)和運動過程的定量分析[5]，并利用其運動的數(shù)學(xué)規(guī)律通過非線性規(guī)劃的方法建立了平板桌設(shè)計的優(yōu)化模型，結(jié)論中應(yīng)用對比分析法，綜合考慮了用料以及性能的要求，以達到平板桌優(yōu)化設(shè)計的目的。

參考文獻：

[1]涂晶潔.機械制圖[M].北京:清華大學(xué)出版社,2010.

[2]鞏斌.基于隨機前沿法上市商業(yè)銀行產(chǎn)出效率的實證分析[J].綏化學(xué)院學(xué)報,2013(12).

[3]張賢明.MATLAB語言及應(yīng)用實例[M].南京:東南大學(xué)出版社,2010.

[4]洪文,馮守平,吳本中.利用LINGO建立最優(yōu)化模型[M].長春:吉林大學(xué)出社,2005.

[5]楊桂元,朱家明.數(shù)學(xué)建模競賽優(yōu)秀論文評析[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)社,2013.

[責(zé)任編輯鄭麗娟]

中圖分類號：TB11

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：2095- 0438（2015）06- 0148- 03

收稿日期：2015-02-20

作者簡介：吳丹丹（1984-），女，安徽潛山人，安徽財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生，研究方向：信息與計算科學(xué)；朱安明（1973-），男，安徽泗縣人，安徽財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模。

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（11301001）；安徽財經(jīng)大學(xué)教研項目（acjyzd201429）。