胡海良 張偉

(1.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124)(2.浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，金華 321004)

引言

工程中許多模型的運(yùn)動(dòng)方程都可以表示成具有平方項(xiàng)和立方項(xiàng)的多自由度非線性系統(tǒng)，如復(fù)合材料層合板、功能梯度材料板的非線性振動(dòng).很多學(xué)者用不同的近似解析方法研究了這類系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為［1-3］.

通常情況下，非線性系統(tǒng)近似解的高階項(xiàng)不會(huì)影響定性行為.然而，對(duì)具有平方項(xiàng)和立方項(xiàng)的非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，必須求出高階近似解以更準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)特征.Maccari［4］在暫態(tài)時(shí)間尺度和諧波平衡的基礎(chǔ)上提出了漸近攝動(dòng)法，它可以比較方便地把方程的平方項(xiàng)和立方項(xiàng)考慮進(jìn)來(lái).Zhang等［5］用漸近攝動(dòng)法研究了主動(dòng)電磁軸承的1:1內(nèi)共振-主參數(shù)共振-1/2亞諧共振.Ye等［6］和Guo等［7］用漸近攝動(dòng)法研究了復(fù)合材料層合板的非線性動(dòng)力學(xué)行為.Hao和Zhang等［8］利用漸進(jìn)攝動(dòng)法研究了功能梯度材料板的非線性動(dòng)力學(xué)行為.但是，漸近攝動(dòng)法很難選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)解形式，尤其是對(duì)1:3內(nèi)共振情況，很容易因?yàn)樵O(shè)解不當(dāng)導(dǎo)致精度很低.

本文通過(guò)引入一個(gè)新的設(shè)解形式，提出了一種改進(jìn)的漸近攝動(dòng)法.該方法是求解非線性系統(tǒng)的一種有效方法，它比原漸近攝動(dòng)法求解過(guò)程更簡(jiǎn)單，并且更容易應(yīng)用于1:3內(nèi)共振情況.由于很多實(shí)際問(wèn)題都可以用含平方項(xiàng)和立方項(xiàng)的兩自由度非線性系統(tǒng)描述，我們用改進(jìn)的漸近攝動(dòng)法研究了這類系統(tǒng)在1:3內(nèi)共振情況下的非線性動(dòng)力學(xué)行為.與原方程數(shù)值結(jié)果對(duì)比表明，改進(jìn)的漸近攝動(dòng)法是研究?jī)勺杂啥确蔷€性系統(tǒng)1:3內(nèi)共振的有效工具.

1 漸近攝動(dòng)分析

考慮如下兩自由度非線性系統(tǒng)

共振關(guān)系為

其中σ1和σ2為調(diào)諧參數(shù)，p1和p2為正有理數(shù).

將方程(2)代入方程(1)中并令ε=0，得到派生線性系統(tǒng)具有簡(jiǎn)諧解

引進(jìn)時(shí)間尺度變換

其中q為正有理數(shù).

與派生系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧解相比，由于非線性項(xiàng)、激勵(lì)項(xiàng)和內(nèi)共振的影響，方程(1)的解中將出現(xiàn)其它諧波項(xiàng).同時(shí)各諧波項(xiàng)系數(shù)不再是常數(shù)，而是慢變時(shí)間尺度τ的函數(shù).

假設(shè)方程(1)的解為

上述設(shè)解形式是在相應(yīng)派生系統(tǒng)解的基礎(chǔ)上給出的，除了ψ1(τ，ε)和φn(τ，ε)是O(1)之外，其他的諧波項(xiàng)系數(shù)ψn(τ，ε)和φn(τ，ε)都暫時(shí)設(shè)為O(ε)，具體階次將在求解過(guò)程中確定.這樣的設(shè)解形式使得改進(jìn)的漸近攝動(dòng)法更易于應(yīng)用，并且能夠適用于研究方程(1)的1:3內(nèi)共振.而已有漸近攝動(dòng)法設(shè)解形式中所包含的諧波項(xiàng)及其系數(shù)關(guān)于小參數(shù)的階次都是事先給定的，因此很容易因?yàn)樵O(shè)解不當(dāng)導(dǎo)致精度很低.另外，改進(jìn)的漸近攝動(dòng)法中不需要把函數(shù)ψn(τ，ε)和φn(τ，ε)展開成小參數(shù)ε的冪級(jí)數(shù).簡(jiǎn)記ψn=ψn(τ，ε)和φn=φn(τ，ε).

將方程(5)代入方程(1)并令各諧波項(xiàng)系數(shù)等于零，可得關(guān)于ψn和φn的方程組.

當(dāng)n=1時(shí)有

令p1=2，q=2并舍去ε的高次項(xiàng)得到

當(dāng)n=3時(shí)有

令p2=2并舍去ε的高次項(xiàng)，得到

類似地，當(dāng)n=0，2，4，5，6時(shí)有

由方程(6-14)得到關(guān)于ψ1和φ3的微分方程

其中

令

將方程(15)轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)形式的平均方程

方程(1)的穩(wěn)態(tài)周期解對(duì)應(yīng)于方程(17)的平衡點(diǎn).令

得方程(17)的平衡點(diǎn)應(yīng)滿足的非線性代數(shù)方程組.

2 數(shù)值對(duì)比

平均方程(17)經(jīng)常被用來(lái)研究方程(1)的非線性動(dòng)力學(xué)行為，下面我們將通過(guò)與數(shù)值結(jié)果對(duì)比考察近似解析解能夠在多大程度上反映原方程的非線性動(dòng)力學(xué)特性.

圖1給出了當(dāng)參數(shù)取值為ω1=1，ω2=3.01，f1=45，a1=8，a2=0.2，a3=0.1，a4=0.1，a5=0.5，a6=0.2，a7=0.2，f2=20，b1=8，b2=1.6，b3=0.8，b4=0.8，b5=3.5，b6=0.3，b7=5，ε=0.01時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線.數(shù)值解初始值為［1，3，2，3］.圖中紅色的“×”表示直接由方程(1)得到的數(shù)值解，黑色的“.”表示由平均方程(17)得到的結(jié)果，兩種結(jié)果基本吻合.

圖1 幅頻響應(yīng)曲線Fig.1 The frequency response curves

當(dāng)參數(shù)取值較小時(shí)，系統(tǒng)沒有出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.為了考察平均方程和原方程混沌運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系，我們將系統(tǒng)參數(shù)增大為ω1=0.5，ω2=1.502，Ω=1，a1=8，a2=2，a3=10，a4=10，a5=10，a6=1000，a7=2000，b1=8，b2=3，b3=10，b4=10，b5=10，b6=1000，b7=2000，f2=5.5，ε=0.01，此時(shí)系統(tǒng)分叉圖如圖2所示.所選取的初始值為［0.01，0，0.01，0］.其中圖(a1)和(a2)由平均方程(17)得到，圖(b1)和(b2)表示直接從方程(1)得到的數(shù)值結(jié)果，兩種方法得到的分叉圖基本吻合.

圖2 隨外激勵(lì)幅值變化的分叉圖Fig.2 Bifurcation diagrams with varying excitation amplitude

3 小結(jié)

本文用改進(jìn)的漸近攝動(dòng)法研究了兩自由度非線性系統(tǒng)在1:3內(nèi)共振情況下的非線性動(dòng)力學(xué)行為.分別在平均方程和原方程的基礎(chǔ)上作出了幅頻響應(yīng)曲線和分叉圖.對(duì)比表明，改進(jìn)的漸近攝動(dòng)法是研究多自由度非線性系統(tǒng)1:3內(nèi)共振的有效工具.原漸近攝動(dòng)法很難選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)解形式，尤其是對(duì)1:3內(nèi)共振情況很容易因?yàn)樵O(shè)解不當(dāng)導(dǎo)致精度很低.

1 Nayfeh A H，Jebril A E S.The response of two-degree-offreedom systems with quadratic and cubic nonlinearities to multi-frequency parametric excitations.Journal of Sound and Vibration，1987，115:83～101

2 Tien W，Namachchivaya N，Bajaj A.Nonlinear dynamics of a shallow arch under periodic excitation-I.1:2 internal resonance.International Journal of Non-Linear Mechanics，1994，29:349～366

3 郝育新，張偉，趙秋玲.復(fù)合邊界條件下功能梯度板1:1內(nèi)共振的周期與混沌運(yùn)動(dòng).動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2011，9:117～122(Hao Y X，Zhang W，Zhao Q L.Periodic and chaotic motion of mixed boundary FGM plate with 1:1 internal resonance.Journal of Dynamics and Control，2011，9:117～122.(in Chinese))

4 Maccari A.Approximate solution of a class of nonlinear oscillators in resonance with a periodic excitation.Nonlinear Dynamics，1998，15:329～343

5 Zhang W，Yao M H，Zhan X P.Multi-pulse chaotic motions of a rotor-active magnetic bearing system with time-varying stiffness.Chaos，Solitons＆Fractals，2006，27:175～186

6 Ye M，Sun Y，Zhang W，Zhan X P，Ding Q.Nonlinear oscillations and chaotic dynamics of an anti-symmetric cross-ply laminated composite rectangular thin plate under parametric excitation.Journal of Sound and Vibration，2005，287:723～758

7 Guo X Y，Zhang W，Yao M H.Nonlinear dynamics of angle-ply composite laminated thin plate with third-order shear deformation.Science China Technological Sciences，2010，53:612～622

8 Hao Y X，Chen L H，Zhang W，Lei JG.Nonlinear oscillations，bifurcations and chaos of functionally graded materials plate.Journal of Sound and Vibration，2008，312:862～892