范百興，李廣云，李佩臻，易旺民，楊 振

激光干涉測量三維點(diǎn)坐標(biāo)的PDOP模型研究和應(yīng)用

范百興1，李廣云1，李佩臻2，易旺民3，楊 振1

( 1．信息工程大學(xué)，河南鄭州450001; 2．河南省基礎(chǔ)地理信息中心，河南鄭州450003; 3．北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京100094)

一、引言

激光跟蹤儀采用激光干涉測距IFM( Interferometer)原理，測距誤差小于0．5 μm/m，但其測角誤差可達(dá)到( 15 μm+6 μm/m)，是影響激光跟蹤儀點(diǎn)位誤差的主要因素。可采用激光干涉的精密距離觀測值建立高精度的三維控制網(wǎng)，通過N( N≥3)臺激光跟蹤儀的距離交會精密測量空間點(diǎn)的三維坐標(biāo)值，消除角度誤差影響，提高點(diǎn)位測量精度。

基于激光跟蹤儀的激光干涉測距三維網(wǎng)由于沒有角度觀測值，其對控制網(wǎng)的橫向誤差控制較差，空間點(diǎn)位誤差受測站點(diǎn)和測量點(diǎn)之間的空間位置關(guān)系影響較大。三維位置幾何精度衰減因子( position dilution of precision，PDOP)從本質(zhì)上講就是誤差放大因子，即在空間點(diǎn)的三維坐標(biāo)解算中，激光跟蹤儀的測距誤差被放大PDOP倍得到位置誤差。也就是說，在激光跟蹤儀測距激光干涉測距精度一定的條件下，空間點(diǎn)的三維坐標(biāo)測量精度隨著空間位置的不同而不同。本文在加權(quán)秩虧平差模型的基礎(chǔ)上，建立了激光干涉測距三維網(wǎng)的PDOP值計(jì)算模型，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)位精度的先驗(yàn)估計(jì)，并對實(shí)際算例進(jìn)行了計(jì)算，以避開不利方向，提高點(diǎn)位測量精度。

二、激光干涉三維測邊網(wǎng)PDOP值解算模型

如圖1所示，設(shè)i( i=1，2，…，m)臺激光跟蹤儀對空間點(diǎn)j( j=1，2，…，n)進(jìn)行了激光干涉距離測量，距離觀測值為Sij，其中m≥3。設(shè)測站坐標(biāo)分別為(i，i，i)，j點(diǎn)的坐標(biāo)值為(j，j，j)，則距離測量方程為

圖1 激光干涉交會測量示意圖

對式( 1)進(jìn)行線性化即可得到誤差方程為

式中，cij、dij、eij為線性化系數(shù); lij為自由項(xiàng)。在激光干涉三維測邊網(wǎng)中，只有長度而無位置和方位信息，屬于秩虧自由網(wǎng)平差，必須加入約束矩陣G才能解算［1］。當(dāng)測站坐標(biāo)(i，i，i)已知且m≥3時，即為空間距離前方交會，式( 2)可變?yōu)?/p>

式中，系數(shù)cij、dij、eij中的測站坐標(biāo)值已知。按照最小二乘原理可得

未知參數(shù)中誤差為

從式( 5)中可以看出，激光干涉三維測距網(wǎng)和距離交會測量時，在單位權(quán)中誤差一定的情況下，點(diǎn)位精度隨著系數(shù)矩陣A變化，空間點(diǎn)的三維坐標(biāo)中誤差為

系數(shù)矩陣是測站點(diǎn)和測量點(diǎn)空間位置的反映，則空間點(diǎn)三維位置幾何精度衰減因子為

三、PDOP值的仿真解算

以L1、L2、L33臺激光跟蹤儀距離交會測量為例，則誤差方程的系數(shù)矩陣為

設(shè)3臺激光跟蹤儀測站坐標(biāo)為L1( 0，0，0)、L2( 0，0，1000)、L3( 0，5000，0)，則XOY平面內(nèi)，X在－10～+10 m內(nèi)的PDOP值的分布如圖2所示。

圖2 XOY面內(nèi)測量點(diǎn)PDOP等值線分布

圖中帶數(shù)值的線是以5為等間距的PDOP等值線，其余是以1為等間距的PDOP等值線，為了圖形的清晰，在PDOP等值線梯度變化劇烈的區(qū)域，只顯示了以5為等間距的PDOP等值線。

從圖2可以看出，在XOY平面內(nèi)，測量點(diǎn)的PDOP值隨著離測站點(diǎn)距離的增加而增加，在接近直線L1L2L3時，PDOP值急劇增加，對應(yīng)的點(diǎn)位精度也會急劇降低。XOY平面的PDOP等值線分布圖形隨著Z值的不同會發(fā)生變化，但是趨勢是一致的。此外，在Y軸負(fù)方向上，PDOP等值線分布圖和Y軸正方向上對稱分布。進(jìn)一步可以得到Y(jié)OZ( X = 1)平面和XOZ( Y= 0)平面內(nèi)的PDOP等值線分布圖，分別如圖3和圖4所示。

圖3 YOZ面內(nèi)測量點(diǎn)PDOP等值線分布

圖4 XOZ面內(nèi)測量點(diǎn)PDOP等值線分布

四、測站數(shù)對PDOP的影響

從理論上講，對空間點(diǎn)進(jìn)行距離交會測量時，測站數(shù)和測站分布都直接影響PDOP值。在3臺激光跟蹤儀L1、L2、L3的距離交會測量空間點(diǎn)的基礎(chǔ)上，增加一臺激光跟蹤儀L4( 2000、6000、2000)，則此時存在多余觀測，可以按照最小二乘原理進(jìn)行空間點(diǎn)三維坐標(biāo)求解，在XOY平面( Z=0)處的PDOP等值線圖如圖5所示。

圖5 4臺激光跟蹤儀交會時XOY面PDOP等值線分布

比較圖2和圖5可以發(fā)現(xiàn)，4臺跟蹤儀在進(jìn)行激光干涉交會測量時，其在XOY平面內(nèi)的PDOP等值線分布明顯優(yōu)于3臺交會測量時的情況。此時，整個XOY平面內(nèi)的PDOP等值線分布變化比較均勻，不存在PDOP值劇烈變化的區(qū)域，PDOP值只是隨著距離的增加而均勻緩慢地變化。因此，增加激光跟蹤儀的數(shù)量，可以顯著降低PDOP值，提高點(diǎn)位測量的精度。進(jìn)一步，當(dāng)新增測站在四面體PL1L2L3的表面或內(nèi)部時，P點(diǎn)的PDOP值幾乎沒有變化，若新增測站在四面體外部時，對P點(diǎn)的PDOP值影響明顯。

五、體積與PDOP的關(guān)系

在圖1中，測量點(diǎn)P與3臺激光跟蹤儀L1、L2、L3的連線可以組成四面體P-L1L2L3，則四面體PL1L2L3的體積V為

進(jìn)一步，當(dāng)激光跟蹤儀的個數(shù)m≥4時，則各個測站和交會點(diǎn)之間的連線可以分解為m－2個四面體，則此時的體積為

分析式( 9)和式( 8)可以發(fā)現(xiàn)，體積和PDOP值的計(jì)算公式中都包含測量點(diǎn)與測站點(diǎn)的坐標(biāo)差值因子(Δx01，Δy01，Δz01)。也就是說，體積值和PDOP值都與激光跟蹤儀的測站與交會點(diǎn)的空間位置有關(guān)，即三維位置幾何精度衰減因子即與四面體的體積V相關(guān)［2］

隨著四面體體積的增大，多臺激光跟蹤儀交會測量點(diǎn)的精度會得到提高，為提高激光跟蹤儀交會測量的點(diǎn)位精度，一般要求PDOP值盡可能小，即所構(gòu)成的四面體的體積盡可能大。

六、數(shù)據(jù)解算

為解算PDOP值和點(diǎn)位誤差，采用徠卡AT901-B激光跟蹤儀在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)共布設(shè)了L1—L8共8測站，測站間的最大高差約為0．4 m，各個測站近似水平，每測站對13個定向點(diǎn)進(jìn)行測量，定向點(diǎn)均勻分布且最大高差約為1．5 m，其中P1—P8位于地面上，其他點(diǎn)位于墻壁上。

按照加權(quán)秩虧自由網(wǎng)平差模型，同時解算測站點(diǎn)和定向點(diǎn)的PDOP值及其與空間體積，結(jié)果見表1和表2。

表1 測站點(diǎn)平差結(jié)果

表2 定向點(diǎn)平差結(jié)果

從表1和表2可以看出:

1)點(diǎn)位誤差和PDOP值之間呈現(xiàn)嚴(yán)格的線性關(guān)系。

2)體積值和PDOP值及點(diǎn)位誤差之間具有一定的相關(guān)性，但是與空間距離交會測量點(diǎn)坐標(biāo)不同，由于激光干涉測距三維網(wǎng)的空間圖形復(fù)雜，對PDOP值的影響比較復(fù)雜，體積值與PDOP值的相關(guān)性不強(qiáng)。

3)由于測站之間的最大高差只有0．4 m，導(dǎo)致定向點(diǎn)的PDOP值較大(平均值為3．6)，體積值較小(平均值為3．8 m)，點(diǎn)位精度較低(平均值為16．5 μm)。

4)定向點(diǎn)分布均勻且最大高差為1．5 m，因此測站點(diǎn)的PDOP值很小(平均值為2．5)，體積值較大(平均值12．6 m)，點(diǎn)位精度較高(平均值11．7 μm)。

根據(jù)上述規(guī)律，在實(shí)際測量中可以加大激光跟蹤儀之間的高差，減小PDOP值，以提高點(diǎn)位測量的精度。

七、結(jié)論

1)基于激光跟蹤儀的激光干涉三維測距網(wǎng)的PDOP解算模型，較好地反映了測站點(diǎn)和定向點(diǎn)的空間分布對點(diǎn)位精度的影響規(guī)律，可以獲取PDOP值的空間分布等值線圖，在測量之前可以對空間點(diǎn)位精度進(jìn)行估算，根據(jù)點(diǎn)位的先驗(yàn)精度估計(jì)值，選擇最優(yōu)測量位置，最大限度地提高點(diǎn)位測量精度。

2)體積和PDOP值之間存在相關(guān)性，在體積一定的情況下，PDOP值受測站點(diǎn)位空間分布的影響比較明顯，二者之間接近似為反比關(guān)系。

3)增加測站點(diǎn)之間高差和定向點(diǎn)之間的高差，可以增大測站點(diǎn)和定向點(diǎn)的體積值，對象的PDOP值也會顯著提高，從而使對應(yīng)的點(diǎn)位精度也得到提高。

4)當(dāng)新增測站在原有四面體之外時，對減小測量點(diǎn)的PDOP值的作用非常明顯，可以消除PDOP值劇烈變化區(qū)域，但是新增測站在原有四面體表面或內(nèi)部時，對測量點(diǎn)的PDOP值改變幾乎沒有影響。

［1］ 黃維彬．近代平差理論及其應(yīng)用［M］．北京:解放軍出版社，1992．

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［3］ 李廣云，李宗春．工業(yè)測量系統(tǒng)原理與應(yīng)用［M］．北京:測繪出版社，2011．

［4］ 楊凡，李廣云，王力．激光跟蹤儀與球形反射器綜合性能測試研究［J］．測繪通報(bào)，2014( 2) : 115-118．

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PDOP Model of Laser Interferometry 3D Trilateration Network

FAN Baixing，LI Guangyun，LI Peizhen，YI Wangmin，YANG Zhen

激光跟蹤儀的激光干涉測距精度可以達(dá)到0．5 μm/m，利用激光干涉精密距離測量值可以建立高精度的三維控制網(wǎng)，點(diǎn)位誤差受到測站點(diǎn)和定向點(diǎn)的空間幾何分布影響。建立三維位置幾何精度衰減因子模型，可以計(jì)算空間點(diǎn)的三維坐標(biāo)測量精度隨著空間位置的變化，估算激光干涉三維測距網(wǎng)的先驗(yàn)精度信息，避免不利測量位置，提高空間點(diǎn)測量精度。本文基于激光干涉三維測距網(wǎng)PDOP值計(jì)算模型，仿真計(jì)算了PDOP值的空間分布等值線模型，分析了體積值與PDOP值和點(diǎn)位誤差的關(guān)系，并對實(shí)際算例進(jìn)行了解算。

激光跟蹤儀;激光干涉測距;三維測邊網(wǎng); PDOP值;等值線

范百興( 1978—)，男，副教授，主要從事精密工業(yè)與工程測量方面的研究。E-mail: fbxhrhr@ sina．com

P237

B

0494-0911( 2015) 11-0028-04

范百興，李廣云，李佩臻，等．激光干涉測量三維點(diǎn)坐標(biāo)的PDOP模型研究和應(yīng)用［J］．測繪通報(bào)，2015( 11) : 28-31．

10．13474/j．cnki．11-2246．2015．0339

2014-11-23

國家自然科學(xué)基金( 41101446) ;航天器高精度測量聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室基金