李美生 陳偲? 張紅慧

（1.北京航空航天大學數學與系統(tǒng)科學學院，北京 100191）（2.北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京 100191）

引言

近年來，耦合神經元系統(tǒng)的同步成為國內外學者們研究的焦點，出現了新興的神經動力學.神經元的同步在大腦的信息處理過程中發(fā)揮了至關重要的作用［1］.然而并非所有的同步模式都是有利的.過度的同步往往會導致某類生理疾?。?-3］，例如帕金森氏癥、手的顫抖和癲癇病，這種同步稱為病態(tài)同步.腦深部刺激治療（腦起搏器）是近年來帕金森病治療中最大的突破.它通過植入體內的腦起搏器發(fā)放弱電脈沖，刺激腦內控制運動的相關神經核團，抑制引起帕金森病癥狀的異常腦神經信號從而消除了帕金森病的癥狀［4-6］.同步和不同步之間的轉化是為了適應系統(tǒng)機能調節(jié)的形態(tài)改變［7］.因此，對神經元間的同步和去同步化機制的研究都是很有意義的.

目前，神經元耦合系統(tǒng)的同步問題的研究有著較豐富的結論［8-11］.而去同步方面的研究則相對較少，Popovych等［12-13］提出了利用非線性延遲反饋控制可以有效地消除神經系統(tǒng)的病態(tài)同步，于海濤等［14］在該方法的基礎上采用差分反饋和直接反饋實現了離散神經元網絡的去同步化.于洪潔等［15］利用正弦延遲反饋法對單個HR神經元模型的動力學特性進行了研究，發(fā)現對HR神經元進行反控制的正弦延遲自適應反饋法是有效的.目前的耦合神經元去同步研究都沒有專門針對去同步的系統(tǒng)去同步性程度的分類和度量.

本文針對兩個全同HR神經元的耦合系統(tǒng)，采用正弦起搏器控制其中一個神經元的方式來達到系統(tǒng)的去同步化，對豐富的去同步效果進行分類，并設計相應的度量指標，最后使用這些指標對正弦起搏器控制下的神經元耦合系統(tǒng)進行進一步的數值分析.

1 去同步系統(tǒng)模型

考慮兩個全同HR神經元N1和N2通過雙向電突觸耦合，其中N1受到起搏器的控制，如圖1.本文中，起搏器對神經元的控制是在神經元的外界直流刺激上再加入一個較弱的正弦的交流信號.它們的動力學行為由以下微分方程描述：

其中，x代表神經細胞的膜電位，y是與內電流（例如Na+和K+）相關的恢復變量，z表示與Ca2+激活的K+離子電流相關的慢變調節(jié)電流，I表示外界直流激勵.a，b，c，d，r，s以及 χ都是常數，取值參考文獻［10］.C是神經元N1和N2之間的耦合強度，C0是起搏器對神經元N1的控制強度，T是起搏器控制神經元N1加在外界直流刺激上面的正弦信號的周期.

圖1 帶有起搏器的兩個全同神經元耦合系統(tǒng)示意圖Fig.1 The diagram for the two identical neurons coupled system with a pacemaker

令

得到如下誤差方程：

（e1，e2，e3）＝（0，0，0）不是此方程的零解，此時對于任意初始條件，兩個神經元都不能完全同步.所以只要起搏器對神經元的膜電位激勵不恒等于零，那么就對上述系統(tǒng)具有一定的去同步效果.

2 去同步類型

對于由（1）式定義的系統(tǒng)，不同的起搏器參數C0、T會使得神經元N1和N2之間的去同步性出現很大差別.圖2顯示，逐漸增大起搏器耦合強度C0時，兩個神經元的同步性受到了不同程度的破壞.當系統(tǒng)的其他參數發(fā)生變化時，系統(tǒng)會出現更為多變的去同步情況.圖3中可見，正弦起搏器控制下的神經元耦合系統(tǒng)出現了其中一個神經元周期性出現靜息態(tài)、兩神經元都轉遷成周期簇放電、其中一個神經元轉遷成周期簇放電三種情況.

I＝1.4時的單個HR神經元的放電模式應該是周期峰放電，圖3（a）中的兩個耦合HR神經元的放電模式在起搏器控制下仍然是周期峰放電，它們的峰峰間期（ISI）只有不大的個體差別，它們的平均峰峰間期仍然相等.可見這兩個神經元還有較強的同步性，我們姑且把這種兩個神經元的峰放電時間不完全相等，而平均峰峰間期相等且神經元放電模式保持去同步以前的模式的去同步情況叫做“弱去同步”.對比圖3中的（a）和（b）兩種去同步效果，由于（b）情況中兩個神經元放電的平均峰峰間期已經不相等了，所以我們認為：（b）情況中兩個神經元的同步性得到了很大的削弱，去同步性遠遠強于（a）情況.因此，我們將這種兩個神經元放電的平均峰峰間期不相等，且神經元放電模式保持去同步以前的模式的去同步情況叫做“強去同步”.圖2中的（c）情況中，神經元N1的放電模式發(fā)生了轉遷，變成了周期簇放電，兩個神經元之間的同步性也受到了很大程度的削弱.同樣，圖3中的三種情況中，神經元的放電模式也都發(fā)生了不同程度的轉遷.于是，我們將這些神經元的放電模式發(fā)生了改變的情況統(tǒng)稱為“破壞性去同步”.

圖2 I＝1.4、T＝180、C＝0.02時，系統(tǒng)（1）的膜電位時間歷程圖（a）C0＝0.01，（b）C0＝0.03，（c）C0＝0.05Fig.2 The time course of system（1），I＝1.4、T＝180、C＝0.02（a）C0＝0.01，（b）C0＝0.03，（c）C0＝0.05

3 去同步效果的度量

為了便于對上文中的去同步情況進行更加細致的研究，我們對“弱去同步”和“強去同步”設計了一些指標來量化去同步性的大小，由于“破壞性去同步”具有很強的多樣性，并且這種改變的神經元原有放電模式的去同步是我們不愿意看到的，所以我們沒有對“破壞性去同步”設計度量指標.在系統(tǒng)“弱去同步”的前提下，我們利用神經元的峰峰間期來構造度量指標.這個指標為Q1，定義如下，若兩個神經元的峰峰間期分別是F1n、F2n（n＝1，2，3…），N→+∞，則：

圖3 I＝1.4、T＝180時，系統(tǒng)（1）的膜電位時間歷程圖（a）C＝0.02，C0＝0.02，（b）C＝0.08，C0＝0.08，（c）C＝0.04，C0＝0.3Fig.3 The time course of system（1），I＝1.4、T＝180（a）C＝0.02，C0＝0.02，（b）C＝0.08，C0＝0.08，（c）C＝0.04，C0＝0.3

在系統(tǒng)“強去同步”的時候，平均峰峰間期不相等，神經元的放電次數也不等，因此不能使用Q1作為指標.由于“強去同步”具有神經元的平均峰峰間期不相等的特點，所以以此構造度量指標.平均峰峰間期的不同也就意味著放電次數不同，于是如下定義指標Q2，令兩個神經元在0～t時間內的峰放電次數分別是B1（t）和B2（t），t→∞，則：

于是有：“弱去同步”時，Q1值越大則去同步性越大；“強去同步”時，Q2值越大則去同步性越大；Q1和Q2的值始終為非負數.

我們現在對（1）式定義的系統(tǒng)進行數值模擬，計算出不同參數下去同步度量指標Q1和Q2的值.由于度量指標定義中N和t的取值都是正無窮大，并且系統(tǒng)在非“破壞性去同步”的時候不會出現混沌現象，所以在一定誤差范圍內，我們認為系統(tǒng)進入周期狀態(tài)，以此計算度量值.為了便于觀察，我們令“弱去同步”時，Q2＝-0.01；令“強去同步”時，Q1＝-0.02；令“破壞性去同步”時，Q1＝-0.03，Q2＝-0.03.

圖4 I＝1.4，T＝165時，系統(tǒng)（1）的度量指標值Fig.4 The value of system（1）’smetric indexes，I＝1.4、T＝165

從圖4中可以看到，當C＜0.016時，隨著C0增大，系統(tǒng)依次出現“弱去同步”、“強去同步”、“破壞性去同步”；當C＞0.016時，隨著C0增大，系統(tǒng)的去同步程度直接從“弱去同步”變成“破壞性去同步”；而當C＝0.016時，隨著C0增大，系統(tǒng)依次出現“弱”、“強”、“弱”、“破壞性”去同步.因此C＝0.016是T＝165的系統(tǒng)的去同步性態(tài)的一條明顯分隔線.其次，在0＜C＜0.026、0.014＜C0＜0.038的這一范圍內，Q1和Q2對C變化的敏感性遠遠大于C0的敏感性，即此時Q1和Q2幾乎只受C影響.還可以看到，當C0＞0.05時，無論C取何值，系統(tǒng)一定出現“破壞性去同步”.

由于I＝1.4時，單個HR神經元的峰放電間期約為156，上面的仿真結果是起搏器周期T大于原神經元放電周期的結果，因此我們又做了T小于156時的數值仿真，如圖5.可見，T＝150時：“弱去同步”有兩塊嚴格分離的區(qū)域，其中一塊“弱去同步”區(qū)域完全處于“破壞性去同步”的包圍中，形成孤島；仍然存在一個參數范圍，使得這個參數范圍內中的指標值對C變化的敏感性遠遠大于對C0的敏感性；系統(tǒng)不再具有一條明顯的去同步性態(tài)分隔線.

圖5 I＝1.4，T＝150時，系統(tǒng)（1）的度量指標值Fig.5 The value of system（1）’smetric indexes，I＝1.4、T＝150

4 小結

正弦起搏器能有效控制神經元去同步，本文通過用正弦起搏器刺激單個神經元的方式對兩個全同HR神經元耦合系統(tǒng)進行了去同步探索，實現了豐富的去同步效果.仿真結果表明：系統(tǒng)（1）中的參數I＝1.4，T＝165時，起搏器耦合強度只要大于0.05就能破壞原神經元的放電模式；一定參數范圍內，去同步效果對神經元耦合強度變化的敏感性遠遠大于正弦起搏器耦合強度；總能找到參數使得系統(tǒng)出現“破壞性去同步”.本文的結果對耦合神經元的去同步研究具有參考價值.

1 Masuda N，Aihara K.Global and local synchrony of coupled neurons in small-world networks.Biological Cybernetics，2004，90：302～309

2 Freund H J，Motor unit and muscle activity in voluntary motor control.Physiological Reviews，1983，63：387～436

3 Levy R，Hutchison W D，Lozano A M，et al.High-frequency sync-hronization of neuronal activity in the subthalamic nucleus of parkinsonian patients with limb tremor.Journal of Neuroscience，2000，20：7766～7775

4 胡小吾，周曉平，王來興等.丘腦底核腦深部刺激術治療帕金森病的手術方法和療效分析.中國神經精神疾病雜志，2003，29（6）：407～409（Hu X W，Zhou X P，Wang L X，et al.Technical approach and effects of deep brain stimulation of the subthalamic nucleus in parkinson’s disease.Chinese Journal of Nervous and Mental Diseases，2003，29（6）：407～409（in Chinese））

5 孫成彥，孫伯民，潘力等.腦深部電刺激治療帕金森病的并發(fā)癥分析.中國神經精神疾病雜志，2003，29（6）：410～413（Shun C Y，Shun B M，Pan L，et al.Complication of DBS in the treatment of parkinson’s disease.Chinese Journal of Nervousand Mental Diseases，2003，29（6）：410～413（in Chinese））

6 邰超，羅明，肖登明等.應用Washout filter控制耦合神經元同步活動.工業(yè)控制計算機，2010，23（8）：81～84（Tai C，Luo M，Xiao D M，etal.Controlling synchronous behaviors of coupled neurons by washout filter.Industrial Control Computer，2010，23（8）：81～84（in Chinese））

7 Steinmeta P N，Roy A，Fitzgerald P J，et al.Attention modulates synchronized neuronal firing in primate somatosensory cortex.Nature，2000，404：187～190

8 Wang Q Y，Lu Q S，Wang H X.Transition to complete synchronization in two coupled chaotic neurons.Chinese Physics，2005，14：2189～2195

9 Shi X，Lu Q S.Phase synchronization in electrically coupled different neuronal pacemakers with the Chay model.Chinese Physics Letters，2005，22：547～550

10 Li M S，Lu Q S，Duan L X，Wang Q Y.Firing patterns and transitions in coupled neurons controlled by a pacemaker.Chinese Physics Letters，2008，25（8）：2806～2808

11 鄭艷紅，陸啟韶.時滯影響下的環(huán)式耦合混沌神經元同步.動力學與控制學報，2008，6（3）：208～212（Zheng Y H，Lu Q S.Synchronization in ring coupled chaotic neuronswith time delay.Journal of Dynamicsand Control，2008，6（3）：208～212（in Chinese））

12 Popovych O V，Hauptmann C，Tass PA.Effective desynchronization by nonlinear delayed feedback.Physical Review Letters，2005，94（16）：164102

13 Popovych O V，Hauptmann C，Tass PA.Control of neuronal sync-hrony by nonlinear delayed feedback.Biological Cybernetics，2006，95：69～85

14 于海濤，王江，車艷秋等.非線性時滯反饋實現離散神經元網絡的去同步化.動力學與控制學報，2010，8（4）：375～379（Yu H T，Wang J，Che Y Q，et al.Nonlinear delayed feedback for effective desynchronization of discrete neural network.Journal of Dynamics and Control，2010，8（4）：375～379（in Chinese））

15 于洪潔，張文龍，童偉君.H-R神經元的正弦函數-延遲反饋反控制.醫(yī)用生物力學，2012，27（2）：233～237（Yu H J，Zhang W L，Tong W J.Anti-control of sine function-delay feedback for H-R neuron.Journal ofMedical Biomechanics，2010，8（4）：375～379（in Chinese） ）