盧亦平，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

混合正則微分系統(tǒng)第二特征值的上界不等式

盧亦平，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

考慮混合正則微分系統(tǒng)第二特征值的上界估計.利用試驗函數(shù)、Rayleigh定理、分部積分和Schwartz不等式等估計方法，獲得了用第一特征值來估計第二特征值的上界的不等式，其估計系數(shù)與區(qū)間的度量無關(guān). 其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在常微分方程的研究中起著重要的作用.

混合正則微分系統(tǒng)；特征值；特征函數(shù)向量；上界

1 主要結(jié)果

設(shè)a b,( )?R是一個有界區(qū)間，考慮混合正則微分系統(tǒng)

的特征值估計問題，式中：s＞t≥2 h，s，t和h為正整數(shù)；Q為常數(shù)，b0=b1=…=br-1=0，br=1，r≤h；bh＞0，bk≥0，k=r+1，r+2，…，h-1；p(x) ∈ Ct+j([a, b])，j=0，1，2，…，s-t，且滿足

j

其中μ1，μ2為正實數(shù).

把問題(1)寫成矩陣形式，設(shè)

將問題(1)化為等價的矩陣形式

微分方程的特征值估計已獲得一些結(jié)果.相同階微分系統(tǒng)特征值估計也獲得一些結(jié)果[1-4].本文考慮混合正則微分系統(tǒng)的問題，將文獻(xiàn)[5]-[7]中的問題推廣到多個不同階微分方程組成的方程組. 運用文獻(xiàn)[8]中的方法，對于問題(1)獲得了用第一特征值來估計第二特征值的上界的不等式，其估計系數(shù)與區(qū)間的度量無關(guān). 其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在常微分方程的研究中起著重要的作用.

定理1 設(shè)λ1，λ2是問題(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，則

2 定理1的證明

設(shè)λ1是問題(3)的第一特征值，相應(yīng)于λ1的特征向量函數(shù)為u，且滿足

利用分部積分和式(5)得

利用式(6)，對于j=0，1，2，…，s-t，k=0，1，2，…，h，有

利用分部積分和式(6)有

利用式(2)和式(8)得

利用式(9)有

設(shè)φ(x)=(x-g)u，其中

利用分部積分直接計算得

利用Rayleigh定理有

計算得

利用分部積分和φ(x)=(x-g)u，有

即

結(jié)合式(14)和式(15)得

設(shè)

利用式(16)有

利用式(13)和式(17)有

引理1 設(shè)y是問題(3)所對應(yīng)的第一特征值λ的特征向量函數(shù)u的某一分量，則

證對于(a)，用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)m=r時，在式(7)中，取k=r，不等式顯然成立.假設(shè)m=k時，不等式成立，即有當(dāng)m=k+1時，利用分部積分、Schwarz 不等式和歸納假設(shè)得

化簡整理得

即引理1(a)成立.

對于(b)，反復(fù)運用引理1(a)和式(10)得

即引理1(b)成立.

引理2 設(shè)u是問題(3)所對應(yīng)的第一特征值λ1的特征向量函數(shù)，則

證對于(a)，

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明

即引理2(a)成立.

對于(b)，利用Schwarz 不等式、引理2(a)和引理1(b)有

即引理2(b)成立.

引理3 設(shè)u是問題(3)所對應(yīng)的第一特征值λ1的特征向量函數(shù)，則

證對于(a)，利用分部積分和φ(x)=(x-g)u，k=1，2，…，h，有

整理上式，可得引理3(a)成立.

對于(b)，利用式(2)和引理1(b)得

對于(c)，利用式(2)、Schwarz不等式和引理1(b)有

引理4 設(shè)λ1是問題(3)的第一特征值，則

證利用分部積分、引理3(a)和φ(x)=(x-g)u得

類似地，可以得到

利用式(19)、式(20)和式(21)有

利用式(22)、引理2(b)和引理3得

引理5 對于φ與λ1，有

證利用分部積分、引理3(a)和φ(x)=(x-g)u，k=1，2，…，h，得

利用式(23)有

利用式(6)得

利用式(24)、式(25)、引理2和Schwarz 不等式得

整理上式，可得引理5.

定理1的證明：利用引理4、引理5和式(18)得

整理上式，即得定理1的式(4).

[1] 盧亦平，錢椿林. 多項式微分算子帶一般權(quán)第二特征值的上界估計 [J]. 長春大學(xué)學(xué)報，2014(2)：175-179.

[2] 盧亦平，錢椿林. 任意階微分算子帶一般權(quán)第二特征值的上界估計[J]. 長春大學(xué)學(xué)報，2012(12)：1490-1494.

[3] 盧亦平，錢椿林. 高階微分算子帶權(quán)的第二特征值的上界估計[J]. 長春大學(xué)學(xué)報，2010(6)：4-7.

[4] 盧亦平，錢椿林. 微分方程帶一般權(quán)的第二特征值的上界估計[J]. 長春大學(xué)學(xué)報，2009(10)：7-9.

[5] 朱敏峰，錢椿林. 正則任意階微分系統(tǒng)帶一般權(quán)第二特征值的上界[J]. 長春大學(xué)學(xué)報，2013(8)：971-980.

[6] 朱敏峰，錢椿林. 正則高階微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界[J]. 蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報，2012，23(4)：30-36.

[7] 陳衛(wèi)忠，錢椿林. 正則微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界[J]. 常熟理工學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2010 (10)：38-42.

[8] HILE G N，YEN R Z. Inequalities for eigenvalue of the Biharmonic operator[J].Pacifc J.Math.，1984 (1)：115-133.

(責(zé)任編輯：沈鳳英)

Inequality of the Upper Bound of Second Eigenvalue for Mixed Canonical Differential System

LU Yi-ping，QIAN Chun-lin
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper considers the estimate of the upper bound of second eigenvalue for mixed canonical differential system. The inequality of the upper of second eigenvalue is estimated based on the frst eigenvalue with the help of the integral，rayleigh theorem and inequality estimation. The estimated coeffcients are not linked to the measure of the domain in which the problem is concerned. This kind of problem is signifcant both in theory of differential equations and in application to mechanics and physics.

mixed canonical differential system；eigenvalue；vector eigenfunction；the upper bound

O175.9

A

1008-5475(2015)01-0034-07

2014-10-15；

2014-11-09

蘇州市職業(yè)大學(xué)青年教師基金資助項目(2010SZDQ12)

盧亦平(1978-)，女，吉林白山人，講師，碩士，主要從事算子特征值估計研究.